Teoria: Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costantiUn sistema lineare y' = A(t)y + g(t) con coefficienti continui ha, per ogni dato iniziale, una e una sola soluzione, definita su tutto l'intervallo (D). Le soluzioni del sistema omogeneo formano uno spazio vettoriale di dimensione n (D); quelle del sistema completo sono una soluzione particolare più l'integrale omogeneo (D). Per y'' + by' + cy = 0 si cercano e^(λt): tre casi (D). Un sistema 2×2 a coefficienti costanti si riduce a u'' − (tr A)u' + (det A)u = g, risolta con il metodo di somiglianza.Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti → .
Testo
Determinare l'integrale generale dei sistemi
(a) { u ′ = u + 2 v v ′ = 5 u − 2 v (b) { u ′ = − 2 u − v v ′ = u − 2 v . \text{(a)}\ \begin{cases}u'=u+2v\\ v'=5u-2v\end{cases}\qquad\qquad\text{(b)}\ \begin{cases}u'=-2u-v\\ v'=u-2v.\end{cases} (a) { u ′ = u + 2 v v ′ = 5 u − 2 v (b) { u ′ = − 2 u − v v ′ = u − 2 v .
Soluzione
(a)
Matrice. A = ( 1 2 5 − 2 ) A=\begin{pmatrix}1&2\\5&-2\end{pmatrix} A = ( 1 5 2 − 2 ) a 12 = 2 ≠ 0 a_{12}=2\ne0 a 12 = 2 = 0 tr A = − 1 \operatorname{tr}A=-1 tr A = − 1 det A = − 2 − 10 = − 12 \det A=-2-10=-12 det A = − 2 − 10 = − 12
Riduzione. Si pone w = u + 2 v w=u+2v w = u + 2 v u ′ = w u'=w u ′ = w v = w − u 2 v=\frac{w-u}2 v = 2 w − u w ′ = u ′ + 2 v ′ = w + 2 ( 5 u − 2 v ) = w + 10 u − 2 ( w − u ) = 12 u − w , w'=u'+2v'=w+2(5u-2v)=w+10u-2(w-u)=12u-w, w ′ = u ′ + 2 v ′ = w + 2 ( 5 u − 2 v ) = w + 10 u − 2 ( w − u ) = 12 u − w , u ′ ′ = 12 u − u ′ u''=12u-u' u ′′ = 12 u − u ′ u ′ ′ + u ′ − 12 u = 0 u''+u'-12u=0 u ′′ + u ′ − 12 u = 0 u ′ ′ − ( tr A ) u ′ + ( det A ) u = 0 u''-(\operatorname{tr}A)u'+(\det A)u=0 u ′′ − ( tr A ) u ′ + ( det A ) u = 0
Equazione caratteristica. λ 2 + λ − 12 = 0 \lambda^2+\lambda-12=0 λ 2 + λ − 12 = 0 λ = − 1 ± 1 + 48 2 = − 1 ± 7 2 \lambda=\frac{-1\pm\sqrt{1+48}}2=\frac{-1\pm7}2 λ = 2 − 1 ± 1 + 48 = 2 − 1 ± 7 λ 1 = 3 \lambda_1=3 λ 1 = 3 λ 2 = − 4 \lambda_2=-4 λ 2 = − 4 u ( t ) = α 1 e 3 t + α 2 e − 4 t . u(t)=\alpha_1e^{3t}+\alpha_2e^{-4t}. u ( t ) = α 1 e 3 t + α 2 e − 4 t . Ricavo di v v v Da w = u ′ = u + 2 v w=u'=u+2v w = u ′ = u + 2 v v = u ′ − u 2 v=\frac{u'-u}{2} v = 2 u ′ − u u ′ = 3 α 1 e 3 t − 4 α 2 e − 4 t u'=3\alpha_1e^{3t}-4\alpha_2e^{-4t} u ′ = 3 α 1 e 3 t − 4 α 2 e − 4 t u ′ − u = 2 α 1 e 3 t − 5 α 2 e − 4 t u'-u=2\alpha_1e^{3t}-5\alpha_2e^{-4t} u ′ − u = 2 α 1 e 3 t − 5 α 2 e − 4 t v ( t ) = α 1 e 3 t − 5 2 α 2 e − 4 t . v(t)=\alpha_1e^{3t}-\tfrac52\alpha_2e^{-4t}. v ( t ) = α 1 e 3 t − 2 5 α 2 e − 4 t . ( u v ) = α 1 e 3 t ( 1 1 ) + α 2 e − 4 t ( 1 − 5 2 ) \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}=\alpha_1e^{3t}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\alpha_2e^{-4t}\begin{pmatrix}1\\-\frac52\end{pmatrix} ( u v ) = α 1 e 3 t ( 1 1 ) + α 2 e − 4 t ( 1 − 2 5 ) A ( 1 1 ) = 3 ( 1 1 ) A\binom11=3\binom11 A ( 1 1 ) = 3 ( 1 1 ) A ( 2 − 5 ) = − 4 ( 2 − 5 ) A\binom{2}{-5}=-4\binom2{-5} A ( − 5 2 ) = − 4 ( − 5 2 )
(b)
Matrice. A = ( − 2 − 1 1 − 2 ) A=\begin{pmatrix}-2&-1\\1&-2\end{pmatrix} A = ( − 2 1 − 1 − 2 ) a 12 = − 1 ≠ 0 a_{12}=-1\ne0 a 12 = − 1 = 0 tr A = − 4 \operatorname{tr}A=-4 tr A = − 4 det A = 4 + 1 = 5 \det A=4+1=5 det A = 4 + 1 = 5 u u u u ′ ′ + 4 u ′ + 5 u = 0 u''+4u'+5u=0 u ′′ + 4 u ′ + 5 u = 0
Equazione caratteristica. λ 2 + 4 λ + 5 = 0 \lambda^2+4\lambda+5=0 λ 2 + 4 λ + 5 = 0 λ = − 4 ± 16 − 20 2 = − 2 ± i \lambda=\frac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2}=-2\pm i λ = 2 − 4 ± 16 − 20 = − 2 ± i μ = − 2 \mu=-2 μ = − 2 ω = 1 \omega=1 ω = 1 u ( t ) = e − 2 t ( c 1 cos t + c 2 sin t ) . u(t)=e^{-2t}(c_1\cos t+c_2\sin t). u ( t ) = e − 2 t ( c 1 cos t + c 2 sin t ) . Ricavo di v v v Dalla prima equazione u ′ = − 2 u − v u'=-2u-v u ′ = − 2 u − v v = − u ′ − 2 u = − ( u ′ + 2 u ) v=-u'-2u=-(u'+2u) v = − u ′ − 2 u = − ( u ′ + 2 u ) u ′ + 2 u = e − 2 t ( − c 1 sin t + c 2 cos t ) u'+2u=e^{-2t}(-c_1\sin t+c_2\cos t) u ′ + 2 u = e − 2 t ( − c 1 sin t + c 2 cos t ) − 2 e − 2 t ( … ) -2e^{-2t}(\dots) − 2 e − 2 t ( … ) 2 u 2u 2 u v ( t ) = e − 2 t ( c 1 sin t − c 2 cos t ) . v(t)=e^{-2t}(c_1\sin t-c_2\cos t). v ( t ) = e − 2 t ( c 1 sin t − c 2 cos t ) . ( u v ) = c 1 e − 2 t ( cos t sin t ) + c 2 e − 2 t ( sin t − cos t ) \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}=c_1e^{-2t}\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}+c_2e^{-2t}\begin{pmatrix}\sin t\\-\cos t\end{pmatrix} ( u v ) = c 1 e − 2 t ( cos t sin t ) + c 2 e − 2 t ( sin t − cos t ) Re λ = − 2 < 0 \operatorname{Re}\lambda=-2<0 Re λ = − 2 < 0
Controllo. Sympy restituisce lo stesso integrale generale per entrambi i sistemi (a meno di rinominare le costanti).
Versione ripasso
Testo. (a) u ′ = u + 2 v u'=u+2v u ′ = u + 2 v v ′ = 5 u − 2 v v'=5u-2v v ′ = 5 u − 2 v u ′ = − 2 u − v u'=-2u-v u ′ = − 2 u − v v ′ = u − 2 v v'=u-2v v ′ = u − 2 v
Passaggi (Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costantiUn sistema lineare y' = A(t)y + g(t) con coefficienti continui ha, per ogni dato iniziale, una e una sola soluzione, definita su tutto l'intervallo (D). Le soluzioni del sistema omogeneo formano uno spazio vettoriale di dimensione n (D); quelle del sistema completo sono una soluzione particolare più l'integrale omogeneo (D). Per y'' + by' + cy = 0 si cercano e^(λt): tre casi (D). Un sistema 2×2 a coefficienti costanti si riduce a u'' − (tr A)u' + (det A)u = g, risolta con il metodo di somiglianza.Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti → ).
(a) tr A = − 1 \operatorname{tr}A=-1 tr A = − 1 det A = − 12 \det A=-12 det A = − 12 u ′ ′ + u ′ − 12 u = 0 u''+u'-12u=0 u ′′ + u ′ − 12 u = 0 λ = 3 , − 4 \lambda=3,-4 λ = 3 , − 4 u = α 1 e 3 t + α 2 e − 4 t u=\alpha_1e^{3t}+\alpha_2e^{-4t} u = α 1 e 3 t + α 2 e − 4 t v = u ′ − u 2 = α 1 e 3 t − 5 2 α 2 e − 4 t v=\frac{u'-u}2=\alpha_1e^{3t}-\frac52\alpha_2e^{-4t} v = 2 u ′ − u = α 1 e 3 t − 2 5 α 2 e − 4 t
(b) tr A = − 4 \operatorname{tr}A=-4 tr A = − 4 det A = 5 \det A=5 det A = 5 u ′ ′ + 4 u ′ + 5 u = 0 u''+4u'+5u=0 u ′′ + 4 u ′ + 5 u = 0 λ = − 2 ± i \lambda=-2\pm i λ = − 2 ± i u = e − 2 t ( c 1 cos t + c 2 sin t ) u=e^{-2t}(c_1\cos t+c_2\sin t) u = e − 2 t ( c 1 cos t + c 2 sin t ) v = − u ′ − 2 u = e − 2 t ( c 1 sin t − c 2 cos t ) v=-u'-2u=e^{-2t}(c_1\sin t-c_2\cos t) v = − u ′ − 2 u = e − 2 t ( c 1 sin t − c 2 cos t )
Errori tipici. Ricavare v v v v = ( u ′ − a 11 u ) / a 12 v=(u'-a_{11}u)/a_{12} v = ( u ′ − a 11 u ) / a 12 v v v