Esercizio - ellisse come insieme di livello e integrale curvilineo (appello 13 febbraio 2026)

Teoria: Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerziaL'integrale curvilineo di prima specie di f lungo una curva C^1 è ∫_γ f ds = ∫_a^b f(r(t)) |r'(t)| dt, dove ds = |r'(t)|dt è l'elemento d'arco. Con f = 1 dà la lunghezza; con f ≥ 0 l'area di una parete verticale alta f lungo la curva; con f = densità la massa. Non dipende dalla parametrizzazione né dal verso di percorrenza (D). Baricentro x_b = (1/M)∫ x μ ds; momento d'inerzia I = ∫ δ² μ ds con δ distanza dall'asse.Integrali curvilinei di prima specie, baricentri e momenti d'inerzia →, Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettorialiUna curva è una funzione continua r : [a,b] → R^m; il sostegno è la sua immagine. Limiti, continuità e derivate si fanno componente per componente. La curva è regolare se r è C^1 e r'(t) ≠ 0 ovunque: allora r'(t) è il vettore tangente e la retta tangente è r(t0) + λ r'(t0). Esempi: circonferenza, segmento, grafico (t, f(t)), curve polari (f(θ)cosθ, f(θ)sinθ) regolari se f' ≠ 0 dove f = 0, elica, cuspide (t²,t³). L'integrale di r si fa per componenti; vale ∫ r' = r(b) − r(a) e ‖∫ r‖ ≤ ∫ ‖r‖.Curve parametriche, vettore tangente e integrali di funzioni vettoriali →.

Testo. Si consideri la curva $\gamma : [0, 2\pi] \to \mathbb{R}^2$, $\gamma(t) = (2\sin t,\ \cos t)$. (a) Stabilire se è semplice, se è chiusa, se è regolare. (b) Scrivere il sostegno di $\gamma$ come insieme di livello di una funzione $G : \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ e disegnarlo. (c) Sia $f(x,y) = \dfrac{1}{\sqrt{4y^2 + \frac{x^2}{4}}}$. Calcolare $\displaystyle\int_\gamma f\,ds$.

(Fonte: esercizio 2 dell'appello del 13 febbraio 2026, corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD; qui si riportano le parti (a), (b), (c); le parti sul campo $F$ sono in Campi vettoriali, lavoro e forme differenzialiUn campo vettoriale assegna un vettore a ogni punto; la forma differenziale ω = F₁dx + F₂dy + F₃dz è lo stesso oggetto scritto come "covettore". Il lavoro (integrale curvilineo di seconda specie) è ∫ F(r(t))·r'(t) dt: è lineare, additivo sul cammino, cambia segno se si inverte il verso e non cambia se si riparametrizza con lo stesso verso. Si lega all'integrale di prima specie con ∫ F·T ds.Campi vettoriali, lavoro e forme differenziali →.)

Soluzione

(a)

• Chiusa. $\gamma(0) = (0, 1)$ e $\gamma(2\pi) = (0, 1)$: sì.
• Semplice. Se $\gamma(t_1) = \gamma(t_2)$ allora $\sin t_1 = \sin t_2$ e $\cos t_1 = \cos t_2$. Due angoli con stesso seno e stesso coseno differiscono per un multiplo di $2\pi$; in $[0,2\pi)$ questo impone $t_1 = t_2$. L'unica coincidenza è $\gamma(0) = \gamma(2\pi)$, ammessa. Dunque semplice.
• Regolare. $\gamma' = (2\cos t, -\sin t)$, $|\gamma'|^2 = 4\cos^2t + \sin^2t = 1 + 3\cos^2t \ge 1 > 0$. Regolare.

(b)

Da $x = 2\sin t$, $y = \cos t$: $\sin t = \frac x2$, $\cos t = y$, e $\sin^2t + \cos^2t = 1$ dà $$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1 .$$ Con $G(x,y) = \dfrac{x^2}{4} + y^2$ il sostegno è l'insieme di livello $\{G = 1\}$ (equivalentemente $x^2+4y^2 = 4$ a livello $4$). È l'ellisse con semiasse $2$ lungo $x$ e semiasse $1$ lungo $y$. Il punto parte da $(0,1)$ per $t=0$, passa per $(2,0)$ per $t = \frac\pi2$, $(0,-1)$ per $t = \pi$, $(-2,0)$ per $t = \frac{3\pi}2$: percorrenza oraria.

(c)

Si valuta $f$ sulla curva: $4y^2 + \frac{x^2}{4} = 4\cos^2t + \frac{4\sin^2t}{4} = 4\cos^2t + \sin^2t$, quindi $$f(\gamma(t)) = \frac1{\sqrt{4\cos^2t+\sin^2t}} .$$ La velocità scalare è $|\gamma'(t)| = \sqrt{4\cos^2t+\sin^2t}$: sono la stessa radice, e nel prodotto si semplificano: $$\int_\gamma f\,ds = \int_0^{2\pi}f(\gamma(t))\,|\gamma'(t)|\,dt = \int_0^{2\pi}1\,dt = \boxed{2\pi}.$$ Il risultato si legge anche come: la funzione $f$ è fatta apposta per avere "altezza $=1/$velocità", così la parete ha area pari alla durata del percorso.

Errori tipici. In (b) dimenticare di verificare che l'equazione dà tutta l'ellisse (qui sì: $t\in[0,2\pi]$ copre ogni angolo); in (c) calcolare $\int f(\gamma(t))\,dt$ senza il fattore $|\gamma'|$ e restare con un integrale non elementare.