Flusso, teorema della divergenza e teorema del rotore

Prerequisiti: Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficieUna superficie regolare è l'immagine di r(u,v) di classe C¹ iniettiva con r_u ∧ r_v ≠ 0; r_u, r_v sono i vettori tangenti alle linee coordinate, N = r_u ∧ r_v la normale, e il piano tangente è N·(x − x₀) = 0. Area = ∬ ‖r_u ∧ r_v‖ du dv; integrale di superficie ∬ f dσ = ∬ f(r)‖r_u ∧ r_v‖ du dv. Per il grafico z = f(x,y): dσ = √(1+‖∇f‖²) dx dy. Baricentro con la densità; teorema di Pappo-Guldino: area di rotazione = 2π ∫ x ds (D).Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficie → (normale, $d\sigma$), Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel pianoPer un dominio D del piano con bordo orientato positivamente (D "a sinistra"), ∬ f_y = −∮ f dx e ∬ f_x = ∮ f dy. Se ne ricavano: l'area come ∮ x dy = −∮ y dx = ½∮(x dy − y dx); la formula di Stokes nel piano ∬ (F₂ₓ − F₁ᵧ) dxdy = ∮ F₁dx + F₂dy (flusso del rotore = circuitazione); l'invarianza della circuitazione di un campo irrotazionale tra curve che circondano lo stesso buco.Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel piano → (le dimostrazioni nel piano), Campi vettoriali, lavoro e forme differenzialiUn campo vettoriale assegna un vettore a ogni punto; la forma differenziale ω = F₁dx + F₂dy + F₃dz è lo stesso oggetto scritto come "covettore". Il lavoro (integrale curvilineo di seconda specie) è ∫ F(r(t))·r'(t) dt: è lineare, additivo sul cammino, cambia segno se si inverte il verso e non cambia se si riparametrizza con lo stesso verso. Si lega all'integrale di prima specie con ∫ F·T ds.Campi vettoriali, lavoro e forme differenziali →, Campi conservativi, irrotazionali e insiemi semplicemente connessiF è conservativo se F = ∇U (U potenziale, forma ω esatta): allora il lavoro da P₁ a P₂ vale U(P₂) − U(P₁), non dipende dal cammino ed è nullo sulle curve chiuse, e queste tre proprietà sono equivalenti. Condizione necessaria: rotore nullo (campo irrotazionale, forma chiusa), che non basta (vortice nel piano bucato: circuitazione 2π). Basta se il dominio è semplicemente connesso (senza buchi). Il potenziale si costruisce integrando una componente e imponendo le altre.Campi conservativi, irrotazionali e insiemi semplicemente connessi → (rotore), Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazioneL'integrale triplo ∭_E f si definisce con somme di Cauchy-Riemann su parallelepipedi; per f = 1 è il volume, per f = densità la massa; baricentro e momenti d'inerzia come in dimensione 2. Riduzione per fili (E = {(x,y) ∈ D, h₁ ≤ z ≤ h₂}: ∭ = ∬D(∫{h₁}^{h₂} f dz)dxdy) e per strati (E = {a ≤ z ≤ b, (x,y) ∈ E_z}: ∭ = ∫a^b(∬{E_z} f dxdy)dz). Cambiamento di variabili con |det DT|; coordinate cilindriche (x,y,z) = (ρcosθ, ρsinθ, z), dxdydz = ρ dρdθdz; sferiche (ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ), φ ∈ [0,π] colatitudine, dxdydz = ρ²sinφ dρdφdθ; ellissoide di semiassi a,b,c ha volume (4/3)πabc. Solidi di rotazione: Pappo-Guldino (D), |R(A)| = θ̄·x_B·|A| (area di A per lunghezza dell'arco percorso dal baricentro).Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazione → (integrali tripli per fili e per strati).

Flusso di un campo attraverso una superficie

Se $\mathbf{F}$ è il campo di velocità di un fluido (massa per unità di area e di tempo), la quantità di fluido che attraversa una piccola porzione di superficie di area $d\sigma$ è la componente di $\mathbf{F}$ perpendicolare alla superficie per $d\sigma$: $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,d\sigma$, dove $\mathbf{n}$ è il versore normale che fissa il verso positivo di attraversamento.

Definizione (flusso). Sia $(S,\mathbf{r})$ una superficie regolare con versore normale $\mathbf{n}=\dfrac{\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v}{\|\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v\|}$ e $\mathbf{F}:S\to\mathbb{R}^3$ un campo continuo. Il flusso di $\mathbf{F}$ attraverso $S$ (nel verso di $\mathbf{n}$) è $$\Phi=\iint_S\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,d\sigma=\iint_D\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot(\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v)(u,v)\,du\,dv .$$ Il secondo membro segue dal primo perché $\mathbf{n}\,d\sigma=\dfrac{\mathbf{N}}{\|\mathbf{N}\|}\|\mathbf{N}\|\,du\,dv=\mathbf{N}\,du\,dv$: il fattore $\|\mathbf{N}\|$ si semplifica e non servono radici.

Cambiando verso alla normale ($\mathbf{n}\to-\mathbf{n}$, per esempio scambiando $u$ e $v$) il flusso cambia segno. Per questo il testo di un esercizio deve specificare la orientazione ("con normale verso l'alto", "uscente", "con $\mathbf{n}$ che in $(0,0,1)$ vale $-\mathbf{e}_3$").

Grafico. Per $z=f(x,y)$ con normale verso l'alto, $\mathbf{N}=(-f_x,-f_y,1)$ e $$\Phi=\iint_D\mathbf{F}(x,y,f(x,y))\cdot(-f_x,-f_y,1)\,dx\,dy .$$ Con la normale verso il basso il segno si inverte.

Esempio. $\mathbf{F}=(0,0,z)$ attraverso il grafico $z=1-x^2-y^2$ su $x^2+y^2\le1$, normale verso l'alto: $\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}=1-x^2-y^2$ e $\Phi=\iint_D(1-\rho^2)\rho\,d\rho\,d\theta=\tfrac\pi2$.

Superfici chiuse, normale uscente

Definizione. Un dominio regolare di $\mathbb{R}^3$ è la chiusura $\Omega$ di un aperto limitato la cui frontiera $\partial\Omega$ è il sostegno di una superficie regolare (o regolare a pezzi: per esempio i solidi delimitati da un numero finito di grafici, il cubo, il cilindro con le basi). Una superficie con sostegno $\partial\Omega$ si dice chiusa. La normale è uscente (si scrive $\mathbf{n}_e$) se $P+t\mathbf{n}(P)\notin\Omega$ per $t>0$ piccolo, entrante se $P+t\mathbf{n}(P)\in\mathring\Omega$.

Ad esempio sfere ed ellissoidi sono chiusi; nessun grafico è una superficie chiusa. Il flusso uscente è quello calcolato con $\mathbf{n}_e$. Per la sfera di centro l'origine e raggio $R$ con $\mathbf{r}(\varphi,\theta)$ in coordinate sferiche si trova $\mathbf{r}_\varphi\wedge\mathbf{r}_\theta=R\sin\varphi\;\mathbf{r}$: è parallelo al raggio, quindi la normale è già uscente (controllo nel punto $(R,0,0)$: $\mathbf{r}_\varphi=(0,0,-R)$, $\mathbf{r}_\theta=(0,R,0)$, il prodotto è $(R^2,0,0)$).

Esempio (campo elettrostatico). $\mathbf{E}=kq\dfrac{\mathbf{r}}{\|\mathbf{r}\|^3}$ sulla sfera di raggio $R$: $\mathbf{n}_e=\mathbf{r}/R$ e $\mathbf{E}\cdot\mathbf{n}_e=\dfrac{kq}{R^2}$ (costante). Quindi $\Phi=\dfrac{kq}{R^2}\cdot4\pi R^2=4\pi kq$, indipendente da $R$ e proporzionale alla carica: è il teorema di Gauss dell'elettrostatica.

Esempio. $\mathbf{F}=(x,0,y)$ uscente dalla sfera di raggio $R$. Con $\mathbf{N}=R\sin\varphi\,\mathbf{r}$ si ha $\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}=R\sin\varphi\,(x^2+yz)$ con $x=R\sin\varphi\cos\theta$, $y=R\sin\varphi\sin\theta$, $z=R\cos\varphi$, quindi $$\Phi=R^3\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\sin\varphi\bigl(\sin^2\varphi\cos^2\theta+\sin\varphi\cos\varphi\sin\theta\bigr)d\varphi\,d\theta=R^3\cdot\pi\cdot\tfrac43=\frac{4\pi R^3}3,$$ perché l'integrale di $\sin\theta$ su $[0,2\pi]$ è nullo e $\int_0^\pi\sin^3\varphi\,d\varphi=\tfrac43$. Si ritrova col teorema della divergenza (v. sotto).

Divergenza e teorema di Gauss

Definizione (divergenza). Per $\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)\in C^1$, $$\operatorname{div}\mathbf{F}=\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}\quad(\text{nel piano: }\partial_xF_1+\partial_yF_2).$$

Esempio. $\operatorname{div}(x,y,z^2)=1+1+2z$. $\operatorname{div}(x,0,y)=1$.

Teorema (della divergenza, o di Gauss; D per domini semplici rispetto a tutti gli assi). Sia $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ un dominio regolare (o con frontiera regolare a pezzi), $\mathbf{n}_e$ la normale uscente su $\partial\Omega$ e $\mathbf{F}\in C^1$ in un aperto che contiene $\Omega$. Allora $$\iiint_\Omega\operatorname{div}\mathbf{F}\,dx\,dy\,dz=\iint_{\partial\Omega}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_e\,d\sigma .$$ Se si usa la normale entrante $\mathbf{n}_i=-\mathbf{n}_e$ vale $\iiint_\Omega\operatorname{div}\mathbf{F}=-\iint_{\partial\Omega}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_i\,d\sigma$.

L'integrale di volume della "produzione" locale $\operatorname{div}\mathbf{F}$ (sorgenti meno pozzi) è il flusso netto che esce dalla frontiera. In particolare $\operatorname{div}\mathbf{F}(P)=\lim_{r\to0}\dfrac{\text{flusso uscente dalla sfera di raggio }r\text{ attorno a }P}{\text{volume}}$.

Dimostrazione (per $\Omega$ semplice rispetto ai tre assi). Per linearità, $\mathbf{F}=F_1\mathbf{e}_1+F_2\mathbf{e}_2+F_3\mathbf{e}_3$: basta provare $\iiint\partial_zF_3=\iint_{\partial\Omega}F_3\,n_3\,d\sigma$ (le altre due componenti si trattano allo stesso modo, usando la semplicità rispetto a $x$ e a $y$). Sia $\Omega=\{(x,y)\in D,\ g_1(x,y)\le z\le g_2(x,y)\}$ ($z$-semplice). Per riduzione per fili e teorema fondamentale del calcolo, $$\iiint_\Omega\frac{\partial F_3}{\partial z}\,dx\,dy\,dz=\iint_D\bigl[F_3(x,y,g_2)-F_3(x,y,g_1)\bigr]dx\,dy .$$ Dall'altra parte, la frontiera è l'unione di tre pezzi:

• la superficie superiore $z=g_2(x,y)$, con normale uscente verso l'alto $\mathbf{N}=(-g_{2x},-g_{2y},1)$: contributo $\iint_DF_3(x,y,g_2)\cdot1\,dx\,dy$ (solo la terza componente di $\mathbf{N}$ conta);
• la superficie inferiore $z=g_1(x,y)$, con normale uscente verso il basso $-(-g_{1x},-g_{1y},1)$: contributo $-\iint_DF_3(x,y,g_1)\,dx\,dy$;
• la superficie laterale verticale (sopra $\partial D$), dove la normale è orizzontale, $n_3=0$: contributo $0$.

La somma coincide con l'integrale di volume. Sommando le tre componenti si ottiene il teorema. $\blacksquare$

Esempio (la sfera di prima). $\mathbf{F}=(x,0,y)$, $\operatorname{div}\mathbf{F}=1$: $\Phi=\operatorname{vol}(B_R)=\tfrac43\pi R^3$, in un passaggio.

Esempio. $\mathbf{F}=(x^3,y^3,z^3)$ uscente dalla sfera unitaria: $\operatorname{div}\mathbf{F}=3(x^2+y^2+z^2)=3\rho^2$ e in sferiche $\iiint3\rho^2\,dV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\!\!\int_0^13\rho^2\cdot\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta=3\cdot\tfrac15\cdot2\cdot2\pi=\tfrac{12\pi}5$.

Come si usa nei problemi

• Per una superficie chiusa conviene quasi sempre il teorema: si sostituisce un integrale di superficie su più pezzi con un integrale triplo di una funzione spesso semplice (per fili, strati, cilindriche o sferiche).
• Per una superficie aperta (un grafico, una calotta) il teorema non si applica direttamente: o si calcola $\iint\mathbf{F}\cdot\mathbf{N}$ con la definizione, oppure si chiude la superficie aggiungendo pezzi facili (per esempio la base piana), si applica Gauss al solido, e si sottrae il flusso dei pezzi aggiunti. Esempio: $\mathbf{F}=(xy,xy,z)$ attraverso la calotta $z=1-x^2-y^2$, $z\ge0$ (normale verso l'alto). Chiusa con il disco di base ($z=0$, normale $-\mathbf{e}_3$, sul quale $\mathbf{F}\cdot(-\mathbf{e}_3)=-z=0$) e con $\operatorname{div}\mathbf{F}=x+y+1$, per simmetria $\Phi_{\text{tot}}=\operatorname{vol}=\tfrac\pi2$ e quindi $\Phi_{\text{calotta}}=\tfrac\pi2-0=\tfrac\pi2$ (confermato dal calcolo diretto).

Il teorema della divergenza nel piano

Teorema (D, divergenza nel piano). Sia $D\subset\mathbb{R}^2$ un dominio con frontiera regolare a pezzi, $\mathbf{n}_e$ la normale esterna a $\partial D$, $\mathbf{F}\in C^1$. Allora $\displaystyle\iint_D\operatorname{div}\mathbf{F}\,dx\,dy=\oint_{\partial D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_e\,ds$.

Dimostrazione. Dalle formule di Gauss-Green (Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel pianoPer un dominio D del piano con bordo orientato positivamente (D "a sinistra"), ∬ f_y = −∮ f dx e ∬ f_x = ∮ f dy. Se ne ricavano: l'area come ∮ x dy = −∮ y dx = ½∮(x dy − y dx); la formula di Stokes nel piano ∬ (F₂ₓ − F₁ᵧ) dxdy = ∮ F₁dx + F₂dy (flusso del rotore = circuitazione); l'invarianza della circuitazione di un campo irrotazionale tra curve che circondano lo stesso buco.Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel piano →): la (2) con $f=F_1$ dà $\iint\partial_xF_1=\oint F_1\,dy$ e la (1) con $f=F_2$ dà $\iint\partial_yF_2=-\oint F_2\,dx$. Sommando, $\iint\operatorname{div}\mathbf{F}=\oint_{\partial^+D}(-F_2\,dx+F_1\,dy)$. Dall'altra parte, se $\partial^+D$ è parametrizzata da $(x(t),y(t))$, la normale esterna è $\mathbf{n}_e=\dfrac{(y',-x')}{\|\mathbf{r}'\|}$ e $ds=\|\mathbf{r}'\|\,dt$, quindi $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}_e\,ds=(F_1y'-F_2x')\,dt=F_1\,dy-F_2\,dx$. I due membri coincidono. $\blacksquare$

Esempio. $\mathbf{F}=(xy,x^2)$ uscente dal bordo del quadrato $[-\tfrac12,\tfrac12]^2$: $\operatorname{div}\mathbf{F}=y$, e $\iint y\,dx\,dy=0$ per simmetria; il calcolo lato per lato dà lo stesso.

Superfici con bordo, orientazione, teorema del rotore

Definizione (superficie con bordo). Sia $D\subset\mathbb{R}^2$ la chiusura di un aperto connesso, $A\supset D$ un aperto e $\mathbf{r}:A\to\mathbb{R}^3$ di classe $C^1$, iniettiva in $D$ con $J\mathbf{r}$ di rango $2$ in ogni punto di $D$. $S=\mathbf{r}(D)$ è una superficie regolare con bordo, e $\mathbf{r}(\partial D)$ è il bordo. Esempi: un grafico $z=f(x,y)$ su $D$ ha come bordo il grafico di $f$ ristretto a $\partial D$; la semisfera ha come bordo l'equatore; una sfera intera non è una superficie con bordo.

Orientamento del bordo. Il bordo si orienta in accordo con la normale $\mathbf{n}=\dfrac{\mathbf{r}_u\wedge\mathbf{r}_v}{\|\cdot\|}$: è il verso di percorrenza di chi cammina sul bordo con la testa nel verso di $\mathbf{n}$ e vede la superficie alla propria sinistra (regola della mano destra: il pollice è $\mathbf{n}$, le dita indicano il verso). Concretamente $\partial^+S$ è l'immagine tramite $\mathbf{r}$ del bordo $\partial^+D$ orientato positivamente (antiorario per un bordo semplice).

Teorema (del rotore, o di Stokes). Sia $(S,\mathbf{r})$ una superficie regolare con bordo e $\mathbf{F}\in C^1$ in un aperto che contiene $S$. Allora $$\iint_S\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,d\sigma=\oint_{\partial^+S}F_1\,dx+F_2\,dy+F_3\,dz=\oint_{\partial^+S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{T}\,ds .$$ Cioè: il flusso del rotore attraverso $S$ è uguale alla circuitazione di $\mathbf{F}$ lungo il bordo orientato positivamente.

La dimostrazione generale è nei libri di testo; nel caso di una superficie piana (dimostrazione richiesta all'esame) si sceglie il sistema di assi in cui $S$ giace nel piano $z=0$ con $\mathbf{n}=\mathbf{e}_3$: allora $\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=\partial_xF_2-\partial_yF_1$ e il teorema è esattamente la formula di Stokes nel piano dimostrata con Gauss-Green (Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel pianoPer un dominio D del piano con bordo orientato positivamente (D "a sinistra"), ∬ f_y = −∮ f dx e ∬ f_x = ∮ f dy. Se ne ricavano: l'area come ∮ x dy = −∮ y dx = ½∮(x dy − y dx); la formula di Stokes nel piano ∬ (F₂ₓ − F₁ᵧ) dxdy = ∮ F₁dx + F₂dy (flusso del rotore = circuitazione); l'invarianza della circuitazione di un campo irrotazionale tra curve che circondano lo stesso buco.Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel piano →).

Esempio (campo $V=(-y,x,ye^{z^2})$ sulla semisfera). Sia $S$ la semisfera unitaria $z\ge0$ con normale uscente (verso l'alto). Il bordo orientato positivamente è l'equatore $(\cos t,\sin t,0)$ antiorario, su cui $V=(-\sin t,\cos t,\sin t)$ e $\mathbf{r}'=(-\sin t,\cos t,0)$, $V\cdot\mathbf{r}'=1$. Quindi $\iint_S\operatorname{rot}V\cdot\mathbf{n}\,d\sigma=\oint V\cdot d\mathbf{r}=2\pi$. Calcolando direttamente, $\operatorname{rot}V=(e^{z^2},0,2)$, $\operatorname{rot}V\cdot\mathbf{n}=xe^{z^2}+2z$ e $\iint_S2z\,d\sigma=2\pi$ (il termine in $x$ ha integrale nullo per simmetria): stesso risultato.

Conseguenza importante. Il flusso di $\operatorname{rot}\mathbf{F}$ attraverso una superficie con bordo dipende solo dal bordo: due superfici con lo stesso bordo orientato (e orientate in modo coerente) hanno lo stesso flusso del rotore. Perciò si può sostituire la superficie con una più semplice (spesso il disco piano che ha lo stesso bordo), o calcolare una circuitazione con un integrale di superficie e viceversa.

Esempio. Il flusso del rotore di $V=(-y^2,x,z)$ attraverso il grafico $z=2-y(x^2+y^2)^4$ sul disco $x^2+y^2\le1$ (normale verso l'alto): $\operatorname{rot}V=(0,0,1+2y)$, quindi $\operatorname{rot}V\cdot\mathbf{N}=1+2y$ e $\Phi=\iint_D(1+2y)\,dx\,dy=\pi$, senza mai derivare la complicata $g$; oppure, con Stokes, la circuitazione sul bordo $(\cos t,\sin t,2-\sin t)$ è ancora $\pi$.

Il rotore di una superficie chiusa

Teorema (D, rotore per superfici chiuse). Se $S=\partial\Omega$ è una superficie chiusa regolare a pezzi e $\mathbf{F}\in C^2$ in un aperto che contiene $\Omega$, allora $\iint_S\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,d\sigma=0$: il flusso del rotore attraverso una superficie chiusa è nullo.

Dimostrazione. Per il teorema della divergenza applicato al campo $\operatorname{rot}\mathbf{F}\in C^1$, il flusso uscente è $\iiint_\Omega\operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf{F})\,dV$. Ma $\operatorname{div}\operatorname{rot}\mathbf{F}\equiv0$: $$\operatorname{div}\operatorname{rot}\mathbf{F}=\partial_x(\partial_yF_3-\partial_zF_2)+\partial_y(\partial_zF_1-\partial_xF_3)+\partial_z(\partial_xF_2-\partial_yF_1)=0,$$ perché le sei derivate seconde miste si cancellano a due a due per il teorema di Schwarz (per esempio $\partial_x\partial_yF_3-\partial_y\partial_xF_3=0$). $\blacksquare$

Campi solenoidali e potenziale vettore

Definizione. Un campo $\mathbf{G}\in C^1$ in un aperto $E\subseteq\mathbb{R}^3$ si dice solenoidale se $\operatorname{div}\mathbf{G}=0$ in $E$. Un campo $\mathbf{F}$ con $\mathbf{G}=\operatorname{rot}\mathbf{F}$ si dice potenziale vettore di $\mathbf{G}$.

Condizione necessaria (D). Per $\operatorname{div}\operatorname{rot}\mathbf{F}=0$, se $\mathbf{G}=\operatorname{rot}\mathbf{F}$ con $\mathbf{F}\in C^2$ allora $\mathbf{G}$ è solenoidale. Il viceversa non vale globalmente: il campo newtoniano $\mathbf{G}=c\dfrac{\mathbf{r}}{\|\mathbf{r}\|^3}$ in $\mathbb{R}^3\setminus\{\mathbf{0}\}$ è solenoidale ($\partial_xG_1=c\,\frac{\rho^2-3x^2}{\rho^5}$, e sommando le tre componenti si ottiene $c\frac{3\rho^2-3\rho^2}{\rho^5}=0$) ma ha flusso $4\pi c\ne0$ attraverso la sfera $S_R(\mathbf{0})$, che è una superficie chiusa contenuta nel dominio. Se avesse un potenziale vettore $C^1$, il flusso del rotore sulla sfera sarebbe nullo per il teorema precedente: contraddizione. Quindi non esiste alcun $\mathbf{F}$ con $\operatorname{rot}\mathbf{F}=\mathbf{G}$ su $\mathbb{R}^3\setminus\{\mathbf{0}\}$.

Esistenza locale. Un campo solenoidale $C^1$ ha, in ogni palla contenuta nel dominio, un potenziale vettore. Il parallelo con il potenziale scalare:

Le due identità fondamentali da ricordare sono $\operatorname{rot}(\nabla U)=\mathbf{0}$ e $\operatorname{div}(\operatorname{rot}\mathbf{F})=0$.

Errori comuni

• Dimenticare di specificare o di rispettare l'orientazione: "uscente" per la sfera e per i solidi, "verso l'alto" per i grafici; sul coperchio inferiore di un solido la normale uscente punta verso il basso.
• Applicare il teorema della divergenza a una superficie non chiusa senza aggiungere i pezzi mancanti (o dimenticare di togliere il flusso dei pezzi aggiunti).
• Nel flusso, tenere la radice $\|\mathbf{N}\|$ inutilmente: $\mathbf{n}\,d\sigma=\mathbf{N}\,du\,dv$, la radice si elide.
• In Stokes, orientare il bordo nel verso sbagliato rispetto a $\mathbf{n}$.
• Credere che $\operatorname{div}\mathbf{G}=0$ implichi un potenziale vettore globale.

Domande d'esame

1. Enunciare e dimostrare il teorema della divergenza in $\mathbb{R}^3$ per un dominio semplice rispetto agli assi. Traccia: componente $F_3$ e $z$-semplicità, riduzione per fili, tre pezzi del bordo (laterale con $n_3=0$).
2. Enunciare e dimostrare il teorema della divergenza nel piano. Traccia: GG (2) con $F_1$ e (1) con $F_2$; $\mathbf{n}_e\,ds=(y',-x')\,dt$.
3. Enunciare il teorema di Stokes; dimostrarlo per una superficie piana. Dimostrare che il flusso del rotore attraverso una superficie chiusa è nullo. Traccia: caso $z=0$ e $\mathbf{n}=\mathbf{e}_3$ ridotto a Stokes nel piano; divergenza e $\operatorname{div}\operatorname{rot}=0$ per Schwarz.
4. Mostrare che un campo solenoidale non ha necessariamente un potenziale vettore. Traccia: campo newtoniano, flusso $4\pi c$ sulla sfera.

Esercizi svolti: Esercizio - volume e flusso uscente da un solido delimitato da due grafici (appello 26 gennaio 2026), Esercizio - flusso uscente da un iperboloide a due falde (appello 13 luglio 2026), Esercizio - flusso e rotore su un solido parabolico (esame 4 febbraio 2014), Esercizio - flusso attraverso un grafico su un semidisco (appello 30 gennaio 2024), Esercizio - flusso attraverso una calotta paraboloidica e il solido chiuso (foglio 6, esercizio 2), Esercizio - circuitazione su un'ellisse nello spazio con Stokes (lezione 35), Esercizio - flusso del rotore attraverso una semisfera e un grafico (foglio 6, esercizi 16 e 17).