Funzioni implicite e teorema di Dini nel piano

Spesso una curva è data da un'equazione $f(x,y) = 0$ e non da una formula $y = g(x)$: la circonferenza $x^2 + y^2 = 1$, la curva $x^2 + y^3 - xy = 3$, i vincoli dei problemi di ottimizzazione. Il teorema di Dini dice quando si può "risolvere rispetto a $y$" localmente, e permette di calcolare la tangente e la curvatura della curva senza mai ricavare $y$. Sarà lo strumento della dimostrazione del teorema dei moltiplicatori di Lagrange (Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di LagrangeEstremi vincolati = estremi di f ristretta a una curva g(x,y) = b o a un insieme chiuso K. Metodo diretto: si parametrizza il vincolo, r(t) = (x(t), y(t)), e si studia φ(t) = f(r(t)) con l'Analisi 1 (non dimenticare gli estremi dell'intervallo). Moltiplicatori di Lagrange (D): se P è estremo locale di f|Γ e ∇g(P) ≠ 0 allora ∇f(P) = λ∇g(P); equivale a ∇L = 0 per L = f + λ(b − g). Procedura: punti singolari del vincolo (∇g = 0), punti critici vincolati, confronto dei valori (Weierstrass se Γ è compatto). Estremi assoluti su un insieme chiuso K: interno (∇f = 0), frontiera (Lagrange o parametrizzazione, più i vertici), confronto; se K è illimitato si usa la coercività della funzione all'infinito.Estremi vincolati - metodo diretto e moltiplicatori di Lagrange →). Prerequisiti: derivate parziali e piano tangente (Derivate parziali, differenziabilità e piano tangenteLa derivata parziale f_{x_i}(x0) è la derivata di t ↦ f(x0 + t e_i); il gradiente ∇f raccoglie le derivate parziali. In più variabili l'esistenza delle derivate parziali NON implica la continuità. f è differenziabile in x0 se f(x0 + h) = f(x0) + a·h + o(|h|); allora f è continua, ha gradiente e a = ∇f(x0) (D). Il grafico ha piano tangente z = f(x0) + ∇f(x0)·(x − x0) e normale (−f_x, −f_y, 1). Teorema del differenziale totale: se le derivate parziali esistono vicino a x0 e sono continue in x0, f è differenziabile; C^1 ⇒ differenziabile ⇒ derivabile e continua, ma i viceversa sono falsi. Regole: Leibniz, catena (f∘r)' = ∇f(r)·r'.Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente →), curve di livello e gradiente (Derivate direzionali, formula del gradiente e curve di livelloLa derivata direzionale D_v f(x0) = lim [f(x0 + t v) − f(x0)]/t (v versore) è la pendenza di f lungo la retta per x0 con direzione v. Se f è differenziabile in x0 vale la formula del gradiente D_v f = ∇f(x0)·v (D); l'esistenza di tutte le D_v non basta (anche a f discontinua). Quindi la massima crescita è nella direzione di ∇f, con pendenza |∇f| (D), la minima in −∇f, e D_v f = 0 per v ⊥ ∇f. Il gradiente è ortogonale alle curve di livello (D): la tangente alla curva di livello in (x0,y0) è f_x(x−x0) + f_y(y−y0) = 0, a patto che ∇f ≠ 0.Derivate direzionali, formula del gradiente e curve di livello →), derivata della funzione composta (Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana e trasformazioni di coordinateUna funzione f : A ⊆ Rⁿ → Rᵐ ha m componenti scalari f₁,…,f_m; il limite si fa componente per componente. È differenziabile in x₀ se f(x₀+h) − f(x₀) = Df(x₀)h + o(‖h‖), dove la matrice jacobiana Df(x₀) (m righe, n colonne) ha elemento (i,j) = ∂f_i/∂x_j: le righe sono i gradienti delle componenti. Se le componenti sono C¹ la f è differenziabile. Casi particolari: m = 1 (riga = gradiente), n = 1 (colonna = vettore tangente), f affine (Df = A). Regola della catena: D(g∘f)(x₀) = Dg(f(x₀))·Df(x₀). Trasformazioni di coordinate: polari (det = ρ), cilindriche (det = ρ), sferiche (det = ρ² sin φ); |det Df| è il fattore di variazione di aree o volumi.Funzioni a valori vettoriali, matrice jacobiana e trasformazioni di coordinate →).

1. Il problema

Sia $f : A \to \mathbb{R}$, $A \subseteq \mathbb{R}^2$ aperto, $f \in C^1(A)$. L'insieme di livello zero è $$L_0 = \{(x,y) \in A : f(x,y) = 0\}.$$ Ci si chiede: vicino a un punto $(x_0, y_0) \in L_0$, l'insieme $L_0$ coincide con il grafico di una funzione $y = g(x)$ (o $x = h(y)$)?

Definizione (funzione definita implicitamente). Un intervallo aperto $I$ e una funzione $g : I \to \mathbb{R}$ sono definiti implicitamente dall'equazione $f(x,y) = 0$ se $$f(x, g(x)) = 0 \quad \text{per ogni } x \in I.$$ Cioè il grafico di $g$ è contenuto in $L_0$. Analogamente per $x = h(y)$ con $f(h(y), y) = 0$.

Esempi che mostrano cosa può andare storto.

1. $x^2 + y^2 - 1 = 0$ (circonferenza). Globalmente non è un grafico: a ogni $x \in (-1,1)$ corrispondono due $y$. Ma a tratti sì: $y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ (semicirconferenze superiore e inferiore), oppure $x = \pm\sqrt{1 - y^2}$. Nei punti $(\pm1, 0)$ la tangente è verticale e non si può scrivere come grafico $y = g(x)$ (ma sì come $x = h(y)$).
2. $x^2 + y^2 = 0$: l'insieme è il solo punto $(0,0)$; nessuna funzione.
3. $x^2 + y^2 + 1 = 0$: insieme vuoto.
4. $x^2 - y^2 = 0$, cioè $y = \pm x$: due rette che si incrociano nell'origine. Vicino a $(0,0)$ per ogni $x \ne 0$ ci sono due valori di $y$: non è un grafico, né di $y = g(x)$ né di $x = h(y)$.
5. $x^2 - y^3 = 0$, cioè $y = x^{2/3}$: è il grafico di una funzione, ma con una cuspide in $(0,0)$ ($g'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ non esiste in $0$), quindi $g \notin C^1$.

Nei casi 2, 4 e 5 il gradiente di $f$ si annulla proprio nel punto problematico: $\nabla f(0,0) = (0,0)$. Questa è la pista giusta.

2. Che cosa serve: la derivata prima

Supponiamo che esista una $g \in C^1(I)$ con $g(x_0) = y_0$ e $f(x, g(x)) = 0$ su $I$. Derivando l'identità rispetto a $x$ con la regola della catena: $$0 = \frac{d}{dx} f(x, g(x)) = f_x(x, g(x)) + f_y(x, g(x))\,g'(x).$$ Se $f_y \ne 0$ si può isolare $$g'(x) = -\frac{f_x(x, g(x))}{f_y(x, g(x))}.$$ Quindi, in $(x_0, y_0)$, per poter ricavare $g'(x_0)$ serve $f_y(x_0, y_0) \ne 0$. Il teorema di Dini dice che questa condizione necessaria per il calcolo è anche sufficiente per l'esistenza.

3. Il teorema di Dini in $\mathbb{R}^2$

Teorema (Dini, o delle funzioni implicite). Sia $A \subseteq \mathbb{R}^2$ aperto, $f \in C^1(A)$, $(x_0, y_0) \in A$ con $$f(x_0, y_0) = 0 \qquad \text{e} \qquad f_y(x_0, y_0) \ne 0.$$ Allora esistono un intervallo aperto $I \ni x_0$ e una unica funzione $g : I \to \mathbb{R}$ (con valori in un opportuno intorno di $y_0$) tali che $g(x_0) = y_0$ e $f(x, g(x)) = 0$ per ogni $x \in I$. Inoltre $g \in C^1(I)$ e $$g'(x) = -\frac{f_x(x, g(x))}{f_y(x, g(x))} \qquad (x \in I). \qquad \text{(FDI)}$$ Se $f \in C^k(A)$, allora $g \in C^k(I)$.

Versione simmetrica. Se $f(x_0,y_0) = 0$ e $f_x(x_0,y_0) \ne 0$, esiste una unica $x = h(y)$ definita vicino a $y_0$, di classe $C^1$, con $h'(y) = -\frac{f_y}{f_x}$.

In sintesi: il teorema si applica in tutti i punti non critici di $L_0$, cioè quelli con $f = 0$ e $\nabla f \ne \mathbf{0}$: in ciascuno almeno una delle due derivate parziali è non nulla, quindi vicino al punto la curva di livello è il grafico di una funzione $C^1$ di $x$ o di $y$.

Esempio. La circonferenza $f = x^2 + y^2 - 1$ ha $\nabla f = (2x, 2y)$, nullo solo nell'origine che non sta sulla curva. Quindi tutti i punti sono non critici. Dove $y \ne 0$ ($f_y = 2y \ne 0$) si esplicita $y = g(x)$ con $g' = -\frac{x}{y}$; dove $x \ne 0$ si esplicita $x = h(y)$ con $h' = -\frac{y}{x}$.

Idea dell'esistenza e unicità (la dimostrazione completa non è richiesta). Sia $f_y(x_0,y_0) > 0$. Per continuità di $f_y$ esiste un rettangolo $[x_0 - a, x_0 + a] \times [y_0 - b, y_0 + b]$ in cui $f_y > 0$: per ogni $x$ fissato, $y \mapsto f(x,y)$ è strettamente crescente. Poiché $f(x_0, y_0 - b) < 0 < f(x_0, y_0 + b)$, per continuità lo stesso segno vale in $f(x, y_0 \mp b)$ per $x$ vicino a $x_0$. Allora, per il teorema degli zeri e la stretta monotonia, per ogni $x$ vicino a $x_0$ c'è un solo $y$ con $f(x,y) = 0$: è $g(x)$. Questo spiega perché la tesi è locale e perché l'unicità è solo nell'intorno.

Dimostrazione della formula FDI e della regolarità (D). Si assume, come nel teorema, l'esistenza di una $g$ continua con $f(x, g(x)) = 0$ su $I$ (abbozzata sopra).

1. Derivabilità e formula. Fissiamo $x \in I$, $y = g(x)$, e un incremento $k \ne 0$ piccolo; sia $\ell = g(x + k) - g(x)$. Poiché $f$ è differenziabile ($C^1$) e $f(x+k, y+\ell) = f(x,y) = 0$, $$0 = f_x(x,y)\,k + f_y(x,y)\,\ell + \varepsilon(k,\ell)\sqrt{k^2 + \ell^2}, \qquad \varepsilon \to 0 \text{ per } (k,\ell) \to (0,0).$$ Per continuità di $g$, $\ell \to 0$ quando $k \to 0$, quindi $\varepsilon \to 0$. Dividendo per $k$ e usando $\sqrt{k^2 + \ell^2} \le |k| + |\ell|$ si ottiene $$\left| f_x + f_y\,\frac{\ell}{k}\right| \le |\varepsilon|\left(1 + \left|\frac{\ell}{k}\right|\right).$$ Poiché $f_y(x,y) \ne 0$, questa disuguaglianza forza il rapporto $\frac{\ell}{k}$ a restare limitato e poi a convergere a $-\frac{f_x}{f_y}$: quindi $g$ è derivabile in $x$ e vale (FDI). (Se si sa già che $g$ è derivabile basta derivare l'identità $f(x,g(x)) \equiv 0$ con la regola della catena, $f_x + f_y\,g' = 0$, e dividere per $f_y \ne 0$.)
2. Regolarità $C^1$. Il secondo membro di (FDI), $-f_x(x,g(x))/f_y(x,g(x))$, è continuo in $x$ perché $f_x$, $f_y$ sono continue, $g$ è continua e $f_y \ne 0$ su $I$ (permanenza del segno, riducendo $I$ se serve). Quindi $g'$ è continua. $\blacksquare$

4. Come si usa

4.1 Retta tangente alla curva

Se valgono le ipotesi in $(x_0, y_0)$, la retta tangente al grafico $y = g(x)$ è $y = y_0 + g'(x_0)(x - x_0)$. Sostituendo $g'(x_0) = -\frac{f_x}{f_y}$ e moltiplicando per $f_y$: $$f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0) = 0,$$ cioè la retta passa per $(x_0,y_0)$ ed è ortogonale al gradiente $\nabla f(x_0,y_0)$ (come ci si aspetta: il gradiente è perpendicolare alle curve di livello). Questa forma vale anche dove $f_y = 0$ e $f_x \ne 0$ (tangente verticale).

4.2 Derivata seconda

Se $f \in C^2$, derivando ancora l'identità $f_x + f_y\,g' = 0$ rispetto a $x$ (ogni derivata parziale va derivata con la regola della catena): $$0 = \underbrace{(f_{xx} + f_{xy}g')}_{\frac{d}{dx}f_x} + \underbrace{(f_{yx} + f_{yy}g')}_{\frac{d}{dx}f_y}\,g' + f_y\,g''.$$ Usando $f_{xy} = f_{yx}$ (Schwarz) e isolando $g''$: $$\boxed{\,g''(x_0) = -\,\frac{f_{xx} + 2f_{xy}\,g' + f_{yy}\,(g')^2}{f_y}\,\Bigg|_{(x_0,y_0)}\,}$$ con $g' = g'(x_0)$. Si può anche derivare direttamente l'identità senza ricordare la formula, e questo è spesso più sicuro.

Esempio completo. Sia $f(x,y) = x^2 + y^3 - xy - 3$ e $(x_0,y_0) = (2,1)$.

• $f(2,1) = 4 + 1 - 2 - 3 = 0$: il punto sta sulla curva.
• $f_y = 3y^2 - x$, $f_y(2,1) = 1 \ne 0$; $f \in C^\infty$: Dini si applica, esiste una sola $y = g(x)$ vicino a $x = 2$ con $g(2) = 1$.
• $f_x = 2x - y$, $f_x(2,1) = 3$, quindi $g'(2) = -\frac{3}{1} = -3$.
• Retta tangente: $y = 1 - 3(x - 2) = -3x + 7$.
• Derivate seconde: $f_{xx} = 2$, $f_{xy} = -1$, $f_{yy} = 6y = 6$. Allora $g''(2) = -\frac{2 + 2(-1)(-3) + 6\cdot 9}{1} = -(2 + 6 + 54) = -62$.
• Taylor al secondo ordine: $g(x) = 1 - 3(x - 2) - 31\,(x-2)^2 + o\big((x-2)^2\big)$ per $x \to 2$.

4.3 Punti stazionari della funzione implicita

Se in un punto della curva $f_x(x_0,y_0) = 0$ e $f_y \ne 0$, allora $g'(x_0) = 0$: la funzione implicita ha un punto stazionario. Per la sua natura si guarda il segno di $g''(x_0)$, che in questo caso (con $g' = 0$) diventa $$g''(x_0) = -\frac{f_{xx}(x_0,y_0)}{f_y(x_0,y_0)}.$$ Se $g'' > 0$ è un minimo relativo, se $g'' < 0$ un massimo relativo.

Esempio. Sulla circonferenza $x^2 + y^2 = 1$ nel punto $(0,1)$: $f_x = 0$, $f_y = 2$, $f_{xx} = 2$, $g'' = -\frac{2}{2} = -1 < 0$: massimo (in effetti $y = \sqrt{1 - x^2}$ ha massimo in $x = 0$).

5. Dove Dini non si applica

Se in un punto di $L_0$ si ha $\nabla f = \mathbf{0}$ (punto critico dell'insieme di livello, detto anche singolare) il teorema non dice nulla, e la curva può comportarsi male: punto isolato, incrocio, cuspide (esempi 2, 4, 5 del paragrafo 1). Nei punti non critici, invece, la curva è liscia. Per trovare i punti in cui $y$ non è esplicitabile come funzione di $x$ si risolve il sistema $$f(x,y) = 0, \qquad f_y(x,y) = 0.$$ Se in più si ha $f_x \ne 0$ in quei punti, la curva ha lì tangente verticale ed è esplicitabile come $x = h(y)$.

6. Errori da evitare

• Scambiare numeratore e denominatore o dimenticare il segno meno in $g' = -f_x/f_y$.
• Dimenticare di verificare $f(x_0,y_0) = 0$: il punto deve stare sulla curva.
• Credere il risultato globale: $g$ esiste solo in un intorno di $x_0$.
• Derivare $f$ rispetto a $y$ senza ricordare che $y = g(x)$ quando si deriva per la seconda volta: ogni $y$ va trattato come $g(x)$, con $g'$ in uscita.

Esercizi svolti: Esercizio - Funzione implicita, Taylor e punti di non esplicitabilità (esercizio 13) e Esercizio - Limite, punto stazionario e minimo di una funzione implicita (esercizi 14, 15 e 16).

Domande d'esame

1. Enunciare il teorema di Dini in $\mathbb{R}^2$ e dimostrare la formula per la derivata della funzione implicita. Traccia. Ipotesi: $f \in C^1$, $f(x_0,y_0) = 0$, $f_y(x_0,y_0) \ne 0$; tesi: esiste unica $g \in C^1$ con $g(x_0) = y_0$ e $f(x,g(x)) = 0$; $g' = -f_x/f_y$. Dimostrazione: si deriva l'identità $f(x,g(x)) = 0$ con la regola della catena e si divide per $f_y \ne 0$.
2. Scrivere la retta tangente a una curva di livello $f(x,y) = 0$ in un punto dove $\nabla f \ne \mathbf{0}$ e spiegare il legame con il gradiente. Traccia. $f_x(x_0,y_0)(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)(y - y_0) = 0$: ortogonale al gradiente.
3. Che cosa succede alla curva $x^2 - y^3 = 0$ nell'origine? Perché non si può applicare Dini? Traccia. $\nabla f(0,0) = (0,0)$; la curva è $y = x^{2/3}$ con cuspide, $g \notin C^1$.