Esercizio - circuitazione lungo un'ellisse con Gauss-Green (foglio 6, esercizio 9; Esercizi 2025-26, n. 52)

Teoria: Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel pianoPer un dominio D del piano con bordo orientato positivamente (D "a sinistra"), ∬ f_y = −∮ f dx e ∬ f_x = ∮ f dy. Se ne ricavano: l'area come ∮ x dy = −∮ y dx = ½∮(x dy − y dx); la formula di Stokes nel piano ∬ (F₂ₓ − F₁ᵧ) dxdy = ∮ F₁dx + F₂dy (flusso del rotore = circuitazione); l'invarianza della circuitazione di un campo irrotazionale tra curve che circondano lo stesso buco.Formule di Gauss-Green e teorema di Stokes nel piano →.

Testo

Calcolare la circuitazione del campo $\mathbf{F}(x,y)=(y^2,\ x^2+y^2)$, cioè l'integrale della forma $y^2\,dx+(x^2+y^2)\,dy$, lungo l'ellisse $x^2+\dfrac{y^2}4=1$ orientata positivamente (in senso antiorario), percorsa una sola volta, sia direttamente sia con la formula di Gauss-Green.

Soluzione

Metodo 1: calcolo diretto

Parametrizzazione. L'ellisse ha semiassi $1$ ($x$) e $2$ ($y$): $x=\cos t$, $y=2\sin t$, $t\in[0,2\pi]$ (antioraria). Allora $dx=-\sin t\,dt$ e $dy=2\cos t\,dt$.

Sostituzione. $$y^2\,dx+(x^2+y^2)\,dy=4\sin^2t\,(-\sin t)\,dt+(\cos^2t+4\sin^2t)\,2\cos t\,dt=\bigl(-4\sin^3t+2\cos^3t+8\sin^2t\cos t\bigr)\,dt .$$ Integrale. Su $[0,2\pi]$:

• $\int\sin^3t\,dt=0$ (si scrive $\sin^3t=(1-\cos^2t)\sin t$, primitiva $-\cos t+\tfrac{\cos^3t}3$, che prende lo stesso valore in $0$ e $2\pi$);
• $\int\cos^3t\,dt=0$ (analogo);
• $\int\sin^2t\cos t\,dt=\left[\tfrac{\sin^3t}3\right]_0^{2\pi}=0$.

La circuitazione è $0$.

Metodo 2: Gauss-Green

Per la formula di Stokes nel piano con $D$ la regione ellittica interna, $$\oint_{\partial^+D}\omega=\iint_D\left(\partial_xF_2-\partial_yF_1\right)dx\,dy=\iint_D(2x-2y)\,dx\,dy .$$ Il dominio $D=\{x^2+\tfrac{y^2}4\le1\}$ è simmetrico rispetto all'asse $y$ (cambiando $x\to-x$ resta uguale) e rispetto all'asse $x$ ($y\to-y$); le funzioni $x$ e $y$ sono dispari rispetto a una di queste simmetrie, quindi $\iint_Dx=0$ e $\iint_Dy=0$. Il risultato è $0$, in accordo col calcolo diretto.

Risultato. La circuitazione vale $0$. Il campo non è conservativo ($\partial_xF_2\ne\partial_yF_1$), ma la sua circuitazione sull'ellisse centrata nell'origine è comunque nulla per motivi di simmetria.