Esercizio - Baricentro di un settore di corona circolare e disco non centrato (esercizio 42)

Teoria: Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussianaCambiando coordinate (x,y) = T(u,v), con T diffeomorfismo C¹ tra D' e D, ∬D f(x,y)dxdy = ∬{D'} f(T(u,v)) |det DT(u,v)| dudv: il fattore |det DT| è la dilatazione locale delle aree (per le trasformazioni lineari è |det M|, dimostrato col prodotto vettoriale). Polari: x = x₀ + ρcosθ, y = y₀ + ρsinθ, dxdy = ρ dρdθ; area di un settore di corona ½(R₂² − R₁²)Δθ; disco x² + y² ≤ 2ax: ρ ≤ 2a cosθ. Coordinate ellittiche x = aρcosθ, y = bρsinθ, dxdy = abρ dρdθ (area dell'ellisse πab). Simmetrie: D simmetrico rispetto all'asse y, f dispari in x ⇒ ∬ = 0 (D), f pari ⇒ ∬ = 2∬_{x≥0}. Integrali generalizzati di f ≥ 0 continua su R²: limite su una successione invadente, indipendente dalla successione; gaussiana (D): ∬ e^{−(x²+y²)/2} = 2π, quindi ∫_R e^{−x²/2}dx = √(2π).Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussiana → (polari) e Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzioneL'integrale doppio ∬_R f su un rettangolo è il limite delle somme di Cauchy-Riemann Σ |I_hk| f(P_hk); per f ≥ 0 è il volume del cilindroide. Le funzioni continue sono integrabili. Formule di riduzione (Fubini): su R = [a,b]×[c,d] ∬ = ∫_c^d(∫_a^b f dx)dy = ∫_a^b(∫_c^d f dy)dx; per f = g(x)h(y) il prodotto di due integrali. Su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)} (D): ∬ = ∫a^b(∫{g₁}^{g₂} f dy)dx, simmetricamente per i domini x-semplici; domini regolari = unioni finite di semplici, f continua è integrabile. Area |Ω| = ∬ 1; insiemi di area nulla (punti, segmenti, grafici di funzioni continue); f limitata con discontinuità su area nulla è integrabile. Proprietà: linearità, monotonia, additività; teorema della media integrale (D). Baricentro e momenti d'inerzia di una lamina.Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzione → (baricentro). Fonte: raccolta di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD 2025-26, esercizio 42 (tema del 28 maggio 2002); la parte (b) è un complemento.

Testo

• (a) Disegnare l'insieme $T = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 1\le x^2+y^2\le2,\ y\ge x\}$ e calcolarne il baricentro (densità $1$).
• (b) Sia $B = \{x^2+y^2\le2x\}$. Calcolare area, centroide e $\iint_B(x^2+y^2)\,dx\,dy$ con le coordinate polari centrate nell'origine.

Soluzione

(a) Il settore di corona

$T$ è la parte della corona circolare di raggi $1$ e $\sqrt2$ che sta nel semipiano $y\ge x$, cioè sopra la bisettrice del primo e terzo quadrante. In polari: $1\le\rho\le\sqrt2$, e $y\ge x$ equivale a $\rho\sin\theta\ge\rho\cos\theta$, cioè $\sin\theta\ge\cos\theta$, che per $\theta\in\left[\frac\pi4,\frac{5\pi}4\right]$ è vero (sono le direzioni da $45^\circ$ a $225^\circ$). Il dominio trasformato è il rettangolo $$T' = \left[1,\sqrt2\right]\times\left[\frac\pi4,\frac{5\pi}4\right].$$

Area. $|T| = \frac12\left(R_2^2-R_1^2\right)\Delta\theta = \frac12(2-1)\cdot\pi = \frac\pi2$.

Momenti. Con $dx\,dy=\rho\,d\rho\,d\theta$: $$\iint_Tx = \int_{\pi/4}^{5\pi/4}\cos\theta\,d\theta\int_1^{\sqrt2}\rho^2d\rho = \left(\sin\tfrac{5\pi}4-\sin\tfrac\pi4\right)\cdot\frac{2\sqrt2-1}3 = (-\sqrt2)\frac{2\sqrt2-1}3 = \frac{\sqrt2-4}3,$$ $$\iint_Ty = \int_{\pi/4}^{5\pi/4}\sin\theta\,d\theta\int_1^{\sqrt2}\rho^2d\rho = \left(-\cos\tfrac{5\pi}4+\cos\tfrac\pi4\right)\frac{2\sqrt2-1}3 = \sqrt2\cdot\frac{2\sqrt2-1}3 = \frac{4-\sqrt2}3.$$ (Si è usato $\int_1^{\sqrt2}\rho^2d\rho = \frac{(\sqrt2)^3-1}3 = \frac{2\sqrt2-1}3$.)

Baricentro. $$x_B = \frac{(\sqrt2-4)/3}{\pi/2} = \frac{2\sqrt2-8}{3\pi}\approx-0{,}549,\qquad y_B = \frac{(4-\sqrt2)/3}{\pi/2} = \frac{8-2\sqrt2}{3\pi}\approx0{,}549.$$ Si osserva $y_B=-x_B$: il baricentro sta sulla retta $y=-x$, asse di simmetria del dominio (la bisettrice $y=-x$, $\theta=\frac{3\pi}4$, divide $T$ in due parti uguali) ✓.

(b) Il disco non centrato

$B = \{x^2+y^2\le2x\}$ è il disco di centro $(1,0)$ e raggio $1$ (completando il quadrato: $(x-1)^2+y^2\le1$). In polari centrate nell'origine: $\rho^2\le2\rho\cos\theta$, cioè $0\le\rho\le2\cos\theta$, con $\cos\theta\ge0$: $\theta\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$.

• Area: $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}\rho\,d\rho\,d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}2\cos^2\theta\,d\theta = 2\cdot\frac\pi2=\pi$ ✓ (disco di raggio $1$).
• Centroide: $\iint_Bx = \int\cos\theta\cdot\frac{(2\cos\theta)^3}3d\theta = \frac83\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta = \frac83\cdot\frac{3\pi}8=\pi$ (usando $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4 = \frac{3\pi}8$, Integrali di potenze di seno e cosenoPer ∫ cos^n x · sin^m x dx: se un esponente è dispari si stacca un fattore (sin x oppure cos x), il resto si scrive con l'altra funzione usando sin²+cos² = 1 e si sostituisce y = cos x (o y = sin x); se sono entrambi pari si usano le formule di bisezione cos²x = (1+cos 2x)/2, sin²x = (1−cos 2x)/2 per abbassare il grado.Integrali di potenze di seno e coseno →), quindi $x_B=\frac\pi\pi=1$; $y_B=0$ per simmetria rispetto all'asse $x$. Centroide $(1,0)$ ✓: il centro del disco.
• Momento rispetto all'origine: $\iint_B(x^2+y^2) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_0^{2\cos\theta}\rho^2\cdot\rho\,d\rho\,d\theta = \int\frac{(2\cos\theta)^4}4d\theta = 4\cdot\frac{3\pi}8=\frac{3\pi}2$. Controllo con il teorema degli assi paralleli: momento rispetto al centro $\frac{\pi R^4}2=\frac\pi2$, più massa per distanza al quadrato dall'origine $\pi\cdot1^2$: $\frac\pi2+\pi=\frac{3\pi}2$ ✓.

Errori tipici

• Scegliere l'intervallo di $\theta$ sbagliato: la condizione $y\ge x$ individua $[\frac\pi4,\frac{5\pi}4]$, non $[0,\frac\pi4]$.
• Per il disco non centrato usare $0\le\rho\le1$: il raggio dipende da $\theta$ ($\rho\le2\cos\theta$).