Esercizio - Lagrange su un'ellisse e sull'ellisse piena (appello 7 settembre 2026)

Teoria: Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di LagrangeEstremi vincolati = estremi di f ristretta a una curva g(x,y) = b o a un insieme chiuso K. Metodo diretto: si parametrizza il vincolo, r(t) = (x(t), y(t)), e si studia φ(t) = f(r(t)) con l'Analisi 1 (non dimenticare gli estremi dell'intervallo). Moltiplicatori di Lagrange (D): se P è estremo locale di f|Γ e ∇g(P) ≠ 0 allora ∇f(P) = λ∇g(P); equivale a ∇L = 0 per L = f + λ(b − g). Procedura: punti singolari del vincolo (∇g = 0), punti critici vincolati, confronto dei valori (Weierstrass se Γ è compatto). Estremi assoluti su un insieme chiuso K: interno (∇f = 0), frontiera (Lagrange o parametrizzazione, più i vertici), confronto; se K è illimitato si usa la coercività della funzione all'infinito.Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di Lagrange →. Fonte: corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD, quarto appello 2026.

Testo

Siano $f(x,y) = 4x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1$ e $g(x,y) = 4x^2 + y^2 - 17$.

• (a) Determinare i punti critici di $f$ vincolati alla curva $\Gamma = \{g = 0\}$ e disegnarli.
• (b) Trovare, se esistono, gli estremi assoluti di $f$ nell'insieme $D = \{g \le 0\}$ e i punti di estremo.

Soluzione

(a) Punti critici vincolati

Il vincolo. $4x^2 + y^2 = 17$ è l'ellisse $\frac{x^2}{17/4} + \frac{y^2}{17} = 1$, di semiassi $\frac{\sqrt{17}}2 \approx 2{,}06$ (su $x$) e $\sqrt{17} \approx 4{,}12$ (su $y$). Si ha $\nabla g = (8x, 2y)$, nullo solo in $(0,0)$ che non sta su $\Gamma$ ($g(0,0) = -17$): vincolo regolare.

Lagrange. $\nabla f = (8x + 2,\ 2y - 4)$, $\nabla g = (8x, 2y)$. Parallelismo: $$f_x g_y - f_y g_x = (8x + 2)(2y) - (2y - 4)(8x) = 16xy + 4y - 16xy + 32x = 4y + 32x = 0,$$ quindi $y = -8x$. Sostituendo nel vincolo: $4x^2 + 64x^2 = 68x^2 = 17$, cioè $x^2 = \frac14$, $x = \pm\frac12$.

I due punti critici vincolati sono $$P_1 = \left(-\tfrac12,\ 4\right), \qquad P_2 = \left(\tfrac12,\ -4\right),$$ con $f(P_1) = 1 + 16 - 1 - 16 + 1 = 1$ e $f(P_2) = 1 + 16 + 1 + 16 + 1 = 35$.

Controllo senza $\lambda$. Su $\Gamma$ si ha $f = 17 + 2x - 4y + 1 = 18 + 2x - 4y$, funzione lineare da estremizzare sull'ellisse: nei due punti trovati il gradiente $(2,-4)$ della funzione lineare è parallelo al gradiente $(8x, 2y)$ del vincolo ($(-4, 8)$ in $P_1$, $(4,-8)$ in $P_2$) ✓.

(b) Estremi assoluti su $D$

$D$ è l'ellisse piena, chiusa e limitata; $f$ è continua: esistono massimo e minimo.

• Frontiera: candidati $P_1$ (valore $1$) e $P_2$ (valore $35$).
• Interno: $\nabla f = (8x + 2, 2y - 4) = \mathbf{0}$ in $Q = \left(-\frac14, 2\right)$; è interno perché $g(Q) = \frac14 + 4 - 17 < 0$. Valore: $f(Q) = \frac14 + 4 - \frac12 - 8 + 1 = -\frac{13}4$.

Confronto di $1$, $35$, $-\frac{13}4$: $$\max_D f = 35 \ \text{ in } P_2 = \left(\tfrac12, -4\right), \qquad \min_D f = -\tfrac{13}4 \ \text{ in } Q = \left(-\tfrac14, 2\right).$$ (Coerente con $f = 4\left(x + \frac14\right)^2 + (y - 2)^2 - \frac{13}{4}$: paraboloide con vertice in $Q$.)

Errori tipici

• Fermarsi ai punti di (a) nella parte (b): servono anche i punti critici interni.
• Confondere i punti critici vincolati (sul bordo) con i candidati globali: $P_1$ è critico vincolato ma non è né massimo né minimo su $D$.