Esercizio - classificazione dell'origine per alcune matrici e oscillatore smorzato (lezione 34)

Teoria: Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2In un sistema autonomo y' = f(y) le soluzioni sono invarianti per traslazioni nel tempo (D) e le orbite nel piano delle fasi non si intersecano (D). Un equilibrio (f(P) = 0) è stabile se le soluzioni vicine restano vicine, asintoticamente stabile se inoltre convergono a P, instabile altrimenti. Per y' = Ay (2×2, det A ≠ 0) l'origine è asintoticamente stabile se e solo se entrambi gli autovalori hanno parte reale negativa, cioè tr A < 0 e det A > 0; i tipi sono nodo, sella, fuoco, centro.Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2 →.

Testo

(a) Per ciascuna matrice $A$ dire di che tipo è l'origine per $\mathbf{y}'=A\mathbf{y}$ (nodo, sella, fuoco, centro; stabile, asintoticamente stabile, instabile): $$A_1=\begin{pmatrix}-3&0\\4&-1\end{pmatrix},\ A_2=\begin{pmatrix}-2&-4\\-4&-8\end{pmatrix},\ A_3=\begin{pmatrix}0&-2\\2&0\end{pmatrix},\ A_4=\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix},\ A_5=\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix},\ A_6=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}.$$ (b) Oscillatore $y''+hy'+4y=0$ ($k=4$): classificare l'origine di $(y,v=y')$ per $h=0,2,4,5$.

Soluzione

Per ogni matrice si calcolano $\tau=\operatorname{tr}A$, $d=\det A$ e gli autovalori $\lambda=\frac{\tau\pm\sqrt{\tau^2-4d}}2$.

$A_1$ (triangolare: gli autovalori sono sulla diagonale): $\lambda=-3,-1$ reali, entrambi negativi: nodo stabile, asintoticamente stabile. Le orbite entrano nell'origine tangenti all'autovettore di $-1$ (decadimento più lento).

$A_2$: $\tau=-10$, $d=16-16=0$: $\lambda^2+10\lambda=0$, $\lambda=0,-10$. Poiché $d=0$ non c'è un solo equilibrio: il nucleo di $A_2$ è la retta $y_1+2y_2=0$, tutta fatta di equilibri. Lungo la direzione dell'autovalore $-10$ si decade; il resto resta fermo. L'origine è stabile ma non asintoticamente stabile.

$A_3$: $\tau=0$, $d=4$: $\lambda=\pm2i$, centro (orbite ellittiche chiuse, periodo $2\pi/2=\pi$): stabile, non asintoticamente.

$A_4$: $\tau=3$, $d=2-6=-4<0$: $\lambda=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}2=4,-1$ di segno opposto: sella, instabile.

$A_5$: $\tau=2$, $d=1+1=2$, $\Delta=4-8=-4<0$: $\lambda=1\pm i$, fuoco instabile (spirali che si allontanano), instabile.

$A_6$: $\tau=4$, $d=4$, $\Delta=0$: autovalore doppio $\lambda=2>0$ e $A_6\ne2I$: nodo improprio instabile, instabile.

(b) Oscillatore smorzato

Il sistema $\begin{pmatrix}y\\v\end{pmatrix}'=\begin{pmatrix}0&1\\-4&-h\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y\\v\end{pmatrix}$ ha $\tau=-h$, $d=4>0$, $\Delta=h^2-16$ e $\lambda^2+h\lambda+4=0$.

Per $h>0$ si ha sempre $\tau<0$ e $d>0$: l'origine è asintoticamente stabile; il valore $h^2$ rispetto a $4k=16$ decide solo se si oscilla.