Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficie

Prerequisiti: Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali → (curva regolare, vettore tangente), Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana e trasformazioni di coordinateUna funzione f : A ⊆ Rⁿ → Rᵐ ha m componenti scalari f₁,…,f_m; il limite si fa componente per componente. È differenziabile in x₀ se f(x₀+h) − f(x₀) = Df(x₀)h + o(‖h‖), dove la matrice jacobiana Df(x₀) (m righe, n colonne) ha elemento (i,j) = ∂f_i/∂x_j: le righe sono i gradienti delle componenti. Se le componenti sono C¹ la f è differenziabile. Casi particolari: m = 1 (riga = gradiente), n = 1 (colonna = vettore tangente), f affine (Df = A). Regola della catena: D(g∘f)(x₀) = Dg(f(x₀))·Df(x₀). Trasformazioni di coordinate: polari (det = ρ), cilindriche (det = ρ), sferiche (det = ρ² sin φ); |det Df| è il fattore di variazione di aree o volumi.Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana e trasformazioni di coordinate → (matrice jacobiana, rango), Prodotto vettoriale e prodotto mistoIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto → (il prodotto vettoriale e il suo modulo), Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzioneL'integrale doppio ∬_R f su un rettangolo è il limite delle somme di Cauchy-Riemann Σ |I_hk| f(P_hk); per f ≥ 0 è il volume del cilindroide. Le funzioni continue sono integrabili. Formule di riduzione (Fubini): su R = [a,b]×[c,d] ∬ = ∫_c^d(∫_a^b f dx)dy = ∫_a^b(∫c^d f dy)dx; per f = g(x)h(y) il prodotto di due integrali. Su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)} (D): ∬ = ∫a^b(∫{g₁}^{g₂} f dy)dx, simmetricamente per i domini x-semplici; domini regolari = unioni finite di semplici, f continua è integrabile. Area |Ω| = ∬ 1; insiemi di area nulla (punti, segmenti, grafici di funzioni continue); f limitata con discontinuità su area nulla è integrabile. Proprietà: linearità, monotonia, additività; teorema della media integrale (D). Baricentro e momenti d'inerzia di una lamina.Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzione →, Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussianaCambiando coordinate (x,y) = T(u,v), con T diffeomorfismo C¹ tra D' e D, ∬D f(x,y)dxdy = ∬{D'} f(T(u,v)) |det DT(u,v)| dudv: il fattore |det DT| è la dilatazione locale delle aree (per le trasformazioni lineari è |det M|, dimostrato col prodotto vettoriale). Polari: x = x₀ + ρcosθ, y = y₀ + ρsinθ, dxdy = ρ dρdθ; area di un settore di corona ½(R₂² − R₁²)Δθ; disco x² + y² ≤ 2ax: ρ ≤ 2a cosθ. Coordinate ellittiche x = aρcosθ, y = bρsinθ, dxdy = abρ dρdθ (area dell'ellisse πab). Simmetrie: D simmetrico rispetto all'asse y, f dispari in x ⇒ ∬ = 0 (D), f pari ⇒ ∬ = 2∬{x≥0}. Integrali generalizzati di f ≥ 0 continua su R²: limite su una successione invadente, indipendente dalla successione; gaussiana (D): ∬ e^{−(x²+y²)/2} = 2π, quindi ∫_R e^{−x²/2}dx = √(2π).Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussiana → e Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazioneL'integrale triplo ∭_E f si definisce con somme di Cauchy-Riemann su parallelepipedi; per f = 1 è il volume, per f = densità la massa; baricentro e momenti d'inerzia come in dimensione 2. Riduzione per fili (E = {(x,y) ∈ D, h₁ ≤ z ≤ h₂}: ∭ = ∬D(∫{h₁}^{h₂} f dz)dxdy) e per strati (E = {a ≤ z ≤ b, (x,y) ∈ E_z}: ∭ = ∫a^b(∬{E_z} f dxdy)dz). Cambiamento di variabili con |det DT|; coordinate cilindriche (x,y,z) = (ρcosθ, ρsinθ, z), dxdydz = ρ dρdθdz; sferiche (ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ), φ ∈ [0,π] colatitudine, dxdydz = ρ²sinφ dρdφdθ; ellissoide di semiassi a,b,c ha volume (4/3)πabc. Solidi di rotazione: Pappo-Guldino (D), |R(A)| = θ̄·x_B·|A| (area di A per lunghezza dell'arco percorso dal baricentro).Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazione → (coordinate polari, sferiche e cilindriche), Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerziaL'integrale curvilineo di prima specie di f lungo una curva C^1 è ∫_γ f ds = ∫_a^b f(r(t)) |r'(t)| dt, dove ds = |r'(t)|dt è l'elemento d'arco. Con f = 1 dà la lunghezza; con f ≥ 0 l'area di una parete verticale alta f lungo la curva; con f = densità la massa. Non dipende dalla parametrizzazione né dal verso di percorrenza (D). Baricentro x_b = (1/M)∫ x μ ds; momento d'inerzia I = ∫ δ² μ ds con δ distanza dall'asse.Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerzia →.

Che cos'è una superficie parametrica

Una curva è un oggetto con un grado di libertà: è l'immagine di una funzione di un parametro $t$. Una superficie è un oggetto con due gradi di libertà: l'immagine di una funzione $\mathbf{r}(u,v)$ di due parametri.

Definizione (superficie parametrica regolare semplice). Sia $D\subset\mathbb{R}^2$ la chiusura di un aperto connesso e $\mathbf{r}:D\to\mathbb{R}^3$, $\mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ continua. La coppia $(S,\mathbf{r})$ con $S=\mathbf{r}(D)$ è una superficie regolare semplice se, indicato con $\mathring D$ l'interno di $D$: (i) $\mathbf{r}$ è iniettiva e di classe $C^1$ in $\mathring D$; (ii) la matrice jacobiana $J\mathbf{r}(u,v)$ (matrice $3\times2$) ha rango massimo $2$ in ogni punto di $\mathring D$. $S$ è il sostegno, $\mathbf{r}$ la parametrizzazione.

Le colonne della jacobiana sono i vettori $\mathbf{r}_u=(x_u,y_u,z_u)$ e $\mathbf{r}_v=(x_v,y_v,z_v)$. Rango $2$ significa che $\mathbf{r}_u$ e $\mathbf{r}_v$ sono linearmente indipendenti, cioè che il loro prodotto vettoriale non è nullo: $$\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v=\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},\ \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},\ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right)\ne\mathbf{0},$$ dove $\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}y_u&z_u\\y_v&z_v\end{vmatrix}$ e analogamente le altre due (i tre minori $2\times2$ della jacobiana). L'iniettività evita che la superficie si autointersechi.

Linee coordinate, piano tangente, normale

Fissato $v=v_0$, la funzione $u\mapsto\mathbf{r}(u,v_0)$ è una curva sulla superficie (la linea coordinata $u$) con vettore tangente $\mathbf{r}_u$; fissato $u=u_0$, si ha la linea coordinata $v$ con tangente $\mathbf{r}_v$. Sulla sfera, in coordinate sferiche, le linee coordinate sono i paralleli e i meridiani.

Definizione (piano tangente, normale). Nel punto $\mathbf{x}_0=\mathbf{r}(u_0,v_0)$, con $(u_0,v_0)$ interno, il piano tangente è il piano per $\mathbf{x}_0$ generato da $\mathbf{r}_u$ e $\mathbf{r}_v$. Il vettore $\mathbf{N}=\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v$ è il vettore normale e $\mathbf{n}=\mathbf{N}/\|\mathbf{N}\|$ il versore normale. L'equazione del piano tangente è $$(\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v)(u_0,v_0)\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)=0 ,$$ cioè $a_0(x-x_0)+b_0(y-y_0)+c_0(z-z_0)=0$ con $(a_0,b_0,c_0)=\mathbf{N}(u_0,v_0)$.

Il piano tangente è il piano che meglio approssima la superficie vicino a $\mathbf{x}_0$. Il segno di $\mathbf{N}$ dipende dall'ordine di $(u,v)$: scambiare i parametri inverte la normale. Vedremo che questo sceglie l'orientazione della superficie (Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotoreIl flusso di F attraverso una superficie orientata è ∬ F·n dσ = ∬ F(r)·(r_u ∧ r_v) du dv (grafico: ∬ F·(−f_x,−f_y,1) dx dy). Teorema della divergenza: per un solido Ω il flusso uscente da ∂Ω è ∭ div F; nel piano ∬ div F = ∮ F·n ds. Teorema del rotore (Stokes): ∬ rot F·n dσ = ∮ F·T ds sul bordo orientato; su una superficie chiusa il flusso del rotore è 0. Da div rot F = 0 vengono i campi solenoidali e il potenziale vettore.Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotore →).

Gli esempi da conoscere

Piano. $\mathbf{r}(u,v)=\mathbf{x}_0+u\mathbf{a}+v\mathbf{b}$ con $\mathbf{a},\mathbf{b}$ indipendenti: $\mathbf{N}=\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}$, costante.

Superficie cartesiana (grafico). $z=f(x,y)$, $(x,y)\in D$, con $f\in C^1$. Si parametrizza con i parametri $(x,y)$: $\mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y))$. Allora $\mathbf{r}_x=(1,0,f_x)$, $\mathbf{r}_y=(0,1,f_y)$ e $$\mathbf{N}=\mathbf{r}_x\wedge\mathbf{r}_y=(-f_x,\ -f_y,\ 1).$$ È sempre regolare, perché la terza componente vale $1$. La normale punta verso l'alto ($N_3>0$). Il piano tangente $-f_x(x-x_0)-f_y(y-y_0)+(z-z_0)=0$, cioè $z=z_0+f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0)$, è il piano tangente al grafico già visto in Derivate parziali, differenziabilità e piano tangenteLa derivata parziale f_{x_i}(x0) è la derivata di t ↦ f(x0 + t e_i); il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. In più variabili l'esistenza delle derivate parziali NON implica la continuità. f è differenziabile in x0 se f(x0 + h) = f(x0) + a·h + o(|h|); allora f è continua, ha gradiente e a = ∇f(x0) (D). Il grafico ha piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) e normale (−f_x, −f_y, 1). Teorema del differenziale totale: se le derivate parziali esistono vicino a x0 e sono continue in x0, f è differenziabile; C^1 ⇒ differenziabile ⇒ derivabile e continua, ma i viceversa sono falsi. Regole: Leibniz, catena (f∘r)' = ∇f(r)·r'.Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente →.

Sfera di raggio $R$. In coordinate sferiche, con $\varphi\in[0,\pi]$ la colatitudine (angolo dall'asse $z$) e $\theta\in[0,2\pi]$ la longitudine: $$\mathbf{r}(\varphi,\theta)=(R\sin\varphi\cos\theta,\ R\sin\varphi\sin\theta,\ R\cos\varphi).$$ Si trova $\|\mathbf{r}_\varphi\wedge\mathbf{r}_\theta\|=R^2\sin\varphi$ (verifica con sympy: $\|\cdot\|^2=R^4\sin^2\varphi$). È non nullo per $0<\varphi<\pi$, cioè nei punti interni a $D$; ai poli $\varphi=0,\pi$ si annulla (ma sono sul bordo di $D$).

Cono circolare retto. $\mathbf{r}(\rho,\theta)=(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,k\rho)$, $(\rho,\theta)\in[0,R]\times[0,2\pi]$. Qui $\mathbf{r}_\rho\wedge\mathbf{r}_\theta=(-k\rho\cos\theta,-k\rho\sin\theta,\rho)$, di norma $\rho\sqrt{1+k^2}$, e $\|\mathbf{N}\|^2=\rho^2(1+k^2)$ (sympy). Il cono ha altezza $h=kR$. Se invece si lascia $\rho\in[-R,R]$ si ottiene il cono a due falde, non regolare nel senso della definizione: i punti del segmento $\{0\}\times\,]0,2\pi[$ (interni a $D$) vanno tutti nell'origine, quindi $\mathbf{r}$ non è iniettiva e il rango cade.

Cilindro. $\mathbf{r}(\theta,z)=(R\cos\theta,R\sin\theta,z)$: $\mathbf{N}=(R\cos\theta,R\sin\theta,0)$, $\|\mathbf{N}\|=R$. Per il cilindro a base ellittica $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ si usa $(a\cos\theta,b\sin\theta,z)$.

Ellissoide $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$: $\mathbf{r}(\varphi,\theta)=(a\sin\varphi\cos\theta,\ b\sin\varphi\sin\theta,\ c\cos\varphi)$.

Elicoide. $\mathbf{r}(u,v)=(u\cos v,\ u\sin v,\ v)$ (Esercizio - area di un elicoide e di una sella (foglio 6, esercizi 1 e 3)): $\mathbf{N}=(\sin v,-\cos v,u)$, $\|\mathbf{N}\|=\sqrt{1+u^2}$.

Superficie regolare a pezzi

Un insieme $S$ è regolare a pezzi se è unione finita di superfici regolari $S_i$ le cui intersezioni a due a due hanno area nulla (sono curve regolari, come gli spigoli di un cubo o il bordo fra cono e base). È il caso della frontiera di cubi, cilindri chiusi, coni con la base.

Area e integrale di superficie

Motivazione. Si prende un rettangolo $R$ di lati $\Delta u,\Delta v$ nel piano dei parametri, con vertice in $(u,v)$. La sua immagine $\mathbf{r}(R)$ è un piccolo pezzo di superficie, che per $\Delta u,\Delta v$ piccoli è quasi un parallelogramma del piano tangente con vertice in $\mathbf{r}(u,v)$ e lati $\mathbf{r}_u\Delta u$ e $\mathbf{r}_v\Delta v$. L'area di un parallelogramma è il modulo del prodotto vettoriale dei lati: $\|\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v\|\,\Delta u\,\Delta v$. Sommando questi pezzettini e passando al limite si ottiene un integrale doppio.

Definizione (area, integrale di superficie). Sia $(S,\mathbf{r})$ una superficie regolare con $D$ limitato e misurabile. L'area è $$A(S)=\iint_D\|\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v\|\,du\,dv=\iint_D\sqrt{\left(\tfrac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}\right)^2+\left(\tfrac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}\right)^2+\left(\tfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right)^2}\,du\,dv .$$ Per $f:S\to\mathbb{R}$ continua l'integrale di $f$ su $S$ (integrale di superficie di prima specie) è $$\iint_Sf\,d\sigma=\iint_Df(\mathbf{r}(u,v))\,\|\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v\|\,du\,dv ,$$ dove $d\sigma=\|\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v\|\,du\,dv$ è l'elemento d'area; in particolare $A(S)=\iint_Sd\sigma$.

Come per le curve, il valore non dipende dalla parametrizzazione: se $\tilde{\mathbf{r}}=\mathbf{r}\circ\Phi$ con $\Phi$ cambio di variabili $C^1$ invertibile, vale $\tilde{\mathbf{r}}_{\tilde u}\wedge\tilde{\mathbf{r}}_{\tilde v}=(\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v)\det J\Phi$, e il fattore $|\det J\Phi|$ è proprio quello del cambio di variabili negli integrali doppi, quindi le due espressioni coincidono. Sono valide la linearità e l'additività: per una superficie regolare a pezzi $\iint_Sf\,d\sigma=\sum_i\iint_{S_i}f\,d\sigma$.

Esempio. Sfera, porzione compresa fra i paralleli $\varphi_1<\varphi<\varphi_2$ e i meridiani $\theta_1<\theta<\theta_2$: $$A=\int_{\theta_1}^{\theta_2}d\theta\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}R^2\sin\varphi\,d\varphi=R^2(\theta_2-\theta_1)(\cos\varphi_1-\cos\varphi_2).$$ Per $\varphi\in[0,\pi]$, $\theta\in[0,2\pi]$ si ritrova $4\pi R^2$; una calotta attorno al polo nord con colatitudine massima $\bar\varphi$ ha area $2\pi R^2(1-\cos\bar\varphi)$.

Esempio. Cono omogeneo ($\mu=1$): $A=\iint\rho\sqrt{1+k^2}\,d\rho\,d\theta=2\pi\sqrt{1+k^2}\,\tfrac{R^2}2=\pi R^2\sqrt{1+k^2}=\pi R\sqrt{R^2+h^2}$ (raggio per apotema).

Caso dei grafici

Per $z=f(x,y)$ su $D$, con $\mathbf{N}=(-f_x,-f_y,1)$: $$A(S)=\iint_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dx\,dy=\iint_D\sqrt{1+\|\nabla f\|^2}\,dx\,dy,\qquad\iint_Sg\,d\sigma=\iint_Dg(x,y,f(x,y))\sqrt{1+\|\nabla f\|^2}\,dx\,dy .$$ Il fattore $\sqrt{1+\|\nabla f\|^2}=1/\cos\alpha$, con $\alpha$ l'angolo fra il piano tangente e il piano orizzontale: più la superficie è ripida, più la sua area supera quella dell'ombra $D$.

Esempio. Paraboloide $z=x^2+y^2$ con $x^2+y^2\le R^2$: $\|\nabla f\|^2=4(x^2+y^2)$ e in polari $$A=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^R\sqrt{1+4\rho^2}\,\rho\,d\rho=2\pi\left[\tfrac1{12}(1+4\rho^2)^{3/2}\right]_0^R=\frac\pi6\left[(1+4R^2)^{3/2}-1\right].$$

Esempio. La calotta sferica $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$ con $x^2+y^2\le r_0^2$ ($r_0<R$): $\sqrt{1+\|\nabla f\|^2}=\dfrac R{\sqrt{R^2-\rho^2}}$ e $A=2\pi R\int_0^{r_0}\dfrac{\rho\,d\rho}{\sqrt{R^2-\rho^2}}=2\pi R\left(R-\sqrt{R^2-r_0^2}\right)=2\pi R^2(1-\cos\bar\varphi)$ con $\sin\bar\varphi=r_0/R$: lo stesso risultato ottenuto con le coordinate sferiche.

Massa e baricentro di una superficie

Se $\mu:S\to[0,\infty)$ è la densità superficiale di massa, la massa è $M=\iint_S\mu\,d\sigma$ e il baricentro ha coordinate $$x_B=\frac1M\iint_Sx\,\mu\,d\sigma,\qquad y_B=\frac1M\iint_Sy\,\mu\,d\sigma,\qquad z_B=\frac1M\iint_Sz\,\mu\,d\sigma .$$ Per $\mu$ costante si ottiene il centroide, indipendente da $\mu$. Per superfici regolari a pezzi si sommano i momenti $\iint_{S_i}z\,\mu\,d\sigma$ e le masse dei pezzi.

Esempio. Superficie laterale del cono di raggio $R$, altezza $h=kR$, omogenea. Per simmetria $x_B=y_B=0$. Con $\mathbf{r}(\rho,\theta)$ come sopra, $z=k\rho$ e $d\sigma=\rho\sqrt{1+k^2}\,d\rho\,d\theta$: $$z_B=\frac{1}{\pi R^2\sqrt{1+k^2}}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^Rk\rho\cdot\rho\sqrt{1+k^2}\,d\rho\,d\theta=\frac{2\pi k\sqrt{1+k^2}\,R^3/3}{\pi R^2\sqrt{1+k^2}}=\frac23kR=\frac23h .$$ Il baricentro del solo mantello sta a $2/3$ dell'altezza dal vertice (a $h/3$ dalla base).

Superfici di rotazione e teorema di Pappo-Guldino

Una superficie di rotazione si ottiene ruotando una curva piana $\gamma$ attorno a una retta del suo piano che non l'attraversa. Prendiamo $\gamma$ nel semipiano $x\ge0$ del piano $xz$, $\gamma(t)=(x(t),z(t))$, $t\in[a,b]$, ruotata attorno all'asse $z$ di un angolo $\bar\theta\le2\pi$.

Teorema (D, secondo teorema di Pappo-Guldino). L'area della superficie di rotazione generata da $\gamma$ è la lunghezza di $\gamma$ per la lunghezza dell'arco di circonferenza percorso dal baricentro (centroide) di $\gamma$: $$A=\bar\theta\int_\gamma x\,ds=\bar\theta\,x_B\,\ell(\gamma),$$ dove $x_B$ è l'ascissa del baricentro della curva e $\ell(\gamma)$ la sua lunghezza. In particolare, per una rotazione completa, $A=2\pi\int_\gamma x\,ds$.

Dimostrazione. La superficie si parametrizza con $\mathbf{r}(t,\theta)=(x(t)\cos\theta,\ x(t)\sin\theta,\ z(t))$, $(t,\theta)\in[a,b]\times[0,\bar\theta]$. Le derivate sono $\mathbf{r}_t=(x'\cos\theta,\ x'\sin\theta,\ z')$ e $\mathbf{r}_\theta=(-x\sin\theta,\ x\cos\theta,\ 0)$. Il prodotto vettoriale ha componenti $$\mathbf{r}_t\wedge\mathbf{r}_\theta=\bigl(-z'x\cos\theta,\ -z'x\sin\theta,\ x'x\bigr),$$ quindi $\|\mathbf{r}_t\wedge\mathbf{r}_\theta\|=x\sqrt{z'^2+x'^2}$ (usando $x\ge0$ e $\cos^2+\sin^2=1$). Allora $$A=\int_0^{\bar\theta}d\theta\int_a^bx(t)\sqrt{x'(t)^2+z'(t)^2}\,dt=\bar\theta\int_\gamma x\,ds=\bar\theta\,x_B\,\ell(\gamma),$$ perché $x_B=\frac1{\ell(\gamma)}\int_\gamma x\,ds$ per definizione di baricentro di una curva omogenea. $\blacksquare$

Esempio (toro). Il toro si ottiene ruotando di $2\pi$ attorno all'asse $z$ la circonferenza di centro $(R,0)$ e raggio $r<R$ nel piano $xz$. Il baricentro della circonferenza ha ascissa $R$ e la lunghezza è $2\pi r$, quindi $A=2\pi R\cdot2\pi r=4\pi^2Rr$. (Il primo teorema di Guldino, sui volumi, dà per il solido racchiuso $2\pi R\cdot\pi r^2=2\pi^2Rr^2$; v. Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazioneL'integrale triplo ∭_E f si definisce con somme di Cauchy-Riemann su parallelepipedi; per f = 1 è il volume, per f = densità la massa; baricentro e momenti d'inerzia come in dimensione 2. Riduzione per fili (E = {(x,y) ∈ D, h₁ ≤ z ≤ h₂}: ∭ = ∬D(∫{h₁}^{h₂} f dz)dxdy) e per strati (E = {a ≤ z ≤ b, (x,y) ∈ E_z}: ∭ = ∫a^b(∬{E_z} f dxdy)dz). Cambiamento di variabili con |det DT|; coordinate cilindriche (x,y,z) = (ρcosθ, ρsinθ, z), dxdydz = ρ dρdθdz; sferiche (ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ), φ ∈ [0,π] colatitudine, dxdydz = ρ²sinφ dρdφdθ; ellissoide di semiassi a,b,c ha volume (4/3)πabc. Solidi di rotazione: Pappo-Guldino (D), |R(A)| = θ̄·x_B·|A| (area di A per lunghezza dell'arco percorso dal baricentro).Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazione →.)

Esempio. Rotando attorno all'asse $x$ anziché $z$ la formula diventa $A=2\pi\int_\gamma y\,ds$ (la distanza dall'asse è $y\ge0$). Arco di parabola $x=\tfrac32y^2+1$, $0\le y\le\tfrac1{\sqrt3}$: $A=2\pi\int_0^{1/\sqrt3}t\sqrt{9t^2+1}\,dt=\tfrac{14\pi}{27}$ (Esercizio - lavoro lungo un arco di parabola e area della superficie di rotazione (appello 9 febbraio 2026)).

Errori comuni

• Usare $\|\mathbf{r}_u\|\,\|\mathbf{r}_v\|$ al posto di $\|\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v\|$: i due coincidono solo se i vettori sono perpendicolari.
• Dimenticare il fattore $R^2\sin\varphi$ della sfera (o il fattore $\rho$ nel cono): l'elemento d'area non è $d\varphi\,d\theta$.
• Nei grafici, scrivere $\sqrt{1+f_x+f_y}$ invece di $\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}$.
• Nella formula di Pappo, usare la distanza dall'asse sbagliata (rotazione attorno a $y$ vuole $x$, attorno a $x$ vuole $y$) o dimenticare il fattore $2\pi$.
• Non spezzare una superficie regolare a pezzi (cilindro chiuso, cono con base) e dimenticare un pezzo.

Domande d'esame

1. Definire una superficie parametrica regolare, il piano tangente e il versore normale. Calcolare la normale di un grafico. Traccia: $\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v\ne0$; $\mathbf{N}=(-f_x,-f_y,1)$.
2. Definire l'area di una superficie e spiegarne la motivazione. Traccia: parallelogramma di lati $\mathbf{r}_u\Delta u$, $\mathbf{r}_v\Delta v$ e area $\|\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v\|\Delta u\Delta v$; somma di Riemann.
3. Enunciare e dimostrare il teorema di Pappo-Guldino per le superfici di rotazione. Traccia: parametrizzazione $(x\cos\theta,x\sin\theta,z)$, $\|\mathbf{N}\|=x\sqrt{x'^2+z'^2}$, $\int x\,ds=x_B\ell(\gamma)$.

Esercizi svolti: Esercizio - integrale di superficie su un paraboloide ellittico (appello 7 settembre 2026), Esercizio - area di un elicoide e di una sella (foglio 6, esercizi 1 e 3), Esercizio - area di un grafico su un semidisco (appello 30 gennaio 2024), Esercizio - aree di cilindro, cono e superficie di rotazione (Esercizi 2025-26, nn. 56 e 57).