Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2

Prerequisiti: Problema di Cauchy per sistemi di equazioni differenzialiUn sistema in forma normale è y' = f(t, y) con y a valori in Rⁿ; il problema di Cauchy aggiunge y(t₀) = y₀. Ogni equazione di ordine n si riduce a un sistema del primo ordine. Peano: f continua ⇒ esiste almeno una soluzione locale (non unica in generale: y' = y^(2/3)). Cauchy-Lipschitz: f e ∂f/∂y continue (o lipschitziana in y) ⇒ esistenza e unicità locali, e una soluzione massimale. Può esplodere in tempo finito (y' = y²); se |f(t,y)| ≤ H + K|y| su una striscia [a,b] × Rⁿ la soluzione è globale.Problema di Cauchy per sistemi di equazioni differenziali → (unicità), Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costantiUn sistema lineare y' = A(t)y + g(t) con coefficienti continui ha, per ogni dato iniziale, una e una sola soluzione, definita su tutto l'intervallo (D). Le soluzioni del sistema omogeneo formano uno spazio vettoriale di dimensione n (D); quelle del sistema completo sono una soluzione particolare più l'integrale omogeneo (D). Per y'' + by' + cy = 0 si cercano e^(λt): tre casi (D). Un sistema 2×2 a coefficienti costanti si riduce a u'' − (tr A)u' + (det A)u = g, risolta con il metodo di somiglianza.Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti → (soluzioni di $\mathbf{y}'=A\mathbf{y}$), Autovalori e autovettoriUn autovettore è un vettore non nullo che una funzione lineare manda in un suo multiplo; si trovano gli autovalori come radici del polinomio caratteristico det(A − λI) e gli autovettori come nucleo di A − λI. Matrici simili hanno gli stessi autovalori.Autovalori e autovettori →, Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali → (orbite come curve).

Sistemi autonomi, orbite, piano delle fasi

Definizione. Un sistema si dice autonomo se il campo non dipende dal tempo: $\mathbf{y}'=\mathbf{f}(\mathbf{y})$. In dimensione $2$: $$\begin{cases}x'=f(x,y)\\ y'=g(x,y)\end{cases}\qquad f,g\in C^1(D),\ D\subseteq\mathbb{R}^2\text{ aperto}.$$

Una soluzione $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))$ si può vedere in due modi: come curva $(t,x(t),y(t))$ nello spazio delle fasi esteso (con il tempo come terzo asse), oppure, più utilmente, come curva nel piano $(x,y)$, il piano delle fasi. Il sostegno di $\mathbf{r}$ è l'orbita (o traiettoria), orientata nel verso di $t$ crescente. Disegnare il piano delle fasi significa disegnare le orbite con le frecce: il campo $\mathbf{f}$ è proprio il vettore tangente all'orbita in ogni punto.

Proposizione (D, invarianza per traslazioni temporali). Se $\mathbf{r}(t)$ risolve $\mathbf{y}'=\mathbf{f}(\mathbf{y})$ su $(a,b)$, allora per ogni $\tau\in\mathbb{R}$ anche $\mathbf{s}(t)=\mathbf{r}(t+\tau)$ è soluzione, su $(a-\tau,b-\tau)$; ha la stessa orbita.

Dimostrazione. Per la regola della catena $\mathbf{s}'(t)=\mathbf{r}'(t+\tau)$, e poiché $\mathbf{r}'(\xi)=\mathbf{f}(\mathbf{r}(\xi))$ per ogni $\xi$, con $\xi=t+\tau$ si ha $\mathbf{s}'(t)=\mathbf{f}(\mathbf{r}(t+\tau))=\mathbf{f}(\mathbf{s}(t))$. $\blacksquare$

Proposizione (D, le orbite non si intersecano). Se due orbite hanno un punto in comune, coincidono.

Dimostrazione. Siano $\mathbf{r}$ e $\mathbf{s}$ due soluzioni con $\mathbf{r}(t_1)=\mathbf{s}(t_2)=P$. Per la proposizione precedente $\mathbf{w}(t)=\mathbf{s}(t+t_2-t_1)$ è una soluzione, e $\mathbf{w}(t_1)=\mathbf{s}(t_2)=P=\mathbf{r}(t_1)$. Dunque $\mathbf{r}$ e $\mathbf{w}$ risolvono lo stesso problema di Cauchy con dato $P$ in $t_1$; poiché $\mathbf{f}$ è $C^1$, per l'unicità $\mathbf{w}=\mathbf{r}$. Ma $\mathbf{w}$ ha la stessa orbita di $\mathbf{s}$ (è una traslazione nel tempo): le orbite di $\mathbf{r}$ e di $\mathbf{s}$ coincidono. $\blacksquare$

Perciò il piano delle fasi è "riempito" da orbite senza incroci, come le linee di corrente di un fluido stazionario.

Equilibri

Definizione. $P$ è un punto di equilibrio (o stato stazionario) se $\mathbf{f}(P)=\mathbf{0}$.

Esempio. Per $\begin{cases}x'=-2x-\frac23y\\y'=3x+y\end{cases}$ gli equilibri risolvono $3x+y=0$ (la seconda equazione è anche la prima, a meno di un fattore): un'intera retta.

Proprietà:

1. La funzione costante $\mathbf{r}(t)\equiv P$ è una soluzione ($0=\mathbf{f}(P)$), e per unicità è l'unica che passa per $P$.
2. Nessuna soluzione non costante raggiunge un equilibrio in tempo finito (altrimenti due orbite diverse si incrocerebbero in $P$).
3. Se una soluzione ha un limite $\lim_{t\to+\infty}\mathbf{r}(t)=P$, allora $P$ è un equilibrio. Dimostrazione: per continuità $\mathbf{r}'(t)=\mathbf{f}(\mathbf{r}(t))\to\mathbf{f}(P)$; se fosse $\mathbf{f}(P)\ne\mathbf{0}$, una componente di $\mathbf{r}'$ sarebbe da un certo istante in poi in modulo $\ge c>0$ e dello stesso segno, quindi quella componente di $\mathbf{r}$ crescerebbe (o decrescerebbe) linearmente, in contraddizione con la convergenza. $\blacksquare$

Stabilità

Sia $\boldsymbol\varphi(t,\mathbf{y}_0)$ la soluzione con $\boldsymbol\varphi(0,\mathbf{y}_0)=\mathbf{y}_0$ e $P$ un equilibrio. La domanda è: se parto vicino a $P$, che cosa succede?

Definizione (stabilità secondo Lyapunov).

• $P$ è stabile se $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$ tale che $\|\mathbf{y}_0-P\|<\delta$ implica che $\boldsymbol\varphi(t,\mathbf{y}_0)$ esiste per ogni $t\ge0$ e $\|\boldsymbol\varphi(t,\mathbf{y}_0)-P\|<\varepsilon$ per ogni $t\ge0$ (le soluzioni che partono vicino restano vicine per sempre).
• $P$ è asintoticamente stabile (attrattore) se è stabile e inoltre esiste $\delta_1>0$ tale che $\|\mathbf{y}_0-P\|<\delta_1\Rightarrow\lim_{t\to+\infty}\boldsymbol\varphi(t,\mathbf{y}_0)=P$. Se vale per ogni dato iniziale è un attrattore globale.
• $P$ è instabile se non è stabile.

Esempi di significato: una pallina al fondo di una ciotola è asintoticamente stabile se c'è attrito, solo stabile (oscilla per sempre) se non c'è attrito; in cima a una collina è instabile.

Sistemi lineari $\mathbf{y}'=A\mathbf{y}$, $A\in\mathbb{R}^{2\times2}$

Gli equilibri risolvono $A\mathbf{y}=\mathbf{0}$. Se $\det A\ne0$ l'unico equilibrio è l'origine; se $\det A=0$ sono tutti i punti del nucleo di $A$ (una retta, o tutto il piano se $A=0$): in tal caso l'origine non è isolata, e non può essere asintoticamente stabile (esistono equilibri arbitrariamente vicini, che non convergono a $0$).

L'equazione caratteristica è $\lambda^2-\tau\lambda+d=0$, dove $\tau=\operatorname{tr}A$ e $d=\det A$; il discriminante è $\Delta=\tau^2-4d$.

Teorema (classificazione, caso $\det A\ne0$). Siano $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{C}$ gli autovalori di $A$. L'origine è

1. asintoticamente stabile se e solo se $\operatorname{Re}\lambda_1<0$ e $\operatorname{Re}\lambda_2<0$;
2. stabile (non asintoticamente) se e solo se $\operatorname{Re}\lambda_1,\operatorname{Re}\lambda_2\le0$ e almeno uno vale $0$ (in tal caso gli autovalori sono $\pm i\omega$);
3. instabile se e solo se almeno un autovalore ha $\operatorname{Re}\lambda>0$.

Perché: l'integrale generale (v. sotto) è combinazione di termini $e^{\lambda t}$, $te^{\lambda t}$, $e^{\mu t}\cos\omega t$, $e^{\mu t}\sin\omega t$. Questi tendono a $0$ se la parte reale è negativa (l'esponenziale vince su $t$ e sulle funzioni limitate), restano limitati se $\mu=0$ e $\lambda=\pm i\omega$, divergono se la parte reale è positiva. Se $\det A\ne0$ non c'è l'autovalore $0$, quindi $\operatorname{Re}\lambda=0$ vuol dire $\lambda=\pm i\omega$, $\omega\ne0$ (due autovalori distinti, soluzioni limitate).

Forma con traccia e determinante. Si può evitare di calcolare gli autovalori:

Proposizione (D). Per $A$ reale $2\times2$: l'origine è asintoticamente stabile se e solo se $\tau<0$ e $d>0$.

Dimostrazione. Se $\Delta<0$ gli autovalori sono complessi coniugati con parte reale $\tau/2$ e $d>0$ (prodotto di coniugati $=|\lambda|^2>0$): la condizione $\operatorname{Re}\lambda<0$ equivale a $\tau<0$, e $d>0$ è automatica. Se $\Delta\ge0$ gli autovalori sono reali, con somma $\tau$ e prodotto $d$: sono entrambi negativi se e solo se la somma è negativa e il prodotto è positivo, cioè $\tau<0$, $d>0$. $\blacksquare$

Esempio. $A=\begin{pmatrix}-2&\alpha\\3&1\end{pmatrix}$: $\tau=-1<0$ sempre, $d=-2-3\alpha>0\iff\alpha<-\tfrac23$. Per $\alpha=-\tfrac23$ è $d=0$ e c'è una retta di equilibri: non asintoticamente stabile. Quindi l'origine è asintoticamente stabile se e solo se $\alpha<-\tfrac23$ (Esercizio - stabilità e problema di Cauchy al variare di un parametro (ricevimento, appello 8 luglio 2025)).

I ritratti di fase

Dal segno di $d$ e di $\tau$, e da $\Delta$:

Autovalori reali distinti ($\Delta>0$). Con autovettori $\mathbf{h}_1,\mathbf{h}_2$, $\mathbf{y}=\alpha e^{\lambda_1t}\mathbf{h}_1+\beta e^{\lambda_2t}\mathbf{h}_2$.

• $\lambda_1<\lambda_2<0$: nodo stabile. Tutte le orbite vanno all'origine; vi entrano tangenti alla retta dell'autovalore più vicino a $0$ (decade più lentamente), cioè $\mathbf{h}_2$. Asintoticamente stabile.
• $0<\lambda_1<\lambda_2$: nodo instabile: le frecce sono invertite, le orbite escono dall'origine. Instabile.
• $\lambda_1<0<\lambda_2$ ($d<0$): sella. Solo le orbite sulla retta di $\mathbf{h}_1$ vanno all'origine; tutte le altre sono iperboli che si avvicinano e poi si allontanano lungo $\mathbf{h}_2$. Instabile.

Autovalore doppio ($\Delta=0$, $\lambda=\tau/2\ne0$). Se $A=\lambda I$ le orbite sono semirette radiali (stella). Altrimenti esiste un autovettore $\mathbf{h}$ e un vettore $\mathbf{v}$ con $(A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{h}$, e le soluzioni sono $\mathbf{y}=e^{\lambda t}\bigl[(\alpha+\beta t)\mathbf{h}+\beta\mathbf{v}\bigr]$ (verifica: derivando $e^{\lambda t}(t\mathbf{h}+\mathbf{v})$ si ottiene $e^{\lambda t}(\lambda t\mathbf{h}+\lambda\mathbf{v}+\mathbf{h})=A\,e^{\lambda t}(t\mathbf{h}+\mathbf{v})$). Nodo improprio (degenere), stabile se $\lambda<0$ (perché $te^{\lambda t}\to0$) e instabile se $\lambda>0$.

Autovalori complessi ($\Delta<0$): $\lambda=\mu\pm i\omega$, $\omega\ne0$. Le soluzioni sono $e^{\mu t}(\mathbf{a}\cos\omega t+\mathbf{b}\sin\omega t)$ con vettori $\mathbf{a},\mathbf{b}$ determinati dall'autovettore complesso.

• $\mu<0$: fuoco stabile, spirali che convergono all'origine. Asintoticamente stabile.
• $\mu>0$: fuoco instabile, spirali che si allontanano.
• $\mu=0$: centro, orbite chiuse (ellissi) percorse con periodo $T=2\pi/\omega$. Stabile ma non asintoticamente.

Riassunto per $\det A\ne0$.

Se $\det A=0$. C'è un autovalore $0$ e i punti del nucleo sono equilibri. Esempio: $A=\begin{pmatrix}-2&-4\\-4&-8\end{pmatrix}$ ha $\tau=-10$, $d=0$, autovalori $0$ e $-10$: lungo la direzione di $-10$ si decade, lungo il nucleo (la retta $y_1+2y_2=0$) si resta fermi. L'origine è stabile ma non asintoticamente.

Esempio meccanico: la molla con attrito

L'equazione $y''+hy'+ky=0$ ($k>0$ costante elastica, $h\ge0$ attrito viscoso) con $v=y'$ diventa $\begin{pmatrix}y\\v\end{pmatrix}'=\begin{pmatrix}0&1\\-k&-h\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y\\v\end{pmatrix}$, con $\tau=-h$, $d=k>0$ e $\lambda^2+h\lambda+k=0$.

• $h=0$: $\lambda=\pm i\sqrt k$, centro: oscillazioni persistenti, orbite ellittiche $\frac12v^2+\frac12ky^2=E$ (energia costante).
• $h>0$ e $h^2>4k$ (attrito forte): due radici negative, nodo stabile: ritorno monotono, senza oscillazioni.
• $h>0$ e $h^2=4k$: smorzamento critico, nodo improprio stabile.
• $h>0$ e $h^2<4k$ (attrito debole): $\lambda=-\frac h2\pm i\frac{\sqrt{4k-h^2}}2$, fuoco stabile: oscillazioni smorzate.

Come si risolve un esercizio

1. Equilibri: si risolve $A\mathbf{y}=\mathbf{0}$ (matrice invertibile $\Rightarrow$ solo l'origine; se $\det A=0$ come funzione del parametro, si tratta separatamente quel valore, scrivendo la retta di equilibri).
2. Traccia e determinante (eventualmente in funzione del parametro): $\tau$ e $d$.
3. Stabilità asintotica: $\tau<0$ e $d>0$. Per sapere anche il tipo (nodo, fuoco), si guarda il segno di $\Delta=\tau^2-4d$.
4. Casi limite: $\tau=0$, $d>0$ centro (stabile, non asintotica); $d=0$ si studia a parte; $d<0$ sella (instabile).
5. Soluzioni esplicite: riduzione al secondo ordine come nella nota Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costantiUn sistema lineare y' = A(t)y + g(t) con coefficienti continui ha, per ogni dato iniziale, una e una sola soluzione, definita su tutto l'intervallo (D). Le soluzioni del sistema omogeneo formano uno spazio vettoriale di dimensione n (D); quelle del sistema completo sono una soluzione particolare più l'integrale omogeneo (D). Per y'' + by' + cy = 0 si cercano e^(λt): tre casi (D). Un sistema 2×2 a coefficienti costanti si riduce a u'' − (tr A)u' + (det A)u = g, risolta con il metodo di somiglianza.Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti →.

Errori comuni

• Scambiare "stabile" e "asintoticamente stabile": il centro è stabile, ma non converge.
• Dimenticare di esaminare il valore del parametro in cui $\det A=0$: lì ci sono infiniti equilibri e l'origine non è asintoticamente stabile.
• Concludere con la sola traccia negativa: serve anche $\det A>0$ (per $\tau<0$, $d<0$ è una sella).
• Confondere il piano delle fasi con il grafico $t\mapsto x(t)$.
• Chiamare "nodo" ciò che ha autovalori complessi (è un fuoco).

Domande d'esame

1. Dimostrare che le soluzioni di un sistema autonomo sono invarianti per traslazioni temporali e che due orbite distinte non si intersecano. Traccia: $\mathbf{s}(t)=\mathbf{r}(t+\tau)$ e regola della catena; $\mathbf{w}(t)=\mathbf{s}(t+t_2-t_1)$ coincide con $\mathbf{r}$ per unicità.
2. Definire equilibrio, stabilità, stabilità asintotica, instabilità. Traccia: $\varepsilon$-$\delta$ per $t\ge0$; la stabilità asintotica richiede anche la convergenza.
3. Caratterizzare la stabilità dell'origine per $\mathbf{y}'=A\mathbf{y}$, $A$ $2\times2$, in termini di autovalori; classificare nodi, fuochi, selle, centri. Traccia: soluzioni $e^{\lambda t}\mathbf{h}$, segno di $\operatorname{Re}\lambda$; $\tau<0$ e $d>0$.

Esercizi svolti: Esercizio - stabilità dell'origine al variare di un parametro (lezione 35), Esercizio - stabilità e problema di Cauchy al variare di un parametro (ricevimento, appello 8 luglio 2025), Esercizio - classificazione dell'origine per alcune matrici e oscillatore smorzato (lezione 34), Esercizio - sistema con parametro, stabilità e soluzione per un caso fissato (temi d'esame).