Massimi e minimi liberi e natura dei punti critici

In questa nota si cercano i punti in cui una funzione di più variabili raggiunge il suo valore più grande o più piccolo quando non ci sono vincoli: si può muovere il punto in tutte le direzioni. Servono tre strumenti già visti: il gradiente (Derivate parziali, differenziabilità e piano tangenteLa derivata parziale f_{x_i}(x0) è la derivata di t ↦ f(x0 + t e_i); il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. In più variabili l'esistenza delle derivate parziali NON implica la continuità. f è differenziabile in x0 se f(x0 + h) = f(x0) + a·h + o(|h|); allora f è continua, ha gradiente e a = ∇f(x0) (D). Il grafico ha piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) e normale (−f_x, −f_y, 1). Teorema del differenziale totale: se le derivate parziali esistono vicino a x0 e sono continue in x0, f è differenziabile; C^1 ⇒ differenziabile ⇒ derivabile e continua, ma i viceversa sono falsi. Regole: Leibniz, catena (f∘r)' = ∇f(r)·r'.Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente →), la formula di Taylor del secondo ordine con la matrice hessiana (Derivate seconde, teorema di Schwarz e formula di Taylor del secondo ordineLe derivate seconde f_{x_i x_j} = (f_{x_i}){x_j} formano la matrice hessiana H_f; se f è C² l'hessiana è simmetrica (teorema di Schwarz: le derivate miste, continue, non dipendono dall'ordine). Il differenziale secondo d²f(x0)(h) = h^T H_f(x0) h = Σ f{x_i x_j} h_i h_j è una forma quadratica. Formula di Taylor del secondo ordine con resto di Peano (D): f(x0 + h) = f(x0) + ∇f(x0)·h + ½ h^T H_f(x0) h + o(|h|²) per f ∈ C². Serve per i punti critici e per calcolare limiti.Derivate seconde, teorema di Schwarz e formula di Taylor del secondo ordine →) e il segno di una forma quadratica (Forme quadratiche e criteri di definitezzaUna forma quadratica q(h) = h^T M h (M simmetrica) è definita positiva se q>0 per h ≠ 0, semidefinita positiva se q ≥ 0, definita/semidefinita negativa con segni opposti, indefinita se cambia segno. In due variabili, con M = [[a,b],[b,c]]: definita positiva ⇔ det M > 0 e a > 0, definita negativa ⇔ det M > 0 e a < 0, indefinita ⇔ det M < 0 (D, completando il quadrato). In generale: segno degli autovalori di M (D, teorema spettrale): tutti > 0 definita positiva, tutti < 0 definita negativa, di segno diverso indefinita; inoltre q(h) ≥ λ_min |h|². Per n = 3 si usano i minori principali di Sylvester. È lo strumento per classificare i punti critici.Forme quadratiche e criteri di definitezza →). Il caso di una sola variabile è in Massimi e minimi relativi e teorema di Fermatx0 è punto di minimo (massimo) relativo se f(x0) ≤ f(x) (≥) per gli x del dominio vicini a x0. I candidati sono gli estremi del dominio, i punti dove f non è derivabile e i punti interni con f'(x0) = 0 (punti critici o stazionari). Teorema di Fermat: in un punto interno di minimo o massimo relativo dove f è derivabile, f'(x0) = 0. È solo una condizione necessaria: x³ in 0.Massimi e minimi relativi e teorema di Fermat →. Quando invece il punto deve restare su una curva si passa a Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di LagrangeEstremi vincolati = estremi di f ristretta a una curva g(x,y) = b o a un insieme chiuso K. Metodo diretto: si parametrizza il vincolo, r(t) = (x(t), y(t)), e si studia φ(t) = f(r(t)) con l'Analisi 1 (non dimenticare gli estremi dell'intervallo). Moltiplicatori di Lagrange (D): se P è estremo locale di f|Γ e ∇g(P) ≠ 0 allora ∇f(P) = λ∇g(P); equivale a ∇L = 0 per L = f + λ(b − g). Procedura: punti singolari del vincolo (∇g = 0), punti critici vincolati, confronto dei valori (Weierstrass se Γ è compatto). Estremi assoluti su un insieme chiuso K: interno (∇f = 0), frontiera (Lagrange o parametrizzazione, più i vertici), confronto; se K è illimitato si usa la coercività della funzione all'infinito.Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di Lagrange →.

1. Che cosa vuol dire "estremo"

Sia $f : X \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e sia $\mathbf{x}_0 \in X$.

Definizione (estremi assoluti). $\mathbf{x}_0$ è un punto di massimo assoluto (o globale) se $f(\mathbf{x}_0) \ge f(\mathbf{x})$ per ogni $\mathbf{x} \in X$; di minimo assoluto se $f(\mathbf{x}_0) \le f(\mathbf{x})$ per ogni $\mathbf{x} \in X$. Il numero $f(\mathbf{x}_0)$ si chiama valore massimo (minimo) e si scrive $\max_X f$ ($\min_X f$).

Definizione (estremi relativi). $\mathbf{x}_0$ è un punto di massimo relativo (o locale) se esiste un intorno sferico $U$ di $\mathbf{x}_0$ tale che $f(\mathbf{x}_0) \ge f(\mathbf{x})$ per ogni $\mathbf{x} \in U \cap X$; per il minimo relativo si rovescia la disuguaglianza. L'estremo è forte (o stretto) se la disuguaglianza è stretta per ogni $\mathbf{x} \ne \mathbf{x}_0$ (in $X$ per gli assoluti, in $U \cap X$ per i relativi).

Esempio. $f(x,y) = x^2 + y^2$ ha in $(0,0)$ un minimo assoluto stretto: $f(x,y) > 0 = f(0,0)$ per ogni $(x,y) \ne (0,0)$. Invece $f(x,y) = \cos x + \cos y$ ha in $(0,0)$ un massimo assoluto (vale $2$, e $\cos \le 1$ ovunque) ma ha massimi assoluti anche in $(2\pi, 0)$, $(0, 2\pi)$, ...: l'estremo è assoluto ma non stretto.

Come ragionare. Un estremo relativo si decide guardando il segno di $f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}_0)$ vicino a $\mathbf{x}_0$: sempre $\ge 0$ vicino a $\mathbf{x}_0$ vuol dire minimo relativo, sempre $\le 0$ massimo relativo, di entrambi i segni in ogni intorno vuol dire che non è un estremo. Un estremo assoluto si decide guardando il segno di $f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}_0)$ su tutto il dominio: è un'informazione molto più forte, e un minimo relativo può non essere assoluto (un fondovalle non è il punto più basso di tutta la regione).

Si parla di estremi liberi quando il dominio è un insieme aperto $A \subseteq \mathbb{R}^n$ (per esempio tutto $\mathbb{R}^n$): ogni punto ha un intorno contenuto in $A$ e ci si può spostare in ogni direzione. Si parla di estremi vincolati quando il dominio contiene il bordo, una curva o una disuguaglianza non aperta: lì la regola di questa nota non basta più.

2. Condizione necessaria: il teorema di Fermat

Teorema (Fermat). Sia $A \subseteq \mathbb{R}^n$ aperto, $f : A \to \mathbb{R}$, e sia $\mathbf{x}_0 \in A$ un punto di massimo o di minimo relativo. Se $f$ è derivabile in $\mathbf{x}_0$ (esistono tutte le derivate parziali), allora $$\nabla f(\mathbf{x}_0) = \mathbf{0}, \qquad \text{cioè} \qquad \frac{\partial f}{\partial x_k}(\mathbf{x}_0) = 0 \quad \text{per } k = 1, \dots, n.$$

Esempio. $f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x$ ha $\nabla f = (2x - 2,\ 2y)$, che si annulla solo in $(1, 0)$. Infatti $f(x,y) = (x-1)^2 + y^2 - 1 \ge -1 = f(1,0)$: lì c'è il minimo assoluto, e vale $-1$.

Dimostrazione (D). Supponiamo che $\mathbf{x}_0$ sia un punto di massimo relativo (per il minimo si ragiona allo stesso modo, o si applica il risultato a $-f$).

1. Poiché $A$ è aperto e $\mathbf{x}_0$ è un massimo relativo, esiste $\delta > 0$ tale che la palla $B_\delta(\mathbf{x}_0)$ sta in $A$ e $f(\mathbf{x}) \le f(\mathbf{x}_0)$ per ogni $\mathbf{x}$ della palla.
2. Fissiamo $k \in \{1, \dots, n\}$ e sia $\mathbf{e}_k$ il $k$-esimo vettore della base canonica. Definiamo la funzione di una variabile $$g(t) = f(\mathbf{x}_0 + t\,\mathbf{e}_k), \qquad t \in (-\delta, \delta).$$ È ben definita perché il punto $\mathbf{x}_0 + t\mathbf{e}_k$ dista $|t| < \delta$ da $\mathbf{x}_0$, quindi sta nella palla (qui si usa che il punto è interno).
3. Per $t \in (-\delta, \delta)$ si ha $g(t) = f(\mathbf{x}_0 + t\mathbf{e}_k) \le f(\mathbf{x}_0) = g(0)$: la funzione $g$ ha un massimo relativo nel punto interno $t = 0$.
4. $g$ è derivabile in $0$, perché per definizione $$g'(0) = \lim_{t \to 0}\frac{f(\mathbf{x}_0 + t\mathbf{e}_k) - f(\mathbf{x}_0)}{t} = \frac{\partial f}{\partial x_k}(\mathbf{x}_0)$$ esiste. Per il teorema di Fermat in una variabile (Massimi e minimi relativi e teorema di Fermatx0 è punto di minimo (massimo) relativo se f(x0) ≤ f(x) (≥) per gli x del dominio vicini a x0. I candidati sono gli estremi del dominio, i punti dove f non è derivabile e i punti interni con f'(x0) = 0 (punti critici o stazionari). Teorema di Fermat: in un punto interno di minimo o massimo relativo dove f è derivabile, f'(x0) = 0. È solo una condizione necessaria: x³ in 0.Massimi e minimi relativi e teorema di Fermat →) $g'(0) = 0$, cioè $\frac{\partial f}{\partial x_k}(\mathbf{x}_0) = 0$.
5. Poiché $k$ era arbitrario, tutte le derivate parziali sono nulle: $\nabla f(\mathbf{x}_0) = \mathbf{0}$. $\blacksquare$

Definizione (punto critico). Un punto $\mathbf{x}_0$ in cui $f$ è derivabile e $\nabla f(\mathbf{x}_0) = \mathbf{0}$ si chiama punto criticochiamato anche punto stazionario: il gradiente è il vettore nullo (o stazionario) di $f$.

Significato geometrico ($n = 2$). Se $f$ è differenziabile in $(x_0, y_0)$, il piano tangente al grafico è $$z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)(y - y_0).$$ In un punto critico i due coefficienti sono nulli e il piano diventa $z = f(x_0, y_0)$: un piano orizzontale. Un estremo è dunque un punto in cui la superficie ha il piano tangente orizzontale.

Due precisazioni importanti.

• Il teorema vale solo per punti interni. Su $[0,1]$ la funzione $x$ ha il minimo in $0$ con derivata $1 \ne 0$. Nel caso di dominio chiuso si dovranno guardare anche i punti del bordo (vedi Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di LagrangeEstremi vincolati = estremi di f ristretta a una curva g(x,y) = b o a un insieme chiuso K. Metodo diretto: si parametrizza il vincolo, r(t) = (x(t), y(t)), e si studia φ(t) = f(r(t)) con l'Analisi 1 (non dimenticare gli estremi dell'intervallo). Moltiplicatori di Lagrange (D): se P è estremo locale di f|Γ e ∇g(P) ≠ 0 allora ∇f(P) = λ∇g(P); equivale a ∇L = 0 per L = f + λ(b − g). Procedura: punti singolari del vincolo (∇g = 0), punti critici vincolati, confronto dei valori (Weierstrass se Γ è compatto). Estremi assoluti su un insieme chiuso K: interno (∇f = 0), frontiera (Lagrange o parametrizzazione, più i vertici), confronto; se K è illimitato si usa la coercività della funzione all'infinito.Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di Lagrange →).
• Se $f$ non è derivabile in qualche punto, quel punto va studiato a parte: $f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ ha in $(0,0)$ un minimo assoluto, ma lì non esistono le derivate parziali. I candidati a estremo sono quindi i punti critici e i punti in cui $f$ non è derivabile.

3. Perché la condizione non basta

Fermat dice: estremo $\Rightarrow$ punto critico. Il viceversa è falso, e il modo in cui è falso si vede in tre esempi.

1. $n = 1$, $f(x) = x^3$. $f'(0) = 0$, ma $f(x) > 0$ per $x > 0$ e $f(x) < 0$ per $x < 0$: flesso a tangente orizzontale, non un estremo.
2. $f(x,y) = -y^3$. $\nabla f = (0, -3y^2)$ si annulla su tutta la retta $y = 0$, quindi ci sono infiniti punti critici. Ma vicino a $(x_0, 0)$ si ha $f(x_0, y) = -y^3 > 0$ se $y < 0$ e $< 0$ se $y > 0$: nessuno è un estremo.
3. $f(x,y) = x^2 - y^2$. $\nabla f = (2x, -2y)$ si annulla solo in $(0,0)$. Lungo l'asse $x$ vale $f(x,0) = x^2 > 0$, lungo l'asse $y$ vale $f(0,y) = -y^2 < 0$. In ogni intorno dell'origine ci sono valori sia sopra sia sotto $f(0,0) = 0$: né massimo né minimo.

Definizione (punto di sella). Un punto critico $\mathbf{x}_0$ che non è né di massimo né di minimo relativo si chiama punto di sella: in ogni intorno di $\mathbf{x}_0$ la differenza $f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}_0)$ assume sia valori $> 0$ sia valori $< 0$.

Per decidere cosa sia davvero un punto critico serve un criterio che guardi le derivate seconde.

4. Condizione sufficiente: la matrice hessiana

4.1 L'idea

Sia $f \in C^2(A)$ e $\mathbf{x}_0$ un punto critico. La formula di Taylor del secondo ordine con il resto di Peano (Derivate seconde, teorema di Schwarz e formula di Taylor del secondo ordineLe derivate seconde f_{x_i x_j} = (f_{x_i}){x_j} formano la matrice hessiana H_f; se f è C² l'hessiana è simmetrica (teorema di Schwarz: le derivate miste, continue, non dipendono dall'ordine). Il differenziale secondo d²f(x0)(h) = h^T H_f(x0) h = Σ f{x_i x_j} h_i h_j è una forma quadratica. Formula di Taylor del secondo ordine con resto di Peano (D): f(x0 + h) = f(x0) + ∇f(x0)·h + ½ h^T H_f(x0) h + o(|h|²) per f ∈ C². Serve per i punti critici e per calcolare limiti.Derivate seconde, teorema di Schwarz e formula di Taylor del secondo ordine →) dice, per $\mathbf{h} \to \mathbf{0}$: $$f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) = f(\mathbf{x}_0) + \underbrace{\nabla f(\mathbf{x}_0)\cdot\mathbf{h}}_{=\,0} + \tfrac12\,\mathbf{h}^T H_f(\mathbf{x}_0)\,\mathbf{h} + o(\|\mathbf{h}\|^2),$$ dove $H_f(\mathbf{x}_0) = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(\mathbf{x}_0)\right)$ è la matrice hessiana (simmetrica per Schwarz). Il termine del primo ordine sparisce perché il punto è critico, quindi $$f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) - f(\mathbf{x}_0) = \tfrac12\, q(\mathbf{h}) + o(\|\mathbf{h}\|^2), \qquad q(\mathbf{h}) = \mathbf{h}^T H_f(\mathbf{x}_0)\mathbf{h}.$$ Il segno dell'incremento, per $\mathbf{h}$ piccolo, è deciso dal segno della forma quadratica $q$ (come in una variabile lo decide il segno di $\frac12 f''(x_0)h^2$).

4.2 Il teorema

Teorema (condizioni sufficienti del secondo ordine). Sia $A$ aperto, $f \in C^2(A)$, $\nabla f(\mathbf{x}_0) = \mathbf{0}$ e $H = H_f(\mathbf{x}_0)$.

1. Se $H$ è definita positiva ($q(\mathbf{h}) > 0$ per ogni $\mathbf{h} \ne \mathbf{0}$), $\mathbf{x}_0$ è un punto di minimo relativo forte.
2. Se $H$ è definita negativa, $\mathbf{x}_0$ è un punto di massimo relativo forte.
3. Se $H$ è indefinita ($q$ assume valori di entrambi i segni), $\mathbf{x}_0$ è un punto di sella.
4. Se $H$ è solo semidefinita (o nulla), il criterio non decide.

Esempio. $f(x,y) = x^2 + 3y^2$ ha $\nabla f(0,0) = 0$ e $H = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 6\end{pmatrix}$, con autovalori $2, 6 > 0$: definita positiva, quindi minimo relativo forte in $(0,0)$.

Come si decide il segno di $H$: con il criterio dei minori per $n = 2$ e per $n = 3$, oppure con il segno degli autovalori (teorema spettrale, Teorema spettrale e forme quadraticheUna funzione lineare è simmetrica se f(v)·w = v·f(w); in una base ortonormale ha matrice simmetrica. Teorema spettrale: f è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di autovettori, cioè A simmetrica ⇔ PᵀAP diagonale con P ortogonale. Applicato alle forme quadratiche, permette di scriverle come somma di quadrati con gli autovalori come coefficienti.Teorema spettrale e forme quadratiche →); è tutto in Forme quadratiche e criteri di definitezzaUna forma quadratica q(h) = h^T M h (M simmetrica) è definita positiva se q>0 per h ≠ 0, semidefinita positiva se q ≥ 0, definita/semidefinita negativa con segni opposti, indefinita se cambia segno. In due variabili, con M = [[a,b],[b,c]]: definita positiva ⇔ det M > 0 e a > 0, definita negativa ⇔ det M > 0 e a < 0, indefinita ⇔ det M < 0 (D, completando il quadrato). In generale: segno degli autovalori di M (D, teorema spettrale): tutti > 0 definita positiva, tutti < 0 definita negativa, di segno diverso indefinita; inoltre q(h) ≥ λ_min |h|². Per n = 3 si usano i minori principali di Sylvester. È lo strumento per classificare i punti critici.Forme quadratiche e criteri di definitezza →.

Dimostrazione (D). Per il teorema spettrale la matrice $H$ è diagonalizzabile con una matrice ortogonale $S$ ($S^T S = I$): $S^T H S = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ con $\lambda_i \in \mathbb{R}$. Con il cambio di variabile $\mathbf{h} = S\mathbf{k}$ si ha $\|\mathbf{h}\| = \|\mathbf{k}\|$ (una matrice ortogonale conserva la lunghezza: $\|S\mathbf{k}\|^2 = \mathbf{k}^T S^T S \mathbf{k} = \|\mathbf{k}\|^2$) e $$q(\mathbf{h}) = \mathbf{k}^T (S^T H S)\,\mathbf{k} = \lambda_1 k_1^2 + \dots + \lambda_n k_n^2.$$

Punto 1. Se $q$ è definita positiva, scegliendo $\mathbf{k} = \mathbf{e}_j$ (cioè $\mathbf{h} = S\mathbf{e}_j \ne \mathbf{0}$) si ottiene $q = \lambda_j > 0$ per ogni $j$. Sia $\lambda_{\min} = \min_j \lambda_j > 0$. Allora per ogni $\mathbf{h}$ $$q(\mathbf{h}) = \sum_j \lambda_j k_j^2 \ge \lambda_{\min}\sum_j k_j^2 = \lambda_{\min}\|\mathbf{h}\|^2.$$ Per la formula di Taylor, il resto è $o(\|\mathbf{h}\|^2)$: esiste $\delta > 0$ tale che, per $0 < \|\mathbf{h}\| < \delta$, $|\text{resto}| \le \frac{\lambda_{\min}}{4}\|\mathbf{h}\|^2$. Allora per $0 < \|\mathbf{h}\| < \delta$ $$f(\mathbf{x}_0 + \mathbf{h}) - f(\mathbf{x}_0) \ge \frac{\lambda_{\min}}{2}\|\mathbf{h}\|^2 - \frac{\lambda_{\min}}{4}\|\mathbf{h}\|^2 = \frac{\lambda_{\min}}{4}\|\mathbf{h}\|^2 > 0.$$ Quindi $f(\mathbf{x}) > f(\mathbf{x}_0)$ per ogni $\mathbf{x} \ne \mathbf{x}_0$ vicino a $\mathbf{x}_0$: minimo relativo forte.

Punto 2. Si applica il punto 1 a $-f$ (l'hessiana di $-f$ è $-H$, definita positiva).

Punto 3. Se $q$ è indefinita ci sono $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ con $q(\mathbf{u}) > 0 > q(\mathbf{v})$. Lungo la retta $\mathbf{h} = t\mathbf{u}$, per $t \to 0$: $$f(\mathbf{x}_0 + t\mathbf{u}) - f(\mathbf{x}_0) = \tfrac12 t^2 q(\mathbf{u}) + o(t^2) = t^2\left(\tfrac12 q(\mathbf{u}) + o(1)\right) > 0$$ per $t \ne 0$ piccolo, e lo stesso calcolo con $\mathbf{v}$ dà un incremento $< 0$. In ogni intorno ci sono quindi punti sopra e punti sotto $f(\mathbf{x}_0)$: sella. $\blacksquare$

4.3 Il caso $n = 2$

Per due variabili la matrice è $H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy}\end{pmatrix}$ e il segno si decide con il suo determinante $\det H = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$:

Corollario ($n = 2$). Sia $\nabla f(x_0, y_0) = (0,0)$ e $f \in C^2$.

• $\det H > 0$ e $f_{xx} > 0$: minimo relativo forte.
• $\det H > 0$ e $f_{xx} < 0$: massimo relativo forte.
• $\det H < 0$: punto di sella.
• $\det H = 0$: il criterio non decide.

Perché funziona. $\det H = \lambda_1\lambda_2$ è il prodotto degli autovalori e $\operatorname{tr} H = f_{xx} + f_{yy} = \lambda_1 + \lambda_2$ è la somma. Se $\det H < 0$ gli autovalori hanno segno opposto: indefinita, sella. Se $\det H > 0$ hanno lo stesso segno; inoltre $f_{xx}f_{yy} > f_{xy}^2 \ge 0$ obbliga $f_{xx}$ e $f_{yy}$ ad avere lo stesso segno, quindi la somma $\lambda_1 + \lambda_2 = f_{xx} + f_{yy}$ ha il segno di $f_{xx}$: se è positiva i due autovalori sono entrambi positivi (minimo), se è negativa entrambi negativi (massimo).

Esempio completo. $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$.

• Gradiente: $\nabla f = (3x^2 - 3y,\ 3y^2 - 3x)$. Dal sistema $y = x^2$ e $x = y^2$ si ha $x = x^4$, cioè $x(x^3 - 1) = 0$: $x = 0$ oppure $x = 1$. Punti critici $(0,0)$ e $(1,1)$.
• Hessiana: $H(x,y) = \begin{pmatrix} 6x & -3 \\ -3 & 6y\end{pmatrix}$.
• In $(0,0)$: $H = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -3 & 0\end{pmatrix}$, $\det H = -9 < 0$: sella, con $f(0,0) = 0$.
• In $(1,1)$: $H = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 6\end{pmatrix}$, $\det H = 27 > 0$ e $f_{xx} = 6 > 0$: minimo relativo forte, con $f(1,1) = -1$. (Gli autovalori sono $3$ e $9$.) Il minimo non è assoluto: $f(x, 0) = x^3 \to -\infty$ per $x \to -\infty$.

4.4 Quando l'hessiana non decide

Se $\det H = 0$ (hessiana semidefinita o nulla) il termine del secondo ordine può annullarsi in certe direzioni, e allora conta quello che c'è dopo. Tre funzioni con $\nabla f(0,0) = (0,0)$ e hessiana nulla nell'origine: $$f_1 = x^4 + y^4,\qquad f_2 = -x^4 - y^4,\qquad f_3 = x^4 - y^4$$ hanno rispettivamente un minimo, un massimo e una sella. Stessa cosa con hessiana semidefinita non nulla: $x^2 + y^4$ (minimo) e $x^2 + y^3$ (sella, perché $f(0,y) = y^3$ cambia segno); in entrambi i casi $H = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$, $\det H = 0$.

Cosa si fa. Si studia direttamente il segno di $f(\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}_0)$.

• Per mostrare che il punto non è un estremo basta trovare due curve (spesso due rette) per $\mathbf{x}_0$ lungo cui la differenza ha segni opposti.
• Per mostrare che è un estremo serve una disuguaglianza valida in un intero intorno (somma di quadrati, fattorizzazione, minorazione).

Esempio. $f(x,y) = x^3 + (x+y)^2$. $\nabla f = (3x^2 + 2(x+y),\ 2(x+y))$: la seconda componente dà $y = -x$, la prima $3x^2 = 0$. Unico punto critico $(0,0)$, con $H = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2\end{pmatrix}$ e $\det H = 0$: il criterio non decide. Sulla retta $y = -x$ si ha $f(x,-x) = x^3$, positiva per $x > 0$ e negativa per $x < 0$: sella. (È la direzione in cui la forma quadratica $2(h+k)^2$ si annulla: lì decide il termine cubico.)

Altri casi misti sono negli esercizi: Esercizio - Punti critici con hessiana degenere (esercizi 17 e 18).

5. Schema operativo per gli estremi liberi

1. Dominio e regolarità. Controllare che il dominio sia aperto e che $f$ sia $C^2$ (altrimenti i punti dove non è derivabile vanno studiati a parte).
2. Punti critici. Risolvere $\nabla f = \mathbf{0}$. Il sistema è in genere non lineare: si parte dall'equazione più semplice, si fattorizza (un prodotto è nullo se lo è un fattore) e si distinguono i casi. Attenzione a non dividere per una quantità che può essere zero: così si perdono soluzioni (esempio: da $x(y-1) = 0$ si ottiene $x = 0$ oppure $y = 1$, non solo $y = 1$).
3. Hessiana in ogni punto critico: $\det H$ e $f_{xx}$ (o gli autovalori).
4. Se $\det H = 0$: segno di $f - f(\mathbf{x}_0)$ con restrizioni o disuguaglianze.
5. Estremi assoluti: confrontare i valori nei punti critici e controllare il comportamento di $f$ all'infinito (paragrafo seguente).

6. Estremi globali su un insieme illimitato

Se il dominio è chiuso e limitato, il teorema di Weierstrass (Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeriDato E ⊆ R^n, ogni punto è interno, esterno o di frontiera (partizione). E è aperto se E = interno, chiuso se il complementare è aperto (equivalentemente contiene la frontiera, o contiene i limiti delle sue successioni). Palle aperte e insiemi {f<c} con f continua sono aperti; {f≤c}, {f=c} chiusi. Compatto = chiuso e limitato. Weierstrass: f continua su un compatto ha massimo e minimo; vale anche su un chiuso illimitato se f→+∞ (minimo) o f→−∞ (massimo) all'infinito. Connesso per archi + f continua con segni opposti ⇒ f si annulla (teorema degli zeri).Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeri →) garantisce che massimo e minimo esistono. Su $\mathbb{R}^2$ (o su un chiuso illimitato) invece possono non esistere, ma c'è un criterio per sapere quando esistono.

Teorema (Weierstrass generalizzato). Sia $C \subseteq \mathbb{R}^n$ chiuso e illimitato e $f : C \to \mathbb{R}$ continua. Se $$\lim_{\substack{\|\mathbf{x}\| \to +\infty \\ \mathbf{x} \in C}} f(\mathbf{x}) = +\infty,$$ allora $f$ ammette minimo assoluto in $C$. Se il limite è $-\infty$, ammette massimo assoluto.

Esempio. $f(x,y) = x^2 + y^2$ su $\mathbb{R}^2$: tende a $+\infty$ all'infinito e infatti ha minimo assoluto $0$; non ha massimo, perché è illimitata superiormente.

Dimostrazione (D, caso del minimo). Fissiamo un punto $\mathbf{x}_1 \in C$ e sia $M = f(\mathbf{x}_1)$.

1. Poiché $f \to +\infty$ all'infinito, esiste $R > 0$ tale che $f(\mathbf{x}) > M$ per ogni $\mathbf{x} \in C$ con $\|\mathbf{x}\| > R$; prendiamo anche $R \ge \|\mathbf{x}_1\|$.
2. L'insieme $K = C \cap \overline{B}_R(\mathbf{0})$ è chiuso (intersezione di due chiusi), limitato e non vuoto (contiene $\mathbf{x}_1$): è un compatto. Per Weierstrass esiste $\mathbf{x}_0 \in K$ con $f(\mathbf{x}_0) \le f(\mathbf{x})$ per ogni $\mathbf{x} \in K$. In particolare $f(\mathbf{x}_0) \le f(\mathbf{x}_1) = M$.
3. Per $\mathbf{x} \in C \setminus K$ vale $\|\mathbf{x}\| > R$, quindi $f(\mathbf{x}) > M \ge f(\mathbf{x}_0)$.
4. Quindi $f(\mathbf{x}_0) \le f(\mathbf{x})$ per ogni $\mathbf{x} \in C$: $\mathbf{x}_0$ è punto di minimo assoluto. $\blacksquare$

Come si verifica che $f \to +\infty$ in due variabili. Si passano le coordinate in polari, $x = \rho\cos\theta$, $y = \rho\sin\theta$, e si cerca una minorazione che non dipenda da $\theta$: se $$f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta) \ge h(\rho) \quad \text{per ogni } \theta \in [0, 2\pi] \text{ e ogni } \rho \ge \rho_0, \qquad h(\rho) \to +\infty,$$ allora per il teorema del confronto $f \to +\infty$ per $\|(x,y)\| \to \infty$. Analogamente con una maggiorazione $\le h(\rho) \to -\infty$.

Perché la stima deve valere per tutti gli angoli. $f(x,y) = x^2$ in polari vale $\rho^2\cos^2\theta$: per ogni angolo fissato diverso da $\pm\frac{\pi}{2}$ tende a $+\infty$, ma lungo l'asse $y$ ($\theta = \frac{\pi}{2}$) vale sempre $0$. Il limite non è $+\infty$.

Restrizione per mostrare che $\sup = +\infty$ o $\inf = -\infty$. Basta trovare una curva lungo la quale $f \to \pm\infty$: per esempio $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ vale $x^3$ sull'asse $x$, che tende a $-\infty$ per $x \to -\infty$ e a $+\infty$ per $x \to +\infty$. Quindi non ha né massimo né minimo.

Esempio completo: $f(x,y) = x^4 + y^4 - 4xy$ su $\mathbb{R}^2$

Punti critici. $\nabla f = (4x^3 - 4y,\ 4y^3 - 4x)$. La prima equazione dà $y = x^3$; sostituendo nella seconda, $x^9 - x = 0$, cioè $x(x^8 - 1) = 0$, quindi $x = 0$ oppure $x = \pm 1$ (le sole radici reali di $x^8 = 1$). Punti: $(0,0)$, $(1,1)$, $(-1,-1)$.

Natura. $H = \begin{pmatrix} 12x^2 & -4 \\ -4 & 12y^2\end{pmatrix}$.

• $(0,0)$: $\det H = -16 < 0$, sella, $f = 0$.
• $(\pm 1, \pm 1)$ (stessa matrice $\begin{pmatrix} 12 & -4 \\ -4 & 12\end{pmatrix}$, $\det = 128$, $f_{xx} = 12$): due minimi relativi forti, con $f(1,1) = f(-1,-1) = 1 + 1 - 4 = -2$.

Estremi assoluti. Sull'asse $x$, $f(x,0) = x^4 \to +\infty$: $\sup f = +\infty$, non esiste il massimo. Per il minimo studiamo l'infinito in polari: $$f = \rho^4(\cos^4\theta + \sin^4\theta) - 4\rho^2\sin\theta\cos\theta.$$ Si ha $\cos^4\theta + \sin^4\theta = (\cos^2\theta + \sin^2\theta)^2 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta = 1 - \tfrac12\sin^2(2\theta) \ge \tfrac12$ e $-4\sin\theta\cos\theta = -2\sin 2\theta \ge -2$. Quindi per ogni $\theta$ $$f \ge \tfrac12\rho^4 - 2\rho^2 =: h(\rho) \to +\infty.$$ Per il teorema precedente il minimo assoluto esiste e va cercato fra i punti critici (su $\mathbb{R}^2$ non c'è bordo): il più basso è $-2$, assunto in $(1,1)$ e in $(-1,-1)$. Quindi $\min f = -2$ e i due minimi relativi sono entrambi assoluti.

7. Errori da evitare

• "Punto critico = estremo." È solo una condizione necessaria (sella, flesso).
• Concludere con $\det H = 0$. Non si può dire né "massimo/minimo" né "sella": serve lo studio diretto.
• Dimenticare di scrivere le soluzioni mancanti quando si fattorizza (casi $x = 0$, $y = 0$ ...).
• Confondere locale e globale. Un minimo relativo può non essere assoluto; per l'assoluto serve il comportamento all'infinito o il confronto dei valori.
• Stimare in polari con una funzione dell'angolo. La minorazione deve dipendere solo da $\rho$.
• Usare Fermat sul bordo del dominio. Il teorema vale solo nei punti interni.

Esercizi svolti: Esercizio - Punti critici ed estremi su un disco (appello 27 gennaio 2025), Esercizio - Nove punti critici e minimi globali (appello 9 febbraio 2026), Esercizio - Punti critici con esponenziale e assenza di estremi globali (appello 9 settembre 2025), Esercizio - Punti critici con hessiana degenere (esercizi 17 e 18). La convessità, che dà il minimo globale senza studiare l'infinito, è in Funzioni convesse di più variabili e minimi globaliInsieme convesso = contiene ogni segmento tra due suoi punti (palla, semipiano, quadrante sì; piano meno un quadrante aperto no; convesso ⇒ connesso, non viceversa). Funzione convessa = grafico sotto le corde: f((1−t)x + ty) ≤ (1−t)f(x) + t f(y); epigrafo convesso; affini sia convesse sia concave, la norma è convessa ma non strettamente. Se f è differenziabile: convessa ⇔ sta sopra ogni piano tangente (D della condizione necessaria). Se f è C²: convessa ⇔ Hessiana semidefinita positiva ovunque; Hessiana definita positiva ovunque ⇒ strettamente convessa (non viceversa: x⁴). Conseguenza fondamentale (D): su un aperto convesso un punto critico di una funzione convessa è minimo globale, unico se è strettamente convessa.Funzioni convesse di più variabili e minimi globali →.

Domande d'esame

1. Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat per funzioni di più variabili. È vero il viceversa? Traccia. Enunciato come nel paragrafo 2 (punto interno, $f$ derivabile, estremo locale $\Rightarrow \nabla f = \mathbf{0}$). Dimostrazione: restrizione $g(t) = f(\mathbf{x}_0 + t\mathbf{e}_k)$ a una retta coordinata, che ha un estremo interno in $t = 0$, poi Fermat in una variabile. Il viceversa è falso: $x^2 - y^2$ in $(0,0)$ (punto di sella) o $f(x,y) = -y^3$ con infiniti punti critici che non sono estremi.
2. Enunciare le condizioni sufficienti del secondo ordine per un punto critico. Che cosa succede se l'hessiana è singolare? Dare un esempio. Traccia. Hessiana definita positiva/negativa/indefinita $\Rightarrow$ minimo/massimo forte/sella; per $n = 2$ si usano $\det H$ e $f_{xx}$. Con $\det H = 0$ non si può concludere: $x^4 + y^4$, $-x^4 - y^4$, $x^4 - y^4$ hanno tutte hessiana nulla nell'origine e rispettivamente minimo, massimo e sella.
3. Sia $C$ chiuso illimitato e $f$ continua con $f \to +\infty$ all'infinito. Dimostrare che $f$ ha minimo. Traccia. Si fissa $\mathbf{x}_1 \in C$, si trova $R$ oltre il quale $f > f(\mathbf{x}_1)$, si applica Weierstrass al compatto $C \cap \overline{B}_R$.