Esercizio - integrali di prima specie su elica e spirale (foglio 1 ed esercizi 2025-26)

Teoria: Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerziaL'integrale curvilineo di prima specie di f lungo una curva C^1 è ∫_γ f ds = ∫_a^b f(r(t)) |r'(t)| dt, dove ds = |r'(t)|dt è l'elemento d'arco. Con f = 1 dà la lunghezza; con f ≥ 0 l'area di una parete verticale alta f lungo la curva; con f = densità la massa. Non dipende dalla parametrizzazione né dal verso di percorrenza (D). Baricentro x_b = (1/M)∫ x μ ds; momento d'inerzia I = ∫ δ² μ ds con δ distanza dall'asse.Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerzia →.

Testo.

1. Calcolare $\int_\gamma xyz\,ds$ dove $\gamma(t) = (\cos t, \sin t, t)$, $t\in[0,2\pi]$.
2. Calcolare $\int_\gamma xyz\,ds$ dove $\gamma$ è la curva $x = R\sin t$, $y = R\cos t$, $z = ht$, $0 < t < 2$ ($R, h > 0$).
3. Sulla spirale di Archimede $\rho = \theta$, $\theta\in[0,4\pi]$, calcolare $\displaystyle\int_\gamma\theta\,ds$ e $\displaystyle\int_\gamma\theta^3\,ds$.

(Fonte: esercizio 5 e 15 del foglio 1; esercizio 4 della raccolta 2025-26, corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD.)

Soluzione

Ricetta: $\int_\gamma f\,ds = \int f(\gamma(t))\,|\gamma'(t)|\,dt$.

1. Elica

$\gamma' = (-\sin t, \cos t, 1)$, $|\gamma'| = \sqrt2$ (costante). Sulla curva $f = xyz = t\sin t\cos t = \frac12t\sin 2t$. Quindi $$\int_\gamma xyz\,ds = \frac{\sqrt2}{2}\int_0^{2\pi}t\sin2t\,dt .$$ Per parti con $u = t$, $v' = \sin2t$ ($v = -\frac12\cos2t$): $$\int_0^{2\pi}t\sin2t\,dt = \Big[-\frac t2\cos2t\Big]_0^{2\pi} + \frac12\int_0^{2\pi}\cos2t\,dt = -\pi + \frac14[\sin2t]_0^{2\pi} = -\pi .$$ Risultato: $\displaystyle\int_\gamma xyz\,ds = -\frac{\sqrt2\,\pi}{2}$. (Il segno negativo è plausibile: nel tratto $t\in(\frac\pi2,\pi)$, dove $z$ è grande, $xy = \sin t\cos t<0$.)

2. Elica con scambio di coordinate

$\gamma' = (R\cos t, -R\sin t, h)$ e $|\gamma'| = \sqrt{R^2\cos^2t + R^2\sin^2t + h^2} = \sqrt{R^2+h^2}$. Sulla curva $xyz = R\sin t\cdot R\cos t\cdot ht = R^2h\,t\sin t\cos t = \frac{R^2h}{2}\,t\sin2t$. Quindi $$\int_\gamma xyz\,ds = \sqrt{R^2+h^2}\,\frac{R^2h}{2}\int_0^2t\sin2t\,dt .$$ Per parti: $\int_0^2t\sin2t\,dt = \Big[-\frac t2\cos2t\Big]_0^2 + \frac14[\sin2t]_0^2 = -\cos4 + \frac14\sin4$. Il risultato è $$\int_\gamma xyz\,ds = \frac{R^2h\sqrt{R^2+h^2}}{2}\Big(\frac{\sin4}{4} - \cos4\Big) .$$ Raccogliendo $\frac14$: $\frac{\sin 4}{4} - \cos 4 = \frac14(\sin4 - 4\cos4)$, quindi $$\boxed{\int_\gamma xyz\,ds = \frac{R^2h\sqrt{R^2+h^2}}{8}\,(\sin4 - 4\cos4)\approx 0.2322\,R^2h\sqrt{R^2+h^2}} .$$ Attenzione: l'angolo $4$ è in radianti ($\sin4\approx-0.757$, $\cos4\approx-0.654$, quindi $\sin4-4\cos4\approx1.858$ e $1.858/8 = 0.2322$).

3. Spirale di Archimede

$\gamma(\theta) = (\theta\cos\theta,\theta\sin\theta)$, $|\gamma'| = \sqrt{1+\theta^2}$, quindi $ds = \sqrt{1+\theta^2}\,d\theta$ e $f = \theta$ lungo la curva.

• $\displaystyle\int_\gamma\theta\,ds = \int_0^{4\pi}\theta\sqrt{1+\theta^2}\,d\theta = \Big[\frac13(1+\theta^2)^{3/2}\Big]_0^{4\pi} = \frac13\big[(1+16\pi^2)^{3/2} - 1\big]$ (la derivata di $\frac13(1+\theta^2)^{3/2}$ è $\theta\sqrt{1+\theta^2}$).
• $\displaystyle\int_\gamma\theta^3\,ds = \int_0^{4\pi}\theta^2\cdot\theta\sqrt{1+\theta^2}\,d\theta$. Con $u = 1+\theta^2$ ($\theta^2 = u-1$, $\theta\,d\theta = \frac12du$, estremi $u=1$ e $u = 1+16\pi^2$): $$\frac12\int_1^{1+16\pi^2}(u-1)\,u^{1/2}\,du = \frac12\Big[\frac25u^{5/2} - \frac23u^{3/2}\Big]_1^{1+16\pi^2} = \Big[\frac{u^{5/2}}5 - \frac{u^{3/2}}3\Big]_1^{1+16\pi^2}.$$ Raccogliendo $u^{3/2}\frac{3u-5}{15}$: in $u = 1$ vale $-\frac2{15}$; in $u = 1+16\pi^2$, $3u - 5 = 48\pi^2-2$. Quindi $$\int_\gamma\theta^3\,ds = \frac{2}{15}\Big[(24\pi^2-1)(1+16\pi^2)^{3/2} + 1\Big]\approx 6.30\cdot10^{4}.$$

Errori tipici. Scordare $|\gamma'|$ (per esempio calcolando $\int_0^{2\pi}\frac12t\sin2t\,dt$ e basta); usare gradi invece di radianti in $\sin4$ e $\cos 4$; nell'ultimo punto dimenticare di cambiare gli estremi nella sostituzione $u = 1+\theta^2$.