Esercizio - sistema forzato, risonanza e soluzioni periodiche (lezione 34)

Teoria: Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costantiUn sistema lineare y' = A(t)y + g(t) con coefficienti continui ha, per ogni dato iniziale, una e una sola soluzione, definita su tutto l'intervallo (D). Le soluzioni del sistema omogeneo formano uno spazio vettoriale di dimensione n (D); quelle del sistema completo sono una soluzione particolare più l'integrale omogeneo (D). Per y'' + by' + cy = 0 si cercano e^(λt): tre casi (D). Un sistema 2×2 a coefficienti costanti si riduce a u'' − (tr A)u' + (det A)u = g, risolta con il metodo di somiglianza.Sistemi lineari ed equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti →, Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2In un sistema autonomo y' = f(y) le soluzioni sono invarianti per traslazioni nel tempo (D) e le orbite nel piano delle fasi non si intersecano (D). Un equilibrio (f(P) = 0) è stabile se le soluzioni vicine restano vicine, asintoticamente stabile se inoltre convergono a P, instabile altrimenti. Per y' = Ay (2×2, det A ≠ 0) l'origine è asintoticamente stabile se e solo se entrambi gli autovalori hanno parte reale negativa, cioè tr A < 0 e det A > 0; i tipi sono nodo, sella, fuoco, centro.Stabilità degli equilibri dei sistemi autonomi 2x2 →.

Testo

Per $a>0$ si consideri $$\begin{cases}x'=-y\\ y'=x+\sin(at).\end{cases}$$ (Q1) Per quali $a$ tutte le soluzioni sono limitate su $\mathbb{R}$? Per quali esiste almeno una soluzione limitata? (Q2) Per quali $a$ tutte le soluzioni sono periodiche? Per quali ne esiste almeno una? (Q3) Calcolare l'integrale generale al variare di $a$.

Soluzione

Riduzione. Da $x'=-y$ segue $y=-x'$ e $y'=-x''$. Sostituendo nella seconda equazione: $-x''=x+\sin(at)$, cioè $$x''+x=-\sin(at).$$ Omogenea. $\lambda^2+1=0$, $\lambda=\pm i$: $x_{\text{om}}=\alpha\cos t+\beta\sin t$ (periodo $2\pi$).

Forzante. Il termine noto $-\sin(at)$ ha $\gamma=0$, $\omega=a$: il numero associato è $ia$, che è radice caratteristica se e solo se $a=1$ (risonanza). Si distinguono due casi.

Caso $a\ne1$

Particolare. $\tilde x=A\cos at+B\sin at$ dà $\tilde x''+\tilde x=A(1-a^2)\cos at+B(1-a^2)\sin at=-\sin at$, quindi $A=0$ e $B=\dfrac1{a^2-1}$ (infatti $B(1-a^2)=-1$). L'integrale generale è $$x(t)=\alpha\cos t+\beta\sin t+\frac{\sin at}{a^2-1},\qquad y(t)=-x'(t)=\alpha\sin t-\beta\cos t-\frac{a\cos at}{a^2-1}.$$ (Q3 per $a\ne1$.)

Q1. Le soluzioni sono somme di seni e coseni: tutte limitate, quindi anche "almeno una".

Q2. La soluzione con $\alpha=\beta=0$, $x=\frac{\sin at}{a^2-1}$, è periodica di periodo $2\pi/a$: esiste almeno una soluzione periodica. In generale una soluzione è somma di una funzione di periodo $T_1=2\pi$ e di una di periodo $T_2=2\pi/a$; la somma è periodica se e solo se $T_1/T_2=a$ è razionale (se $a=m/n$, il numero $T=nT_1=mT_2$ è un periodo comune). Se $a$ è irrazionale e $(\alpha,\beta)\ne(0,0)$ la soluzione non è periodica. Quindi tutte le soluzioni sono periodiche se e solo se $a\in\mathbb{Q}$ (con $a\ne1$).

Caso $a=1$ (risonanza)

Particolare. $\tilde x=t(A\cos t+B\sin t)=tz(t)$ con $z=A\cos t+B\sin t$. Poiché $z''+z=0$, $\tilde x''+\tilde x=2z'+t(z''+z)=2z'=-2A\sin t+2B\cos t$. Imponendo $=-\sin t$: $A=\tfrac12$, $B=0$. Quindi $\tilde x=\tfrac t2\cos t$ e $$x(t)=\alpha\cos t+\beta\sin t+\frac t2\cos t,\qquad y(t)=-x'=\alpha\sin t-\beta\cos t-\frac12\cos t+\frac t2\sin t .$$ Q1. L'ampiezza $\tfrac t2$ del termine secolare cresce linearmente: nessuna soluzione è limitata. Q2. Nessuna soluzione è periodica (il fattore $t$ lo impedisce).

Riepilogo.

Controllo. Con sympy, $x''+x+\sin at$ è nullo per $x=\alpha\cos t+\frac{\sin at}{a^2-1}$ e per $x=\frac t2\cos t$ ($a=1$).