Esercizio - derivabilità e differenziabilità di una funzione con radice del valore assoluto (lezione 10)

Teoria: Derivate parziali, differenziabilità e piano tangenteLa derivata parziale f_{x_i}(x0) è la derivata di t ↦ f(x0 + t e_i); il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. In più variabili l'esistenza delle derivate parziali NON implica la continuità. f è differenziabile in x0 se f(x0 + h) = f(x0) + a·h + o(|h|); allora f è continua, ha gradiente e a = ∇f(x0) (D). Il grafico ha piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) e normale (−f_x, −f_y, 1). Teorema del differenziale totale: se le derivate parziali esistono vicino a x0 e sono continue in x0, f è differenziabile; C^1 ⇒ differenziabile ⇒ derivabile e continua, ma i viceversa sono falsi. Regole: Leibniz, catena (f∘r)' = ∇f(r)·r'.Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente →.

Testo. Sia $f(x,y)=\sqrt{|x|}\;y$.

1. Determinare l'insieme dove $f$ è derivabile e calcolare le derivate parziali.
2. Determinare i punti di differenziabilità.

(Fonte: lezione 10 del corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD.)

Soluzione

$f$ è definita e continua su $\mathbb{R}^2$ (prodotto di continue).

1. Derivabilità

$f_y$: per $x$ fissato $f$ è lineare in $y$, quindi $f_y(x,y)=\sqrt{|x|}$ in tutto $\mathbb{R}^2$, continua.

$f_x$: si distinguono i punti.

• Sull'asse $x$ ($y=0$): $f(x,0)=0$ per ogni $x$, quindi $f_x(x,0)=0$ per ogni $x$; in particolare $f_x(0,0)=0$.
• Sull'asse $y$ con $y\ne0$ (punti $(0,y)$): il rapporto incrementale è $$\frac{f(h,y)-f(0,y)}{h}=\frac{\sqrt{|h|}\,y}{h}=y\,\frac{\operatorname{sgn}h}{\sqrt{|h|}} ,$$ che per $h\to0^+$ vale $\pm\infty$ (segno di $y$) e per $h\to0^-$ vale $\mp\infty$: non esiste $f_x(0,y)$ per $y\ne0$ (il grafico sulla sezione $y=\text{costante}$ è una cuspide con tangente verticale).
• Per $x\ne0$: $\sqrt{|x|}$ è derivabile con derivata $\frac{\operatorname{sgn}x}{2\sqrt{|x|}}$, quindi $f_x(x,y)=\dfrac{y\,\operatorname{sgn}x}{2\sqrt{|x|}}$.

Riassunto: $$\nabla f(x,y)=\begin{cases}(0,0)&(x,y)=(0,0)\\\nexists&(0,y),\ y\ne0\\\Big(\dfrac{y\operatorname{sgn}x}{2\sqrt{|x|}},\ \sqrt{|x|}\Big)&x\ne0 .\end{cases}$$ La funzione è derivabile in $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,y):y\ne0\}$.

2. Differenziabilità

• Punti con $x\ne0$: $f_x$ e $f_y$ esistono e sono continue in un intorno (non contenente l'asse $y$): per il teorema del differenziale totale $f$ è differenziabile.
• Punti $(0,y)$ con $y\ne0$: $f_x$ non esiste, e l'esistenza del gradiente è necessaria: non differenziabile.
• Origine: le derivate parziali esistono e valgono $0$, ma non sono definite in alcun intorno (sull'asse $y$ non esiste $f_x$), quindi il teorema del differenziale totale non si applica. Si usa la definizione: l'errore relativo è $$E=\frac{f(x,y)-0-0\cdot x-0\cdot y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\sqrt{|x|}\,y}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$ In polari $\tilde E=\dfrac{\rho^{1/2}\sqrt{|\cos\theta|}\;\rho\sin\theta}{\rho}=\rho^{1/2}\sqrt{|\cos\theta|}\sin\theta$ e $$|\tilde E|\le\rho^{1/2}\cdot1\cdot1\xrightarrow{\rho\to0}0$$ (uniformemente in $\theta$). Quindi $f$ è differenziabile in $(0,0)$.

Conclusione: $f$ è differenziabile in $\{x\ne0\}\cup\{(0,0)\}$, cioè in $\mathbb{R}^2$ privato dei punti dell'asse $y$ diversi dall'origine.

Il caso dell'origine mostra che il teorema del differenziale totale è solo una condizione sufficiente: $f\notin C^1(B_r(\underline 0))$ per ogni $r$ (nei punti dell'asse $y$ non è nemmeno derivabile), ma è differenziabile in $\underline 0$. Il piano tangente nell'origine è $z=0$.

Errori tipici. Concludere "non differenziabile in $(0,0)$ perché $f_x$ non è continua intorno"; applicare la formula $f_x=\frac{y\operatorname{sgn}x}{2\sqrt{|x|}}$ anche per $x=0$.