Campi conservativi, irrotazionali e insiemi semplicemente connessi

Prerequisiti: Campi vettoriali, lavoro e forme differenzialiUn campo vettoriale assegna un vettore a ogni punto; la forma differenziale ω = F₁dx + F₂dy + F₃dz è lo stesso oggetto scritto come "covettore". Il lavoro (integrale curvilineo di seconda specie) è ∫ F(r(t))·r'(t) dt: è lineare, additivo sul cammino, cambia segno se si inverte il verso e non cambia se si riparametrizza con lo stesso verso. Si lega all'integrale di prima specie con ∫ F·T ds.Campi vettoriali, lavoro e forme differenziali →, Derivate seconde, teorema di Schwarz e formula di Taylor del secondo ordineLe derivate seconde f_{x_i x_j} = (f_{x_i}){x_j} formano la matrice hessiana H_f; se f è C² l'hessiana è simmetrica (teorema di Schwarz: le derivate miste, continue, non dipendono dall'ordine). Il differenziale secondo d²f(x0)(h) = h^T H_f(x0) h = Σ f{x_i x_j} h_i h_j è una forma quadratica. Formula di Taylor del secondo ordine con resto di Peano (D): f(x0 + h) = f(x0) + ∇f(x0)·h + ½ h^T H_f(x0) h + o(|h|²) per f ∈ C². Serve per i punti critici e per calcolare limiti.Derivate seconde, teorema di Schwarz e formula di Taylor del secondo ordine → (si usa l'uguaglianza delle derivate miste), Derivate parziali, differenziabilità e piano tangenteLa derivata parziale f_{x_i}(x0) è la derivata di t ↦ f(x0 + t e_i); il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. In più variabili l'esistenza delle derivate parziali NON implica la continuità. f è differenziabile in x0 se f(x0 + h) = f(x0) + a·h + o(|h|); allora f è continua, ha gradiente e a = ∇f(x0) (D). Il grafico ha piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) e normale (−f_x, −f_y, 1). Teorema del differenziale totale: se le derivate parziali esistono vicino a x0 e sono continue in x0, f è differenziabile; C^1 ⇒ differenziabile ⇒ derivabile e continua, ma i viceversa sono falsi. Regole: Leibniz, catena (f∘r)' = ∇f(r)·r'.Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente → (gradiente e regola della catena).

Campi conservativi e potenziale

Il lavoro di un campo lungo una curva dipende in generale dal cammino (Campi vettoriali, lavoro e forme differenzialiUn campo vettoriale assegna un vettore a ogni punto; la forma differenziale ω = F₁dx + F₂dy + F₃dz è lo stesso oggetto scritto come "covettore". Il lavoro (integrale curvilineo di seconda specie) è ∫ F(r(t))·r'(t) dt: è lineare, additivo sul cammino, cambia segno se si inverte il verso e non cambia se si riparametrizza con lo stesso verso. Si lega all'integrale di prima specie con ∫ F·T ds.Campi vettoriali, lavoro e forme differenziali →: il campo di rotazione dà $\pi$, $0$, $-\pi$ su tre cammini con gli stessi estremi). Interessano i campi per cui questo non accade.

Definizione (campo conservativo, forma esatta). Sia $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ aperto e $\mathbf{F}\in C^1(\Omega;\mathbb{R}^n)$. $\mathbf{F}$ si dice conservativo in $\Omega$ se esiste una funzione scalare $U:\Omega\to\mathbb{R}$ tale che $$\nabla U=\mathbf{F}\quad\text{in }\Omega,\qquad\text{cioè }\ \frac{\partial U}{\partial x_i}=F_i\ \ \forall i .$$ $U$ si chiama potenziale di $\mathbf{F}$. Nel linguaggio delle forme, $\omega=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ si dice esatta e $U$ è una primitiva di $\omega$: $dU=\omega$. Poiché $\mathbf{F}=\nabla U$ è $C^1$, $U$ è di classe $C^2$.

Esempio. $U=x^2y$ ha $\nabla U=(2xy,\ x^2)$, quindi $\mathbf{F}=(2xy,x^2)$ è conservativo in $\mathbb{R}^2$. Anche $U=xy$ per $(y,x)$, e $U=\tfrac12(x^2+y^2)$ per il campo radiale $(x,y)$.

Unicità a meno di costante. Se $U$ è un potenziale, lo è anche $U+c$ per ogni $c\in\mathbb{R}$, perché $\nabla(U+c)=\nabla U$. Se $\Omega$ è connesso, non ce ne sono altri: se $U$ e $V$ sono potenziali, $\nabla(U-V)=\mathbf{0}$, e una funzione con gradiente nullo su un aperto connesso è costante. (Se $\Omega$ non è connesso, la costante può essere diversa su ogni componente connessa.)

Perché si chiama "conservativo". Un punto di massa $m$ con traiettoria $\mathbf{r}(t)$ soggetto a $\mathbf{F}=\nabla U$ obbedisce a $m\ddot{\mathbf{r}}=\nabla U(\mathbf{r})$. L'energia $E=\tfrac12m\|\dot{\mathbf{r}}\|^2-U(\mathbf{r})$ ha derivata $m\,\dot{\mathbf{r}}\cdot\ddot{\mathbf{r}}-\nabla U\cdot\dot{\mathbf{r}}=\dot{\mathbf{r}}\cdot(m\ddot{\mathbf{r}}-\mathbf{F})=0$: l'energia meccanica si conserva. In fisica si chiama energia potenziale $-U$.

Il lavoro si calcola con il potenziale

Teorema (D, teorema fondamentale del calcolo per i campi). Se $\mathbf{F}=\nabla U$ in $\Omega$ e $\gamma\subset\Omega$ è una curva regolare a tratti con punto iniziale $P_1=\mathbf{r}(a)$ e punto finale $P_2=\mathbf{r}(b)$, allora $$\int_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=U(P_2)-U(P_1).$$

Esempio. $U=x^2y$, da $(0,0)$ a $(1,2)$: lavoro $=U(1,2)-U(0,0)=2$, qualunque sia il cammino. Controllo sul segmento $(t,2t)$: $\mathbf{F}=(4t^2,t^2)$, $\mathbf{r}'=(1,2)$, integrando $6t^2$, integrale $2$.

Dimostrazione. Caso di una curva $C^1$. Per la regola della catena (Matrice jacobiana e derivata delle funzioni compostePer F: Rn → Rm, F = (f1, …, fm), la matrice jacobiana JF è la matrice m × n con (JF)ij = ∂fi/∂xj: la riga i è il gradiente di fi. Regola della catena: J(f∘g)(x) = Jf(g(x)) · Jg(x); casi frequenti d/dt f(γ(t)) = ∇f(γ(t))·γ'(t) e ∂f/∂x = f_u u_x + f_v v_x. Se det JF(x0) ≠ 0, F è invertibile vicino a x0 e J(F⁻¹) = (JF)⁻¹. Coordinate polari: det J = ρ.Matrice jacobiana e derivata delle funzioni composte →) la funzione $t\mapsto U(\mathbf{r}(t))$ ha derivata $$\frac{d}{dt}U(\mathbf{r}(t))=\nabla U(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t).$$ L'integrando del lavoro è dunque la derivata di $U\circ\mathbf{r}$, e per il teorema fondamentale del calcolo (Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale →) $$\int_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt=\bigl[U(\mathbf{r}(t))\bigr]_a^b=U(\mathbf{r}(b))-U(\mathbf{r}(a)).$$ Caso regolare a tratti: sia $a=t_1<t_2<\dots<t_{N+1}=b$ la suddivisione in archi $C^1$. Sommando i risultati sugli archi, $$\sum_{i=1}^N\bigl[U(\mathbf{r}(t_{i+1}))-U(\mathbf{r}(t_i))\bigr]$$ è una somma telescopica: i valori nei nodi si cancellano a coppie (il punto finale di un arco è l'iniziale del successivo) e restano $U(\mathbf{r}(b))-U(\mathbf{r}(a))$. $\blacksquare$

Conseguenze. (1) Indipendenza dal cammino: il lavoro dipende solo da $P_1$ e $P_2$. (2) Circuitazione nulla: se $\gamma$ è chiusa, $P_1=P_2$ e $\oint_\gamma\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=U(P_1)-U(P_1)=0$.

Tre condizioni equivalenti

Teorema (D, caratterizzazione dei campi conservativi). Sia $\Omega$ aperto e connesso, $\mathbf{F}\in C^1(\Omega;\mathbb{R}^n)$. Sono equivalenti: (a) per ogni coppia di curve regolari a tratti $\gamma_1,\gamma_2\subset\Omega$ con gli stessi estremi, $\int_{\gamma_1}\omega=\int_{\gamma_2}\omega$ (indipendenza dal cammino); (b) $\oint_\gamma\omega=0$ per ogni curva chiusa regolare a tratti $\gamma\subset\Omega$; (c) $\mathbf{F}$ è conservativo in $\Omega$.

Dimostrazione. (c) $\Rightarrow$ (a) e (b): sono le conseguenze del teorema precedente.

(b) $\Rightarrow$ (a). Siano $\gamma_1,\gamma_2$ da $P_1$ a $P_2$. La curva $\gamma=\gamma_1\cup(-\gamma_2)$ (si va da $P_1$ a $P_2$ lungo $\gamma_1$ e si torna indietro lungo $\gamma_2$) è chiusa, quindi per (b) $$0=\oint_\gamma\omega=\int_{\gamma_1}\omega+\int_{-\gamma_2}\omega=\int_{\gamma_1}\omega-\int_{\gamma_2}\omega,$$ e quindi i due integrali coincidono.

(a) $\Rightarrow$ (c). Un aperto connesso è connesso per archi: si fissa $P_0\in\Omega$ e per ogni $\mathbf{x}\in\Omega$ si definisce $$U(\mathbf{x})=\int_{\gamma(P_0,\mathbf{x})}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},$$ dove $\gamma(P_0,\mathbf{x})$ è una qualunque curva in $\Omega$ da $P_0$ a $\mathbf{x}$. Per (a) il valore non dipende dalla curva scelta, quindi $U$ è ben definita. Si vuole mostrare che $\partial U/\partial x_1=F_1$ (per le altre variabili è identico). Per definizione di derivata parziale, con $\mathbf{e}_1=(1,0,\dots,0)$, $$\frac{\partial U}{\partial x_1}(\mathbf{x})=\lim_{h\to0}\frac{U(\mathbf{x}+h\mathbf{e}_1)-U(\mathbf{x})}{h}.$$ Poiché $\Omega$ è aperto, per $h$ piccolo il segmento da $\mathbf{x}$ a $\mathbf{x}+h\mathbf{e}_1$ sta in $\Omega$. Per raggiungere $\mathbf{x}+h\mathbf{e}_1$ si può andare a $\mathbf{x}$ con $\gamma(P_0,\mathbf{x})$ e poi percorrere quel segmento, parametrizzato da $\mathbf{x}+sh\mathbf{e}_1$, $s\in[0,1]$, con velocità $h\mathbf{e}_1$. Allora $$U(\mathbf{x}+h\mathbf{e}_1)-U(\mathbf{x})=\int_0^1\mathbf{F}(\mathbf{x}+sh\mathbf{e}_1)\cdot h\mathbf{e}_1\,ds=h\int_0^1F_1(\mathbf{x}+sh\mathbf{e}_1)\,ds .$$ Dividendo per $h$ e facendo tendere $h\to0$, per la continuità di $F_1$ l'integrale tende a $\int_0^1F_1(\mathbf{x})\,ds=F_1(\mathbf{x})$. Quindi $\partial_1U=F_1$, e in modo analogo per le altre componenti: $\nabla U=\mathbf{F}$. $\blacksquare$

Perciò, per mostrare che un campo non è conservativo basta una sola curva chiusa con circuitazione diversa da zero.

Campi irrotazionali e forme chiuse

Verificare (a) o (b) richiede di provare tutte le curve. Serve un criterio da calcolare.

Definizione (rotore, campo irrotazionale). Per $\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)\in C^1(\Omega;\mathbb{R}^3)$ il rotore è $$\operatorname{rot}\mathbf{F}=\nabla\wedge\mathbf{F}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\ \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\ \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right),$$ cioè il determinante formale con righe $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3)$, $(\partial_x,\partial_y,\partial_z)$, $(F_1,F_2,F_3)$ (Prodotto vettoriale e prodotto mistoIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto →). $\mathbf{F}$ è irrotazionale se $\operatorname{rot}\mathbf{F}=\mathbf{0}$ in $\Omega$; la forma $\omega$ è allora chiusa. Nel piano $\mathbf{F}=(F_1,F_2)$ si vede $\mathbf{F}$ come $(F_1,F_2,0)$ indipendente da $z$ e rimane solo la terza componente: $$\operatorname{rot}\mathbf{F}=\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\quad(\text{lo scalare }\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot\mathbf{e}_3).$$

In $\mathbb{R}^3$ la condizione $\operatorname{rot}\mathbf{F}=\mathbf{0}$ sono tre uguaglianze, $\dfrac{\partial F_i}{\partial x_j}=\dfrac{\partial F_j}{\partial x_i}$ per le tre coppie $i<j$: $\partial_yF_1=\partial_xF_2$, $\partial_zF_1=\partial_xF_3$, $\partial_zF_2=\partial_yF_3$.

Esempio. $\mathbf{F}=(y+z,\ x+z,\ x+y)$: le derivate incrociate sono tutte uguali a $1$, quindi $\operatorname{rot}\mathbf{F}=\mathbf{0}$ (verificato con sympy).

Proposizione (D, condizione necessaria). Se $\mathbf{F}\in C^1$ è conservativo, allora è irrotazionale (ogni forma esatta è chiusa).

Dimostrazione. Sia $\mathbf{F}=\nabla U$, cioè $F_i=\partial U/\partial x_i$. $U$ è $C^2$ perché $F_i\in C^1$. Per $i\neq j$, $$\frac{\partial F_i}{\partial x_j}=\frac{\partial^2U}{\partial x_j\partial x_i}=\frac{\partial^2U}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{\partial F_j}{\partial x_i},$$ dove la seconda uguaglianza è il teorema di Schwarz (Derivate seconde, teorema di Schwarz e formula di Taylor del secondo ordineLe derivate seconde f_{x_i x_j} = (f_{x_i}){x_j} formano la matrice hessiana H_f; se f è C² l'hessiana è simmetrica (teorema di Schwarz: le derivate miste, continue, non dipendono dall'ordine). Il differenziale secondo d²f(x0)(h) = h^T H_f(x0) h = Σ f{x_i x_j} h_i h_j è una forma quadratica. Formula di Taylor del secondo ordine con resto di Peano (D): f(x0 + h) = f(x0) + ∇f(x0)·h + ½ h^T H_f(x0) h + o(|h|²) per f ∈ C². Serve per i punti critici e per calcolare limiti.Derivate seconde, teorema di Schwarz e formula di Taylor del secondo ordine →). $\blacksquare$

Il criterio serve soprattutto in negativo: se $\operatorname{rot}\mathbf{F}\ne\mathbf{0}$ in qualche punto, $\mathbf{F}$ non è conservativo, senza altro da verificare. Esempio: $(xy^2,\ 2x^2y)$ ha $\partial_yF_1=2xy\ne4xy=\partial_xF_2$, quindi non è conservativo.

Il controesempio fondamentale: il vortice

Sul piano bucato $\Omega=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ si consideri $$\mathbf{F}(x,y)=\left(-\frac{y}{x^2+y^2},\ \frac{x}{x^2+y^2}\right).$$ È perpendicolare al raggio vettore ($\mathbf{F}\cdot(x,y)=0$) e ha modulo $1/\sqrt{x^2+y^2}$: gira attorno all'origine, più debole lontano.

È irrotazionale. Con la regola del quoziente $$\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{-(x^2+y^2)+y\cdot2y}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2},\qquad\frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-x\cdot2x}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}.$$

Non è conservativo. Sulla circonferenza $\mathbf{r}(t)=(R\cos t,R\sin t)$, $t\in[0,2\pi]$, $\mathbf{r}'=(-R\sin t,R\cos t)$ e $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\dfrac1R(-\sin t,\cos t)$, quindi $\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}'=\sin^2t+\cos^2t=1$ e $$\oint\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi\ne0 .$$

Dunque "irrotazionale" non implica "conservativo". Il motivo è nella forma del dominio: in ogni disco che non contiene l'origine un potenziale esiste (è l'angolo polare $\theta$), ma facendo un giro completo attorno all'origine l'angolo aumenta di $2\pi$ e non può essere una funzione a un solo valore. Il lavoro $2\pi$ misura questo salto.

Insiemi semplicemente connessi

Definizione. Un aperto $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ è semplicemente connesso se è connesso (per archi) e ogni curva chiusa semplice contenuta in $\Omega$ si può deformare con continuità, restando in $\Omega$, fino a ridursi a un punto. In pratica nel piano: connesso e senza buchi.

Nel piano:

• sono semplicemente connessi $\mathbb{R}^2$, i dischi, i semipiani, i rettangoli, e in generale ogni insieme convesso (contiene il segmento fra due suoi punti qualsiasi) e ogni insieme stellato (esiste $\mathbf{x}_0$ tale che il segmento $[\mathbf{x}_0,\mathbf{x}]$ sta nell'insieme per ogni $\mathbf{x}$);
• non lo sono $\mathbb{R}^2\setminus\{P\}$ (buco puntiforme), la corona circolare (buco esteso), e gli insiemi non connessi, come $\{xy\ne0\}$ formato da quattro quadranti: lì il campo si studia quadrante per quadrante.

Nello spazio la situazione cambia: $\mathbb{R}^3$ privato di un punto (o di una palla) è semplicemente connesso, perché una curva chiusa si può sfilare passando di lato; $\mathbb{R}^3$ privato di una retta, o il toro pieno, non lo sono (una curva che gira attorno alla retta o attorno al foro non si contrae).

Teorema (irrotazionale + semplicemente connesso $\Rightarrow$ conservativo). Se $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ è aperto semplicemente connesso e $\mathbf{F}\in C^1(\Omega;\mathbb{R}^n)$ è irrotazionale, allora $\mathbf{F}$ è conservativo in $\Omega$ (ogni forma chiusa è esatta). (Dimostrazione non richiesta al corso; nel piano si deduce dal teorema di Stokes, v. Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel pianoPer un dominio D del piano con bordo orientato positivamente (D "a sinistra"), ∬ f_y = −∮ f dx e ∬ f_x = ∮ f dy. Se ne ricavano: l'area come ∮ x dy = −∮ y dx = ½∮(x dy − y dx); la formula di Stokes nel piano ∬ (F₂ₓ − F₁ᵧ) dxdy = ∮ F₁dx + F₂dy (flusso del rotore = circuitazione); l'invarianza della circuitazione di un campo irrotazionale tra curve che circondano lo stesso buco.Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel piano →.)

Corollario (conservatività locale). Se $\mathbf{F}$ è $C^1$ e irrotazionale in un aperto qualsiasi, ogni punto ha un intorno sferico $B$ in cui $\mathbf{F}$ ha un potenziale: la palla è convessa, quindi semplicemente connessa.

Riassunto, per $\mathbf{F}\in C^1$: $$\text{conservativo}\ \Longrightarrow\ \text{irrotazionale},\qquad\text{irrotazionale e }\Omega\text{ semplicemente connesso}\ \Longrightarrow\ \text{conservativo}.$$

Come si risolve un esercizio

1. Dominio. Si determina l'insieme dove il campo è definito e se è semplicemente connesso (è convesso? ha buchi? è connesso?).
2. Rotore. Si calcolano le derivate incrociate. Se non sono uguali ovunque: non conservativo, fine.
3. Conclusione. Se rotore nullo e dominio semplicemente connesso: conservativo. Se il dominio ha un buco, il rotore nullo non basta: o si trova il potenziale esplicito (e allora è conservativo), o si calcola la circuitazione su una curva che gira attorno al buco (se $\ne0$, non lo è).
4. Potenziale. In $\mathbb{R}^2$: si integra $F_1$ in $x$, $U=\int F_1\,dx+c(y)$, con $c(y)$ costante rispetto a $x$ (può dipendere da $y$); si deriva in $y$ e si impone $U_y=F_2$, ottenendo $c'(y)$, che deve dipendere solo da $y$ (se compare $x$, c'è un errore o il campo non è conservativo); si integra $c'$. In $\mathbb{R}^3$ si procede a cascata: $U=\int F_1\,dx+\varphi(y,z)$, poi $U_y=F_2$ determina $\varphi_y$, e così via con $z$.
5. Lavoro. Se si chiede $\int_\gamma\omega$ e $\omega$ è esatta, il lavoro è $U(\text{fine})-U(\text{inizio})$: contano solo gli estremi (se la curva è chiusa, $0$).

Esempio (piano). $\mathbf{F}=(2xy,\ x^2+1)$ su $\mathbb{R}^2$. $\partial_yF_1=2x=\partial_xF_2$ e $\mathbb{R}^2$ è convesso: conservativo. $U=\int2xy\,dx=x^2y+c(y)$; $U_y=x^2+c'(y)=x^2+1$ dà $c'=1$, $c=y+k$. Potenziale $U=x^2y+y+k$. Da $(0,0)$ a $(1,2)$ il lavoro è $U(1,2)-U(0,0)=4$.

Esempio (spazio). $\mathbf{F}=(y+z,x+z,x+y)$. $U=xy+xz+g(y,z)$; $U_y=x+g_y=x+z$ dà $g_y=z$, $g=yz+h(z)$; $U_z=x+y+h'=x+y$ dà $h'=0$. Potenziale $U=xy+xz+yz$.

Le richieste tipiche dei temi d'esame

1. Parametro che rende la forma chiusa. Si scrivono le condizioni di chiusura per ogni punto e si uguagliano i coefficienti dei monomi. Esempio: $\omega=(-xy-2ay)\,dx+(ax^2+bx-y^5)\,dy$; $\partial_yF_1=-x-2a$ e $\partial_xF_2=2ax+b$ coincidono per ogni $x$ se $-1-2a=0$ e $-2a-b=0$, cioè $a=-\tfrac12$, $b=1$ (sympy conferma). La primitiva è $U=xy-\tfrac12x^2y-\tfrac{y^6}{6}+k$.
2. Funzione incognita. Se compare una funzione $g$ da determinare, la condizione $\partial_yF_1=\partial_xF_2$ diventa un'equazione per $g$ (o per $g'$): si risolve e si usa l'eventuale condizione iniziale. Nello spazio: $\omega=2xz\,dx+(2yz+\sin y)\,dy+g(x,y)\,dz$ è chiusa se $\partial_xg=2x$ e $\partial_yg=2y$, cioè $g=x^2+y^2+c$; una primitiva è $U=(x^2+y^2)z-\cos y$.
3. Circuitazione calcolata senza integrare. Se il campo è conservativo su un dominio che contiene la curva chiusa, $\oint=0$. Esempio: $\mathbf{F}=(y^3\sin(xy^3),\ 3xy^2\sin(xy^3))=\nabla(-\cos(xy^3))$, quindi la circuitazione sull'ellisse $(2\cos t,3\sin t)$ è $0$, mentre sull'arco $(\sin t,\sin^4t)$, $t\in[0,\pi/2]$, da $(0,0)$ a $(1,1)$ vale $U(1,1)-U(0,0)=1-\cos1$.
4. Dominio bucato. Per un campo irrotazionale su $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ è conservativo se e solo se la circuitazione sulla circonferenza unitaria è nulla (le curve chiuse semplici che circondano l'origine hanno la stessa circuitazione, v. Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel pianoPer un dominio D del piano con bordo orientato positivamente (D "a sinistra"), ∬ f_y = −∮ f dx e ∬ f_x = ∮ f dy. Se ne ricavano: l'area come ∮ x dy = −∮ y dx = ½∮(x dy − y dx); la formula di Stokes nel piano ∬ (F₂ₓ − F₁ᵧ) dxdy = ∮ F₁dx + F₂dy (flusso del rotore = circuitazione); l'invarianza della circuitazione di un campo irrotazionale tra curve che circondano lo stesso buco.Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel piano →).

Campi centrali

Un campo del tipo $\mathbf{F}(\mathbf{x})=g(\|\mathbf{x}\|)\,\mathbf{x}$, con $g$ continua su $(0,+\infty)$ e $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\setminus\{\mathbf{0}\}$, è sempre conservativo: se $\Phi'(r)=r\,g(r)$ allora $U(\mathbf{x})=\Phi(\|\mathbf{x}\|)$ ha $\nabla U=\Phi'(r)\dfrac{\mathbf{x}}{r}=g(r)\,\mathbf{x}$ (il gradiente di $r=\|\mathbf{x}\|$ è $\mathbf{x}/r$). Per il campo gravitazionale o elettrostatico $\mathbf{F}=-\dfrac{k}{\|\mathbf{x}\|^3}\mathbf{x}$ (con $k>0$) si ha $g=-k/r^3$, $\Phi'=-k/r^2$, $\Phi=k/r$: il potenziale è $U=\dfrac{k}{\|\mathbf{x}\|}$, definito su $\mathbb{R}^3\setminus\{\mathbf{0}\}$ che è semplicemente connesso. Il lavoro per spostare una massa dal raggio $R_1$ al raggio $R_2$ è $k\left(\frac1{R_2}-\frac1{R_1}\right)$, indipendente dal cammino. Si noti la differenza con il vortice nel piano: il vortice non è radiale ma tangenziale.

Errori comuni

• Concludere "conservativo" dal solo rotore nullo senza guardare il dominio: il vortice è chiuso ma non esatto.
• Controllare una sola coppia di derivate in $\mathbb{R}^3$: servono tutte e tre, valide in ogni punto.
• Dimenticare che la costante d'integrazione nella ricerca del potenziale è una funzione dell'altra variabile: $c(y)$ in $\mathbb{R}^2$, $\varphi(y,z)$ in $\mathbb{R}^3$.
• Calcolare $U(\text{inizio})-U(\text{fine})$ invece di $U(\text{fine})-U(\text{inizio})$.
• Credere che la circuitazione nulla su una curva chiusa basti: deve essere nulla su ogni curva chiusa.
• Leggere gli estremi dalla parametrizzazione sbagliata: per $\gamma(t)=(t^5,t)$, $t\in[0,1]$ gli estremi sono $(0,0)$ e $(1,1)$; per la curva polare $\rho=e^{-\theta}$, $\theta\in[0,2\pi]$ il punto finale è $(e^{-2\pi},0)$, non $(1,0)$.

Domande d'esame

1. Dimostrare che se $\mathbf{F}=\nabla U$, il lavoro lungo una curva regolare a tratti vale $U(P_2)-U(P_1)$. Traccia: regola della catena $\frac d{dt}U(\mathbf{r}(t))=\nabla U\cdot\mathbf{r}'$, teorema fondamentale del calcolo, somma telescopica per le curve a tratti.
2. Enunciare e dimostrare l'equivalenza fra indipendenza dal cammino, circuitazione nulla e conservatività. Traccia: (c)$\Rightarrow$(a),(b) con la domanda 1; (b)$\Rightarrow$(a) con la curva $\gamma_1\cup(-\gamma_2)$; (a)$\Rightarrow$(c) definendo $U$ come integrale da un punto fisso e calcolando il rapporto incrementale lungo $\mathbf{e}_i$.
3. Dimostrare che un campo conservativo $C^1$ è irrotazionale e mostrare con un esempio che il viceversa è falso. Traccia: Schwarz sul potenziale; controesempio del vortice su $\mathbb{R}^2\setminus\{\mathbf{0}\}$ con circuitazione $2\pi$; enunciato del teorema nel caso semplicemente connesso.

Esercizi svolti: Esercizio - campo con funzione incognita, potenziale e lavoro (appello 26 gennaio 2026), Esercizio - campo con funzione incognita e potenziale su R2 (appello 7 settembre 2026), Esercizio - campo con parametro sul piano bucato (appello 30 gennaio 2024), Esercizio - quattro campi, irrotazionalità, conservatività e potenziale (foglio 6, esercizio 13).