Salta al contenuto
Note per Studenti Esercizio - sistemi non omogenei 2x2 e metodo di somiglianza (lezione 33)

Esercizio - sistemi non omogenei 2x2 e metodo di somiglianza (lezione 33)

Teoria: Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costantiUn sistema lineare y' = A(t)y + g(t) con coefficienti continui ha, per ogni dato iniziale, una e una sola soluzione, definita su tutto l'intervallo (D). Le soluzioni del sistema omogeneo formano uno spazio vettoriale di dimensione n (D); quelle del sistema completo sono una soluzione particolare più l'integrale omogeneo (D). Per y'' + by' + cy = 0 si cercano e^(λt): tre casi (D). Un sistema 2×2 a coefficienti costanti si riduce a u'' − (tr A)u' + (det A)u = g, risolta con il metodo di somiglianza.Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti →.

Testo

(a) Risolvere y′′−2y′+2y=t+1y''-2y'+2y=t+1. (b) Risolvere il problema di Cauchy {x′=x+yy′=x+y+1\begin{cases}x'=x+y\\ y'=x+y+1\end{cases}, x(0)=0x(0)=0, y(0)=−12y(0)=-\tfrac12. (c) Determinare l'integrale generale di {u′=u+2v+e−tv′=2u+v+t.\begin{cases}u'=u+2v+e^{-t}\\ v'=2u+v+t.\end{cases}

Soluzione

(a) Equazione del secondo ordine

Omogenea. λ2−2λ+2=0\lambda^2-2\lambda+2=0, λ=1±i\lambda=1\pm i: yom=et(αcos⁡t+βsin⁡t)y_{\text{om}}=e^t(\alpha\cos t+\beta\sin t). (Attenzione al segno: il coefficiente di y′y' è −2-2, quindi la parte reale è +1+1.)

Particolare. Il termine noto t+1t+1 è un polinomio di grado 11 e λ=0\lambda=0 non è radice (c=2≠0c=2\ne0): y~=At+B\tilde y=At+B. Sostituendo: 0−2A+2(At+B)=t+10-2A+2(At+B)=t+1, cioè 2A=12A=1 e −2A+2B=1-2A+2B=1, da cui A=12A=\tfrac12, B=1B=1.

Integrale generale. y=et(αcos⁡t+βsin⁡t)+t2+1y=e^t(\alpha\cos t+\beta\sin t)+\tfrac t2+1.

(b) Il problema di Cauchy

Qui a11=a12=a21=a22=1a_{11}=a_{12}=a_{21}=a_{22}=1, g1=0g_1=0, g2=1g_2=1: tr⁡A=2\operatorname{tr}A=2, det⁡A=0\det A=0. Per la formula (R) della teoria, x′′−2x′+0⋅x=g1′−a22g1+a12g2=1x''-2x'+0\cdot x=g_1'-a_{22}g_1+a_{12}g_2=1, cioè x′′−2x′=1.x''-2x'=1. (Altra via: con w=x+yw=x+y si ha x′=wx'=w e w′=x′+y′=2w+1w'=x'+y'=2w+1.)

Omogenea. λ2−2λ=0\lambda^2-2\lambda=0, λ=0,2\lambda=0,2: xom=α1+α2e2tx_{\text{om}}=\alpha_1+\alpha_2e^{2t}. Particolare. Il termine noto è la costante 11; poiché λ=0\lambda=0 è radice semplice (c=0c=0) bisogna moltiplicare per tt: x~=At\tilde x=At. Allora −2A=1-2A=1, A=−12A=-\tfrac12. Quindi x(t)=α1+α2e2t−t2x(t)=\alpha_1+\alpha_2e^{2t}-\tfrac t2.

Ricavo di yy. Dalla prima equazione y=x′−xy=x'-x: x′=2α2e2t−12x'=2\alpha_2e^{2t}-\tfrac12, quindi y(t)=α2e2t−α1+t2−12.y(t)=\alpha_2e^{2t}-\alpha_1+\tfrac t2-\tfrac12 . Condizioni iniziali. x(0)=α1+α2=0x(0)=\alpha_1+\alpha_2=0; y(0)=α2−α1−12=−12y(0)=\alpha_2-\alpha_1-\tfrac12=-\tfrac12, cioè α2=α1\alpha_2=\alpha_1. Quindi α1=α2=0\alpha_1=\alpha_2=0 e x(t)=−t2,y(t)=t−12.x(t)=-\frac t2,\qquad y(t)=\frac{t-1}2 . Controllo. x′=−12=x+y=−t2+t−12x'=-\tfrac12=x+y=-\tfrac t2+\tfrac{t-1}2 ✓; y′=12=x+y+1=−12+1y'=\tfrac12=x+y+1=-\tfrac12+1 ✓; x(0)=0x(0)=0, y(0)=−12y(0)=-\tfrac12 ✓. Il dato iniziale era scelto proprio in modo che la soluzione fosse una retta (nessun esponenziale).

(c) Sistema con termine noto composto

Ora conviene eliminare uu e lavorare sulla vv. Dalla seconda equazione w:=v′=2u+v+tw:=v'=2u+v+t, quindi u=w−v−t2u=\frac{w-v-t}2. Derivando ww e usando la prima equazione: w′=2u′+v′+1=2(u+2v+e−t)+w+1.w'=2u'+v'+1=2(u+2v+e^{-t})+w+1 . Sostituendo u=w−v−t2u=\frac{w-v-t}2: w′=(w−v−t)+4v+2e−t+w+1=2w+3v+2e−t−t+1w'=(w-v-t)+4v+2e^{-t}+w+1=2w+3v+2e^{-t}-t+1, e poiché w=v′w=v': v′′−2v′−3v=2e−t−t+1.v''-2v'-3v=2e^{-t}-t+1 . Omogenea. λ2−2λ−3=(λ−3)(λ+1)\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1): λ=3,−1\lambda=3,-1, vom=αe3t+βe−tv_{\text{om}}=\alpha e^{3t}+\beta e^{-t}. Particolare. Il termine noto è somma di 2e−t2e^{-t} e −t+1-t+1 (principio di sovrapposizione). Per 2e−t2e^{-t}: γ=−1\gamma=-1 è radice semplice, quindi Ate−tAte^{-t}. Per −t+1-t+1: polinomio di grado 11, λ=0\lambda=0 non è radice: Bt+CBt+C. Si pone v~=Ate−t+Bt+C\tilde v=Ate^{-t}+Bt+C: v~′=A(1−t)e−t+B,v~′′=A(t−2)e−t.\tilde v'=A(1-t)e^{-t}+B,\qquad\tilde v''=A(t-2)e^{-t}. Sostituendo, il coefficiente di e−te^{-t} è A[(t−2)−2(1−t)−3t]=−4AA[(t-2)-2(1-t)-3t]=-4A (i termini in tt si cancellano), e la parte polinomiale è −2B−3Bt−3C-2B-3Bt-3C: −4Ae−t−3Bt−(2B+3C)=2e−t−t+1.-4Ae^{-t}-3Bt-(2B+3C)=2e^{-t}-t+1 . Quindi A=−12A=-\tfrac12, B=13B=\tfrac13, −2B−3C=1⇒C=−59-2B-3C=1\Rightarrow C=-\tfrac59. Allora v(t)=αe3t+βe−t−12te−t+13t−59.v(t)=\alpha e^{3t}+\beta e^{-t}-\tfrac12te^{-t}+\tfrac13t-\tfrac59 . Ricavo di uu. Da u=v′−v−t2u=\frac{v'-v-t}2. Con v′=3αe3t−βe−t−12(1−t)e−t+13v'=3\alpha e^{3t}-\beta e^{-t}-\tfrac12(1-t)e^{-t}+\tfrac13: u(t)=αe3t+(t2−14−β)e−t−23t+49.u(t)=\alpha e^{3t}+\left(\tfrac t2-\tfrac14-\beta\right)e^{-t}-\tfrac23t+\tfrac49 . (Verificato con sympy: soddisfa entrambe le equazioni. Nel quaderno del corso compare un segno +2t3+\frac{2t}3 che è un refuso: il coefficiente corretto è −23-\frac23.)

Versione ripasso

Testo. (a) y′′−2y′+2y=t+1y''-2y'+2y=t+1; (b) Cauchy x′=x+yx'=x+y, y′=x+y+1y'=x+y+1, x(0)=0x(0)=0, y(0)=−12y(0)=-\frac12; (c) u′=u+2v+e−tu'=u+2v+e^{-t}, v′=2u+v+tv'=2u+v+t.

Passaggi (Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costantiUn sistema lineare y' = A(t)y + g(t) con coefficienti continui ha, per ogni dato iniziale, una e una sola soluzione, definita su tutto l'intervallo (D). Le soluzioni del sistema omogeneo formano uno spazio vettoriale di dimensione n (D); quelle del sistema completo sono una soluzione particolare più l'integrale omogeneo (D). Per y'' + by' + cy = 0 si cercano e^(λt): tre casi (D). Un sistema 2×2 a coefficienti costanti si riduce a u'' − (tr A)u' + (det A)u = g, risolta con il metodo di somiglianza.Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti →).

  • (a) λ=1±i\lambda=1\pm i; y~=At+B\tilde y=At+B: A=12A=\frac12, B=1B=1; y=et(αcos⁡t+βsin⁡t)+t2+1y=e^t(\alpha\cos t+\beta\sin t)+\frac t2+1.
  • (b) x′′−2x′=1x''-2x'=1; λ=0,2\lambda=0,2; λ=0\lambda=0 radice ⇒x~=At\Rightarrow\tilde x=At, A=−12A=-\frac12; x=α1+α2e2t−t2x=\alpha_1+\alpha_2e^{2t}-\frac t2, y=x′−xy=x'-x; condizioni ⇒α1=α2=0\Rightarrow\alpha_1=\alpha_2=0: x=−t2x=-\frac t2, y=t−12y=\frac{t-1}2.
  • (c) v′′−2v′−3v=2e−t−t+1v''-2v'-3v=2e^{-t}-t+1; λ=3,−1\lambda=3,-1; v~=Ate−t+Bt+C\tilde v=Ate^{-t}+Bt+C (γ=−1\gamma=-1 radice): A=−12A=-\frac12, B=13B=\frac13, C=−59C=-\frac59; u=v′−v−t2=αe3t+(t2−14−β)e−t−23t+49u=\frac{v'-v-t}2=\alpha e^{3t}+(\frac t2-\frac14-\beta)e^{-t}-\frac23t+\frac49.

Errori tipici. Segno sbagliato dell'omogenea in (a); dimenticare il fattore tt per le radici coincidenti con γ\gamma; non usare la sovrapposizione per termini noti composti.

Teoria collegata