Esercizio - sistema con parametro, stabilità e soluzione per un caso fissato (temi d'esame)

Teoria: Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2In un sistema autonomo y' = f(y) le soluzioni sono invarianti per traslazioni nel tempo (D) e le orbite nel piano delle fasi non si intersecano (D). Un equilibrio (f(P) = 0) è stabile se le soluzioni vicine restano vicine, asintoticamente stabile se inoltre convergono a P, instabile altrimenti. Per y' = Ay (2×2, det A ≠ 0) l'origine è asintoticamente stabile se e solo se entrambi gli autovalori hanno parte reale negativa, cioè tr A < 0 e det A > 0; i tipi sono nodo, sella, fuoco, centro.Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2 →, Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costantiUn sistema lineare y' = A(t)y + g(t) con coefficienti continui ha, per ogni dato iniziale, una e una sola soluzione, definita su tutto l'intervallo (D). Le soluzioni del sistema omogeneo formano uno spazio vettoriale di dimensione n (D); quelle del sistema completo sono una soluzione particolare più l'integrale omogeneo (D). Per y'' + by' + cy = 0 si cercano e^(λt): tre casi (D). Un sistema 2×2 a coefficienti costanti si riduce a u'' − (tr A)u' + (det A)u = g, risolta con il metodo di somiglianza.Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti →.

Testo

Per $\alpha\in(-5,3)$ si consideri $$\begin{cases}x'=x+y\\ y'=-4x-\alpha y.\end{cases}$$ (a) Studiare la stabilità dell'origine al variare di $\alpha$. (b) Per $\alpha=1$ determinare l'integrale generale. (c) Per $\alpha=-1$ risolvere il problema di Cauchy con $x(0)=1$, $y(0)=0$.

Soluzione

La matrice è $A=\begin{pmatrix}1&1\\-4&-\alpha\end{pmatrix}$ con $\tau=1-\alpha$ e $d=-\alpha+4$. Il discriminante è $$\Delta=\tau^2-4d=(1-\alpha)^2-16+4\alpha=\alpha^2+2\alpha-15=(\alpha+5)(\alpha-3),$$ negativo proprio per $\alpha\in(-5,3)$: in tutto l'intervallo gli autovalori sono complessi coniugati, con parte reale $\frac\tau2=\frac{1-\alpha}2$. Inoltre $d=4-\alpha>1>0$.

(a) Stabilità

• $\alpha>1$ (cioè $\alpha\in(1,3)$): $\tau<0$, $d>0$: asintoticamente stabile (fuoco stabile).
• $\alpha=1$: $\tau=0$: autovalori $\pm i\sqrt3$, centro: stabile, non asintoticamente.
• $\alpha<1$ (cioè $\alpha\in(-5,1)$): $\tau>0$: instabile (fuoco instabile).

(b) $\alpha=1$

$A=\begin{pmatrix}1&1\\-4&-1\end{pmatrix}$, $\tau=0$, $d=3$. Poiché $a_{12}=1\ne0$ e $g=0$: $x''-0\cdot x'+3x=0$, $\lambda=\pm i\sqrt3$, $$x(t)=\beta\cos\sqrt3t+\gamma\sin\sqrt3t .$$ Dalla prima equazione $y=x'-x$ e $x'=-\sqrt3\beta\sin\sqrt3t+\sqrt3\gamma\cos\sqrt3t$: $$y(t)=(\sqrt3\gamma-\beta)\cos\sqrt3t-(\sqrt3\beta+\gamma)\sin\sqrt3t .$$ Tutte le soluzioni sono periodiche, di periodo $\frac{2\pi}{\sqrt3}$ (orbite chiuse).

(c) $\alpha=-1$

$A=\begin{pmatrix}1&1\\-4&1\end{pmatrix}$, $\tau=2$, $d=5$: $\lambda^2-2\lambda+5=0$, $\lambda=1\pm2i$. Quindi $x=e^t(c_1\cos2t+c_2\sin2t)$ e $y=x'-x$. Condizioni iniziali. $x(0)=c_1=1$. Poi $x'(0)=x(0)+y(0)=1$, mentre $x'=e^t[(c_1+2c_2)\cos2t+(c_2-2c_1)\sin2t]$ dà $x'(0)=c_1+2c_2=1+2c_2$. Quindi $c_2=0$. Allora $$x(t)=e^t\cos2t,\qquad y(t)=x'-x=e^t(\cos2t-2\sin2t)-e^t\cos2t=-2e^t\sin2t .$$ Controllo. $y'=-2e^t\sin2t-4e^t\cos2t=-4x-\alpha y=-4e^t\cos2t-2e^t\sin2t$ ✓ (con $\alpha=-1$). La soluzione è una spirale che si allontana (fuoco instabile, $\alpha=-1<1$).