Derivate direzionali, formula del gradiente e curve di livello

Prerequisiti: Derivate parziali, differenziabilità e piano tangenteLa derivata parziale f_{x_i}(x0) è la derivata di t ↦ f(x0 + t e_i); il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. In più variabili l'esistenza delle derivate parziali NON implica la continuità. f è differenziabile in x0 se f(x0 + h) = f(x0) + a·h + o(|h|); allora f è continua, ha gradiente e a = ∇f(x0) (D). Il grafico ha piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) e normale (−f_x, −f_y, 1). Teorema del differenziale totale: se le derivate parziali esistono vicino a x0 e sono continue in x0, f è differenziabile; C^1 ⇒ differenziabile ⇒ derivabile e continua, ma i viceversa sono falsi. Regole: Leibniz, catena (f∘r)' = ∇f(r)·r'.Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente →, Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →, Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali →.

1. Derivata direzionale

Le derivate parziali misurano la pendenza di $f$ andando parallelamente agli assi. Un escursionista però può camminare in qualunque direzione: la "pendenza della montagna" dipende da dove si cammina.

Definizione. Sia $\underline x_0$ interno al dominio di $f$ e $\underline v\in\mathbb{R}^n$ un versore ($|\underline v|=1$). La derivata direzionalependenza di f lungo la retta per x0 con direzione v di $f$ in $\underline x_0$ lungo $\underline v$ è $$D_{\underline v}f(\underline x_0)=\frac{\partial f}{\partial\underline v}(\underline x_0)=\lim_{t\to0}\frac{f(\underline x_0+t\,\underline v)-f(\underline x_0)}{t}=h'(0),\qquad h(t)=f(\underline x_0+t\underline v),$$ se il limite esiste finito.

La funzione $h(t)$ è la restrizione di $f$ alla retta per $\underline x_0$ con direzione $\underline v$, percorsa a velocità $1$ (perciò $\underline v$ deve essere un versore: con un vettore di norma $\ne1$ si misurerebbe la pendenza "per unità di $t$", non per unità di lunghezza). Per $\underline v=\underline e_k$ si ritrova la derivata parziale $f_{x_k}$. La direzione opposta ha derivata opposta: $D_{-\underline v}f=-D_{\underline v}f$.

Esempio (dalla definizione). $f(x,y)=e^{x^2y}$, $\underline v=(a,b)$ con $a^2+b^2=1$. Con $h(t)=e^{(x_0+ta)^2(y_0+tb)}$ si ha $h'(t)=h(t)\,[2a(x_0+ta)(y_0+tb)+b(x_0+ta)^2]$, quindi $$D_{\underline v}f(x_0,y_0)=e^{x_0^2y_0}\,(2a\,x_0y_0+b\,x_0^2)=a\,f_x+b\,f_y .$$ Questa uguaglianza non è un caso.

2. La formula del gradiente

Teorema (formula del gradiente) (D). Se $f$ è differenziabile in $\underline x_0$, allora per ogni versore $\underline v$ esiste $D_{\underline v}f(\underline x_0)$ e $$D_{\underline v}f(\underline x_0)=\nabla f(\underline x_0)\cdot\underline v .$$

Dimostrazione. Per la differenziabilità, per $\underline h\to\underline0$: $f(\underline x_0+\underline h)-f(\underline x_0)=\nabla f(\underline x_0)\cdot\underline h+o(|\underline h|)$. Si pone $\underline h=t\underline v$, con $|\underline h|=|t|$: $$\frac{f(\underline x_0+t\underline v)-f(\underline x_0)}{t}=\frac{t\,(\nabla f(\underline x_0)\cdot\underline v)+o(|t|)}{t}=\nabla f(\underline x_0)\cdot\underline v+\frac{o(|t|)}{t}\xrightarrow{t\to0}\nabla f(\underline x_0)\cdot\underline v . \ \blacksquare$$

Esempio. $f=e^{x^2y}$ in $(1,1)$, $\nabla f=(2e,e)$. Nella direzione $\underline v=\big(\frac35,\frac45\big)$ (norma $1$): $D_{\underline v}f=\frac{6e}{5}+\frac{4e}{5}=2e$. Nella direzione $(1,1)$ non normalizzata bisogna prima dividere per $\sqrt2$: $\underline v=\frac1{\sqrt2}(1,1)$ e $D_{\underline v}f=\frac{3e}{\sqrt2}$.

La formula richiede la differenziabilità. Per questo, in un punto dove $f$ non è differenziabile, le derivate direzionali vanno calcolate con la definizione. Se la formula fallisce, $f$ non è differenziabile: è un modo per negare la differenziabilità (Esercizio - gradiente, derivata direzionale e differenziabilità di una funzione con seno (appello 5 luglio 2023)).

Controesempio: tutte le derivate direzionali esistono ma $f$ è discontinua

$$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}\ \ (\underline x\ne\underline 0),\qquad f(0,0)=0 .$$

• Non continua: sulle rette $y=mx$ il limite è $0$, ma sulla parabola $y=x^2$ vale costantemente $\frac12$ (e sulla parabola $y=ax^2$ vale $\frac{a}{1+a^2}$): il limite nell'origine non esiste (Funzioni di più variabili, limiti e continuitàUna funzione scalare di n variabili f : A ⊆ R^n → R ha dominio naturale (dove la formula ha senso), grafico (superficie in R^{n+1}) e insiemi di livello {f = c}. Il limite in x0 (punto di accumulazione) si definisce con ε-δ o con le successioni (Heine); per negare l'esistenza si confrontano restrizioni a curve diverse (rette, parabole), per dimostrarla si maggiora |f − L| con g(ρ) → 0 indipendente da θ (coordinate polari) o si usano i due carabinieri. f è continua in x0 se lim = f(x0). I limiti iterati non bastano.Funzioni di più variabili, limiti e continuità →).
• Derivate direzionali: per $\underline v=(a,b)$, $\dfrac{f(ta,tb)}{t}=\dfrac{a^2b\,t^3}{t\,(a^4t^4+b^2t^2)}=\dfrac{a^2b}{a^4t^2+b^2}$. Se $b\ne0$ il limite è $\dfrac{a^2}{b}$; se $b=0$ è $0$. Quindi esiste per ogni $\underline v$.
• La formula del gradiente fallisce: $\nabla f(0,0)=(0,0)$ dà $\nabla f\cdot\underline v=0$, ma $D_{\underline v}f=\frac{a^2}{b}\ne0$ per $a,b\ne0$.

Morale: l'esistenza di tutte le derivate direzionali non implica la continuità, tantomeno la differenziabilità.

3. Direzioni di massima e minima crescita

Sia $f$ differenziabile in $\underline x$ e $\underline v$ un versore. Dalla formula e dalla forma geometrica del prodotto scalare, con $\alpha\in[0,\pi]$ l'angolo tra $\underline v$ e $\nabla f(\underline x)$: $$D_{\underline v}f(\underline x)=\nabla f(\underline x)\cdot\underline v=|\nabla f(\underline x)|\,\cos\alpha .$$

Teorema (D). Se $\nabla f(\underline x)\ne\underline 0$:

• la derivata direzionale è massima per $\alpha=0$, cioè lungo $\underline v_{\max}=\dfrac{\nabla f(\underline x)}{|\nabla f(\underline x)|}$, e vale $|\nabla f(\underline x)|$;
• è minima per $\alpha=\pi$, cioè lungo $\underline v_{\min}=-\dfrac{\nabla f(\underline x)}{|\nabla f(\underline x)|}$, e vale $-|\nabla f(\underline x)|$;
• è nulla nelle direzioni ortogonali a $\nabla f(\underline x)$ ($\alpha=\frac\pi2$). Se $\nabla f(\underline x)=\underline 0$, tutte le derivate direzionali sono nulle.

Dimostrazione. $\cos\alpha\in[-1,1]$, quindi $-|\nabla f|\le D_{\underline v}f\le|\nabla f|$, con uguaglianze per $\cos\alpha=\pm1$, cioè $\underline v$ parallelo a $\nabla f$ con verso concorde o discorde. (Lo stesso segue da Cauchy-Schwarz: $|\nabla f\cdot\underline v|\le|\nabla f||\underline v|=|\nabla f|$.) $\blacksquare$

Esempio (la collina). Un'altura ha quota (in metri) $z=h(x,y)=400-\dfrac{x^2+4y^2}{100}$, con $x,y$ in metri. In $(10,5)$: $h=400-\frac{100+100}{100}=398$, $\nabla h=\big(-\frac{x}{50},-\frac{2y}{25}\big)=(-0.2,-0.4)$ e $|\nabla h|=\sqrt{0.2}\approx0.447$. La salita più ripida è lungo $\frac{\nabla h}{|\nabla h|}=\big(-\frac1{\sqrt5},-\frac2{\sqrt5}\big)$ (verso la cima, nell'origine), con pendenza $0.447$ m di quota per metro orizzontale (circa $24^\circ$); la discesa più ripida è la direzione opposta. Camminando lungo $\underline v=\big(\frac2{\sqrt5},-\frac1{\sqrt5}\big)$, perpendicolare al gradiente ($\nabla h\cdot\underline v=\frac{-0.4+0.4}{\sqrt5}=0$), si resta, al primo ordine, a quota costante: si segue la curva di livello (la "isoipsa").

4. Il gradiente è ortogonale alle curve di livello

Teorema (D). Sia $f$ differenziabile in $(x_0,y_0)$ e $\underline r:I\to\mathbb{R}^2$ una curva regolare con $\underline r(t_0)=(x_0,y_0)$ il cui sostegno sta nell'insieme di livello $L_c=\{f=c\}$. Allora $\nabla f(x_0,y_0)\cdot\underline r'(t_0)=0$: il gradiente è ortogonale al vettore tangente alla curva. Se $\nabla f(x_0,y_0)\ne\underline 0$, la retta tangente alla curva di livello in $(x_0,y_0)$ è $$f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0 .$$

Dimostrazione. Per ipotesi $f(\underline r(t))=c$ per ogni $t$. Derivando entrambi i membri con la regola della catena (Derivate parziali, differenziabilità e piano tangenteLa derivata parziale f_{x_i}(x0) è la derivata di t ↦ f(x0 + t e_i); il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. In più variabili l'esistenza delle derivate parziali NON implica la continuità. f è differenziabile in x0 se f(x0 + h) = f(x0) + a·h + o(|h|); allora f è continua, ha gradiente e a = ∇f(x0) (D). Il grafico ha piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) e normale (−f_x, −f_y, 1). Teorema del differenziale totale: se le derivate parziali esistono vicino a x0 e sono continue in x0, f è differenziabile; C^1 ⇒ differenziabile ⇒ derivabile e continua, ma i viceversa sono falsi. Regole: Leibniz, catena (f∘r)' = ∇f(r)·r'.Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente →): $\nabla f(\underline r(t))\cdot\underline r'(t)=0$; in $t=t_0$ si ha la tesi. Poiché $\nabla f(x_0,y_0)\ne\underline0$ è ortogonale alla tangente, è un vettore normale della retta tangente, e la retta per $(x_0,y_0)$ con normale $(f_x,f_y)$ ha l'equazione indicata. $\blacksquare$

Interpretazione: il gradiente punta nella direzione in cui $f$ cresce più in fretta, cioè attraversando le curve di livello ad angolo retto (come il sentiero più ripido taglia perpendicolarmente le isoipse sulla carta). Il verso di $\nabla f$ va dal livello più basso al livello più alto.

Se $\nabla f(x_0,y_0)=\underline0$ la curva di livello può non essere una curva liscia in quel punto (può avere un incrocio, una cuspide, essere solo un punto): per esempio $f=x^2-y^2$ in $\underline 0$, livello $0$: le due bisettrici che si incrociano. Il tema è sviluppato nel teorema di Dini (Funzioni implicite e teorema di Dini nel pianoUna curva di livello f(x,y) = 0 è localmente il grafico di una funzione y = g(x) se f ∈ C¹, f(x₀,y₀) = 0 e f_y(x₀,y₀) ≠ 0 (teorema di Dini): g è unica, di classe C¹ e g'(x) = −f_x/f_y (D). Se invece f_x ≠ 0 si esplicita x = h(y), con h' = −f_y/f_x: il teorema si applica in tutti i punti non critici dell'insieme di livello. Retta tangente alla curva in (x₀,y₀): f_x(x₀,y₀)(x−x₀) + f_y(x₀,y₀)(y−y₀) = 0. Se f ∈ C², g''(x₀) = −(f_xx + 2f_xy g' + f_yy g'²)/f_y. Dove f_y = 0 la curva può avere tangente verticale, incroci (x² − y²) o cuspidi (x² − y³).Funzioni implicite e teorema di Dini nel piano →).

Esempio (ellisse). L'ellisse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ è il livello $1$ di $f=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$, con $\nabla f=\big(\frac{2x}{a^2},\frac{2y}{b^2}\big)$, mai nullo sull'ellisse. La tangente in $(x_0,y_0)$ è $\frac{2x_0}{a^2}(x-x_0)+\frac{2y_0}{b^2}(y-y_0)=0$, cioè (dividendo per $2$ e usando $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$) $$\frac{x_0\,x}{a^2}+\frac{y_0\,y}{b^2}=1 .$$ Controllo con la parametrizzazione $(a\cos t,b\sin t)$ di Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali →: per $t=\pi/4$ si riottiene $\frac xa+\frac yb=\sqrt2$.

In $\mathbb{R}^3$. Se $F(x,y,z)=c$ è una superficie di livello con $\nabla F\ne\underline0$, il piano tangente in $\underline P_0$ è $\nabla F(\underline P_0)\cdot(\underline P-\underline P_0)=0$ (stesso argomento con una curva qualsiasi sulla superficie). Per il grafico di $f$, cioè $F=z-f(x,y)$ e $c=0$, si ritrova il normale $(-f_x,-f_y,1)$ del piano tangente.

Errori da evitare

• Derivata direzionale con un vettore non normalizzato. $D_{\underline v}f=\nabla f\cdot\underline v$ vale per $|\underline v|=1$; con $\underline w\ne$ versore si usa $\underline v=\underline w/|\underline w|$.
• Usare la formula del gradiente senza differenziabilità (nell'origine di $\frac{x^2y}{x^4+y^2}$ è falsa).
• Dire che il gradiente è tangente alle curve di livello: è ortogonale.
• Massima pendenza = $\nabla f$, non $|\nabla f|$: la direzione è $\nabla f/|\nabla f|$, il valore massimo della pendenza è $|\nabla f|$.

Esercizi svolti

• Esercizio - derivate direzionali, formula del gradiente e controesempio con tutte le derivate direzionali (lezione 10)
• Esercizio - direzione di massima crescita, piano tangente e insiemi di livello (foglio 2)
• Esercizio - tangente a una curva di livello e sentiero in discesa (lezione 11)

Domande d'esame

1. Definire la derivata direzionale e dimostrare la formula del gradiente. Traccia: $\underline h=t\underline v$ nello sviluppo $o(|\underline h|)$; richiede la differenziabilità; controesempio $\frac{x^2y}{x^4+y^2}$.
2. Provare che il gradiente indica la direzione di massima crescita e che è ortogonale alle curve di livello. Traccia: $\nabla f\cdot\underline v=|\nabla f|\cos\alpha$; derivare $f(\underline r(t))=c$.
3. Scrivere la retta tangente a una curva di livello $f(x,y)=c$ in un punto. Traccia: $f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0$, se $\nabla f\ne0$.