Esercizio - continuità con parametro di funzioni definite a tratti (esercizi 2025-26)

Teoria: Funzioni di più variabili, limiti e continuitàUna funzione scalare di n variabili f : A ⊆ R^n → R ha dominio naturale (dove la formula ha senso), grafico (superficie in R^{n+1}) e insiemi di livello {f = c}. Il limite in x0 (punto di accumulazione) si definisce con ε-δ o con le successioni (Heine); per negare l'esistenza si confrontano restrizioni a curve diverse (rette, parabole), per dimostrarla si maggiora |f − L| con g(ρ) → 0 indipendente da θ (coordinate polari) o si usano i due carabinieri. f è continua in x0 se lim = f(x0). I limiti iterati non bastano.Funzioni di più variabili, limiti e continuità →.

Testo.

1. Per ogni $\alpha>0$ sia $f_\alpha(x,y)=\dfrac{|xy|^\alpha}{x^2+y^2}$ per $(x,y)\ne(0,0)$ e $f_\alpha(0,0)=0$. Per quali $\alpha$ è continua in $(0,0)$?
2. Sia $f(x,y)=x\log(x^2+y^2)$ per $(x,y)\ne(0,0)$ e $f(0,0)=0$. Dove è continua?
3. Sia $f(x,y)=x^{-2}\,y\arctan(x^2+y^2)$ se $x\ne0$, $f(x,y)=0$ se $x=0$. È continua in $(0,0)$?

(Fonte: esercizi 5, 6, 7 della raccolta del corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD, 2025-26; qui solo la continuità, la differenziabilità è in Esercizio - derivabilità e differenziabilità nell'origine con parametro (esercizi 2025-26).)

Soluzione

In ogni punto diverso dall'origine (o con $x\ne0$ nel punto 3) la funzione è data da una formula composta di funzioni continue: i problemi sono solo nell'origine, dove la continuità vuol dire $\lim f=f(0,0)=0$.

1. $\dfrac{|xy|^\alpha}{x^2+y^2}$

Polari: $x=\rho\cos\theta$, $y=\rho\sin\theta$, $|xy|^\alpha=\rho^{2\alpha}|\cos\theta\sin\theta|^\alpha$ e $x^2+y^2=\rho^2$: $$\tilde f(\rho,\theta)=\rho^{2\alpha-2}\,|\cos\theta\sin\theta|^\alpha .$$

• Se $\alpha>1$: $|\cos\theta\sin\theta|\le\frac12\le1$, quindi $|\tilde f|\le\rho^{2\alpha-2}\to0$ (esponente positivo). Il limite è $0=f(0,0)$: continua.
• Se $\alpha=1$: $\tilde f=|\cos\theta\sin\theta|=\frac12|\sin2\theta|$ non dipende da $\rho$: vale $0$ sugli assi e $\frac12$ sulla bisettrice. Il limite non esiste.
• Se $\alpha<1$: sulla bisettrice ($\theta=\frac\pi4$) $\tilde f=\rho^{2\alpha-2}\,2^{-\alpha}\to+\infty$ (esponente negativo). Il limite non esiste.

Risposta: continua in $(0,0)$ se e solo se $\alpha>1$.

2. $x\log(x^2+y^2)$

Fuori dall'origine $f$ è continua (prodotto e composizione di continue). In $(0,0)$ polari: $\tilde f=\rho\cos\theta\cdot\log\rho^2=2\rho\log\rho\cos\theta$ e $$|\tilde f|\le2\rho\,|\log\rho|=:g(\rho)\xrightarrow{\rho\to0^+}0$$ ($\rho\log\rho\to0$: l'infinitesimo $\rho$ vince sul logaritmo, Limiti notevoli e gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali, la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n e la razionalizzazione.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →). Quindi $\lim f=0=f(0,0)$: $f$ è continua su tutto $\mathbb{R}^2$.

3. $x^{-2}y\arctan(x^2+y^2)$

Vicino all'origine, per $x\ne0$ si ha $\arctan t\sim t$ per $t\to0$: $f\approx\dfrac{y(x^2+y^2)}{x^2}=y+\dfrac{y^3}{x^2}$. Il termine $\frac{y^3}{x^2}$ può non andare a zero: scegliamo $y=|x|^{1/2}$ (cammino che tende all'origine). Allora $x^2+y^2=x^2+|x|\to0$ e $$f\sim\frac{|x|^{1/2}\,(x^2+|x|)}{x^2}=|x|^{1/2}\Big(1+\frac1{|x|}\Big)\sim|x|^{-1/2}\to+\infty .$$ Il limite non è $0$: $f$ non è continua in $(0,0)$. (Sulla retta $y=x$ invece $f=\frac{x\arctan(2x^2)}{x^2}\sim2x\to0$: una sola retta, o anche tutte, non bastano per concludere la continuità.)

Errori tipici. Nel punto 1 dimenticare $\alpha=1$ (caso di frontiera, limite non esistente); nel punto 2 fermarsi a $\rho\to0$ senza verificare che $\rho\log\rho\to0$; nel punto 3 provare solo le rette e dichiarare la continuità.