Esercizio - Inversione dell'ordine di integrazione e volume fra superfici (esercizi 33 e 38)

Teoria: Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzioneL'integrale doppio ∬_R f su un rettangolo è il limite delle somme di Cauchy-Riemann Σ |I_hk| f(P_hk); per f ≥ 0 è il volume del cilindroide. Le funzioni continue sono integrabili. Formule di riduzione (Fubini): su R = [a,b]×[c,d] ∬ = ∫_c^d(∫_a^b f dx)dy = ∫_a^b(∫_c^d f dy)dx; per f = g(x)h(y) il prodotto di due integrali. Su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)} (D): ∬ = ∫a^b(∫{g₁}^{g₂} f dy)dx, simmetricamente per i domini x-semplici; domini regolari = unioni finite di semplici, f continua è integrabile. Area |Ω| = ∬ 1; insiemi di area nulla (punti, segmenti, grafici di funzioni continue); f limitata con discontinuità su area nulla è integrabile. Proprietà: linearità, monotonia, additività; teorema della media integrale (D). Baricentro e momenti d'inerzia di una lamina.Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzione →. Fonte: raccolta di esercizi di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD 2025-26, esercizi 33 e 38; la parte (b) è un classico di inversione dell'ordine.

Testo

• (a) (Esercizio 38) Sia $A = \{-1\le x\le1,\ 0\le y\le x^2\}$. Calcolare $\displaystyle\iint_A(x^2+y^2)\,dx\,dy$.
• (b) Calcolare $\displaystyle\int_0^1\left(\int_x^1\frac{\sin y}y\,dy\right)dx$.
• (c) (Esercizio 33) Calcolare il volume del solido compreso fra le superfici di equazioni $y = x^2$, $x = y^2$, $z = 0$, $z = y - x^2 + 12$.

Soluzione

(a) Dominio $y$-semplice

$A$ è la regione sotto la parabola $y = x^2$ sopra l'asse $x$, per $x\in[-1,1]$: è $y$-semplice con $g_1 = 0$, $g_2 = x^2$. $$\iint_A(x^2+y^2) = \int_{-1}^1\left(\int_0^{x^2}(x^2+y^2)\,dy\right)dx = \int_{-1}^1\left(x^2\cdot x^2+\frac{x^6}3\right)dx = \int_{-1}^1\left(x^4+\frac{x^6}3\right)dx.$$ L'integranda è pari: $2\left[\frac{x^5}5+\frac{x^7}{21}\right]_0^1 = 2\left(\frac15+\frac1{21}\right) = 2\cdot\frac{26}{105} = \frac{52}{105}$.

(b) Inversione dell'ordine

Come scritto, l'integrale interno è $\int_x^1\frac{\sin y}{y}\,dy$: la funzione $\frac{\sin y}y$ non ha primitiva elementare, quindi non si può procedere. Si riconosce nell'integrale iterato il dominio $$\Omega = \{0\le x\le1,\ x\le y\le1\},$$ il triangolo di vertici $(0,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$ (sopra la bisettrice $y=x$, sotto la retta $y=1$). Letto come $x$-semplice: $y$ varia fra $0$ e $1$ e, per ogni $y$, $x$ va da $0$ a $y$: $$\Omega = \{0\le y\le1,\ 0\le x\le y\}.$$ Allora $$\int_0^1\left(\int_0^y\frac{\sin y}y\,dx\right)dy = \int_0^1\frac{\sin y}{y}\cdot y\,dy = \int_0^1\sin y\,dy = 1-\cos1\approx0{,}460.$$ (Il fattore $\frac{\sin y}y$ non dipende da $x$, e $\int_0^yd x = y$ semplifica il denominatore.)

(c) Volume del solido

La base. Le curve $y = x^2$ e $x = y^2$ (cioè $y=\sqrt x$ per $y\ge0$) si incontrano per $x^2 = \sqrt x$, cioè $x^4 = x$: $x = 0$ e $x = 1$, nei punti $(0,0)$ e $(1,1)$. Fra $0$ e $1$ la parabola $y=\sqrt x$ sta sopra $y=x^2$: la base è $$\Omega = \{0\le x\le1,\ x^2\le y\le\sqrt x\}.$$ Le quote. Il solido sta fra il piano $z=0$ e la superficie $z = y-x^2+12$, che su $\Omega$ è positiva (qui $y\ge x^2$, quindi $y-x^2\ge0$ e $z\ge12$). Il volume è l'integrale della quota superiore: $$V = \iint_\Omega(y-x^2+12)\,dx\,dy = \int_0^1\left[\frac{y^2}2-x^2y+12y\right]_{y=x^2}^{y=\sqrt x}dx.$$ Calcolo delle differenze (con $y=\sqrt x$ e $y=x^2$):

• $\frac{y^2}2$: $\frac x2-\frac{x^4}2$;
• $-x^2y$: $-x^{5/2}+x^4$;
• $12y$: $12\sqrt x-12x^2$. Integrando su $[0,1]$ ciascun termine: $\frac14-\frac1{10}-\frac27+\frac15+8-4$. Mettendo tutto a denominatore $140$: $$V = 4+\frac{35-14-40+28}{140} = 4+\frac9{140} = \frac{569}{140}\approx4{,}064.$$

Controllo con l'altro ordine (dominio $x$-semplice: $0\le y\le1$, $y^2\le x\le\sqrt y$): $\int_0^1\int_{y^2}^{\sqrt y}(y-x^2+12)\,dx\,dy$ dà lo stesso valore $\frac{569}{140}$ (verificato anche con il calcolo simbolico).

Nota sulla fonte. La raccolta di esercizi del corso riporta come risultato $\frac{597}{140}$. Ricalcolando in entrambi gli ordini si ottiene però $\frac{569}{140}$: sembra un'inversione di due cifre nel risultato stampato (il valore stampato è maggiore di $\frac15$). Il procedimento qui sopra è quello da seguire; in caso di dubbio, controllare il risultato numerico con una stima: l'area di $\Omega$ è $\frac13$ e la quota media è un po' più grande di $12$, per cui $V\approx4$.

Errori tipici

• In (b), calcolare comunque la primitiva di $\frac{\sin y}y$: non esiste in forma elementare, bisogna invertire l'ordine.
• In (c), mettere i limiti nell'ordine sbagliato: fra le due curve, la funzione maggiore va in alto ($\sqrt x\ge x^2$ su $[0,1]$).
• Dimenticare che il volume è l'integrale della differenza fra la quota superiore e quella inferiore (qui la quota inferiore è $0$).