Esercizio - Estremi assoluti su un triangolo (esercizio 25)

Teoria: Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di LagrangeEstremi vincolati = estremi di f ristretta a una curva g(x,y) = b o a un insieme chiuso K. Metodo diretto: si parametrizza il vincolo, r(t) = (x(t), y(t)), e si studia φ(t) = f(r(t)) con l'Analisi 1 (non dimenticare gli estremi dell'intervallo). Moltiplicatori di Lagrange (D): se P è estremo locale di f|Γ e ∇g(P) ≠ 0 allora ∇f(P) = λ∇g(P); equivale a ∇L = 0 per L = f + λ(b − g). Procedura: punti singolari del vincolo (∇g = 0), punti critici vincolati, confronto dei valori (Weierstrass se Γ è compatto). Estremi assoluti su un insieme chiuso K: interno (∇f = 0), frontiera (Lagrange o parametrizzazione, più i vertici), confronto; se K è illimitato si usa la coercività della funzione all'infinito.Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di Lagrange → (frontiera a pezzi). Fonte: raccolta di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD 2025-26, esercizio 25.

Testo

Trovare massimo e minimo assoluti di $f(x,y) = \cos x\,\cos y$ nel triangolo $T$ di vertici $A = \left(0, -\frac\pi2\right)$, $B = \left(\frac\pi2, 0\right)$, $C = \left(0, \frac\pi2\right)$.

Soluzione

Il dominio. $T$ è compatto e $f$ continua: massimo e minimo esistono. I lati sono:

• $AC$: il segmento sull'asse $y$, $x = 0$, $-\frac\pi2 \le y \le \frac\pi2$;
• $BC$: la retta per $B$ e $C$, $y = \frac\pi2 - x$, $0 \le x \le \frac\pi2$;
• $AB$: la retta per $A$ e $B$, $y = x - \frac\pi2$, $0 \le x \le \frac\pi2$.

In $T$ si ha $0 \le x \le \frac\pi2$ e $|y| \le \frac\pi2 - x \le \frac\pi2$: quindi $\cos x \ge 0$ e $\cos y \ge 0$, e $f \ge 0$ in tutto $T$.

Interno

$\nabla f = (-\sin x\cos y,\ -\cos x\sin y) = \mathbf{0}$ richiede $\sin x\cos y = 0$ e $\cos x\sin y = 0$. Nell'interno di $T$ si ha $0 < x < \frac\pi2$ (quindi $\sin x \ne 0$ e $\cos x \ne 0$) e $|y| < \frac\pi2$ (quindi $\cos y \ne 0$): la prima equazione non ha soluzioni. Nessun punto critico interno.

Frontiera

• Lato $AC$ ($x = 0$): $f(0,y) = \cos y$, $y \in \left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right]$. Massimo $1$ in $y = 0$, cioè in $(0,0)$; minimo $0$ agli estremi $A$ e $C$.
• Lato $BC$ ($y = \frac\pi2 - x$): $f = \cos x\cos\left(\frac\pi2 - x\right) = \cos x\sin x = \frac12\sin 2x$, $x \in \left[0, \frac\pi2\right]$. Massimo $\frac12$ in $x = \frac\pi4$, cioè in $\left(\frac\pi4, \frac\pi4\right)$; minimo $0$ agli estremi $C$ e $B$.
• Lato $AB$ ($y = x - \frac\pi2$): $f = \cos x\cos\left(x - \frac\pi2\right) = \cos x\sin x = \frac12\sin 2x$ (perché $\cos(x - \frac\pi2) = \sin x$). Stesso andamento: massimo $\frac12$ in $\left(\frac\pi4, -\frac\pi4\right)$, minimo $0$ in $A$ e $B$.

I vertici sono già inclusi come estremi dei lati.

Confronto

I candidati hanno valori $1$ (in $(0,0)$), $\frac12$ (in $\left(\frac\pi4, \pm\frac\pi4\right)$) e $0$ (nei vertici $A$, $B$, $C$). Quindi $$\max_T f = 1 \ \text{ in } (0,0), \qquad \min_T f = 0 \ \text{ in } A,\ B,\ C.$$ Osservazione: nel massimo $(0,0)$ il gradiente è nullo ($\nabla f(0,0) = (0,0)$, perché $\sin 0 = 0$), ma il punto sta sul lato $AC$, cioè sulla frontiera, non nell'interno: lo si trova comunque studiando $f$ sul lato.

Errori tipici

• Dimenticare i vertici: qui sono proprio i punti di minimo.
• Cercare i punti critici su tutto $T$ invece che nell'interno: $(0,0)$ ha gradiente nullo ma è un punto di frontiera e va trattato come tale (il risultato è lo stesso, ma la procedura è più chiara).