Esercizio - integrale di superficie su un paraboloide ellittico (appello 7 settembre 2026)

Teoria: Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficieUna superficie regolare è l'immagine di r(u,v) di classe C¹ iniettiva con r_u ∧ r_v ≠ 0; r_u, r_v sono i vettori tangenti alle linee coordinate, N = r_u ∧ r_v la normale, e il piano tangente è N·(x − x₀) = 0. Area = ∬ ‖r_u ∧ r_v‖ du dv; integrale di superficie ∬ f dσ = ∬ f(r)‖r_u ∧ r_v‖ du dv. Per il grafico z = f(x,y): dσ = √(1+‖∇f‖²) dx dy. Baricentro con la densità; teorema di Pappo-Guldino: area di rotazione = 2π ∫ x ds (D).Superfici parametriche regolari, area e integrali di superficie →, Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussianaCambiando coordinate (x,y) = T(u,v), con T diffeomorfismo C¹ tra D' e D, ∬D f(x,y)dxdy = ∬{D'} f(T(u,v)) |det DT(u,v)| dudv: il fattore |det DT| è la dilatazione locale delle aree (per le trasformazioni lineari è |det M|, dimostrato col prodotto vettoriale). Polari: x = x₀ + ρcosθ, y = y₀ + ρsinθ, dxdy = ρ dρdθ; area di un settore di corona ½(R₂² − R₁²)Δθ; disco x² + y² ≤ 2ax: ρ ≤ 2a cosθ. Coordinate ellittiche x = aρcosθ, y = bρsinθ, dxdy = abρ dρdθ (area dell'ellisse πab). Simmetrie: D simmetrico rispetto all'asse y, f dispari in x ⇒ ∬ = 0 (D), f pari ⇒ ∬ = 2∬_{x≥0}. Integrali generalizzati di f ≥ 0 continua su R²: limite su una successione invadente, indipendente dalla successione; gaussiana (D): ∬ e^{−(x²+y²)/2} = 2π, quindi ∫_R e^{−x²/2}dx = √(2π).Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussiana → (coordinate ellittiche).

Testo

Disegnare la superficie $$S=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\ z=-\frac{x^2}4-y^2,\ \ z\ge-1\right\}$$ e calcolare $$\iint_Sf\,d\sigma,\qquad f(x,y,z)=\frac{y^2+1}{\sqrt{1+\frac{x^2}4+4y^2}} .$$

Soluzione

La superficie. $z=-\frac{x^2}4-y^2$ è un paraboloide ellittico con vertice nell'origine, asse $z$ e concavità verso il basso (sempre $z\le0$). La condizione $z\ge-1$ lo taglia con il piano $z=-1$, dove $\frac{x^2}4+y^2=1$: un'ellisse di semiassi $2$ (lungo $x$) e $1$ (lungo $y$). Quindi $S$ è la calotta che si proietta sul piano $xy$ nell'ellisse piena $$D=\left\{\frac{x^2}4+y^2\le1\right\}.$$

Elemento d'area. $S$ è il grafico di $\varphi(x,y)=-\frac{x^2}4-y^2$: $\varphi_x=-\frac x2$, $\varphi_y=-2y$, quindi $$d\sigma=\sqrt{1+\varphi_x^2+\varphi_y^2}\,dx\,dy=\sqrt{1+\frac{x^2}4+4y^2}\,dx\,dy .$$

Semplificazione. Sostituendo, $$\iint_Sf\,d\sigma=\iint_D\frac{y^2+1}{\sqrt{1+\frac{x^2}4+4y^2}}\sqrt{1+\frac{x^2}4+4y^2}\,dx\,dy=\iint_D(y^2+1)\,dx\,dy :$$ la radice si elide perfettamente.

Coordinate ellittiche. Per l'ellisse si pone $x=2\rho\cos\theta$, $y=\rho\sin\theta$ con $\rho\in[0,1]$, $\theta\in[0,2\pi]$. Lo jacobiano è $\begin{vmatrix}2\cos\theta&-2\rho\sin\theta\\\sin\theta&\rho\cos\theta\end{vmatrix}=2\rho\cos^2\theta+2\rho\sin^2\theta=2\rho$ (il fattore $2$ è il semiasse lungo $x$). Allora $$\iint_D(y^2+1)\,dx\,dy=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1(\rho^2\sin^2\theta+1)\,2\rho\,d\rho\,d\theta=\int_0^{2\pi}\left(\tfrac12\sin^2\theta+1\right)d\theta=\tfrac12\pi+2\pi=\frac{5\pi}2 .$$ (Il passaggio: $\int_0^1(2\rho^3\sin^2\theta+2\rho)\,d\rho=\frac12\sin^2\theta+1$; poi $\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta=\pi$.)

Verifica alternativa. $\iint_D1\,dx\,dy=\pi\cdot2\cdot1=2\pi$ (area dell'ellisse) e $\iint_Dy^2\,dx\,dy=\int_0^1\rho^3\,d\rho\cdot2\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta=\tfrac14\cdot2\pi=\tfrac\pi2$, che sommati danno $\tfrac{5\pi}2$.

Risultato. $\displaystyle\iint_Sf\,d\sigma=\frac{5\pi}2$.