Esercizio - Integrali generalizzati, gaussiana e potenze (lezione 22)

Teoria: Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussianaCambiando coordinate (x,y) = T(u,v), con T diffeomorfismo C¹ tra D' e D, ∬D f(x,y)dxdy = ∬{D'} f(T(u,v)) |det DT(u,v)| dudv: il fattore |det DT| è la dilatazione locale delle aree (per le trasformazioni lineari è |det M|, dimostrato col prodotto vettoriale). Polari: x = x₀ + ρcosθ, y = y₀ + ρsinθ, dxdy = ρ dρdθ; area di un settore di corona ½(R₂² − R₁²)Δθ; disco x² + y² ≤ 2ax: ρ ≤ 2a cosθ. Coordinate ellittiche x = aρcosθ, y = bρsinθ, dxdy = abρ dρdθ (area dell'ellisse πab). Simmetrie: D simmetrico rispetto all'asse y, f dispari in x ⇒ ∬ = 0 (D), f pari ⇒ ∬ = 2∬_{x≥0}. Integrali generalizzati di f ≥ 0 continua su R²: limite su una successione invadente, indipendente dalla successione; gaussiana (D): ∬ e^{−(x²+y²)/2} = 2π, quindi ∫_R e^{−x²/2}dx = √(2π).Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussiana →. Fonte: lezione 22 di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD (integrale di Gauss); le parti (c) e (d) sono esempi dello stesso metodo.

Testo

• (a) Calcolare $\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+y^2)/2}\,dx\,dy$ e dedurne $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}dx$.
• (b) Calcolare $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}dt$ e $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/(2\sigma^2)}dx$ con $\sigma>0$.
• (c) Calcolare $\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+4y^2)}\,dx\,dy$.
• (d) Per quali $\beta>0$ esiste $\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2}\frac{dx\,dy}{(1+x^2+y^2)^\beta}$? Calcolarlo.

Soluzione

(a) Gaussiana

L'integranda è continua e positiva: l'integrale generalizzato esiste come limite crescente su una successione invadente, e non dipende dalla successione. Con i dischi $D_j=\{x^2+y^2\le j^2\}$ e le polari: $$\iint_{D_j}e^{-\rho^2/2} = \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^je^{-\rho^2/2}\rho\,d\rho = 2\pi\Big[-e^{-\rho^2/2}\Big]_0^j = 2\pi\left(1-e^{-j^2/2}\right)\to2\pi.$$ Con i quadrati $[-j,j]^2$ lo stesso limite si scrive, per la separazione delle variabili, come $\left(\int_{-j}^je^{-x^2/2}dx\right)^2$. Quindi $\left(\int_{\mathbb{R}}e^{-x^2/2}dx\right)^2 = 2\pi$ e (integrale positivo) $$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2/2}dx = \sqrt{2\pi}.$$

(b) Cambi di scala

Con $x=\sqrt2\,t$ ($dx=\sqrt2\,dt$): $\int_{\mathbb{R}}e^{-t^2}dt = \frac1{\sqrt2}\int_{\mathbb{R}}e^{-x^2/2}dx = \frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt2}=\sqrt\pi$. Con $x=\sigma s$ ($dx=\sigma\,ds$): $\int_{\mathbb{R}}e^{-x^2/(2\sigma^2)}dx = \sigma\int_{\mathbb{R}}e^{-s^2/2}ds = \sigma\sqrt{2\pi}$. Dunque $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/(2\sigma^2)}$ ha integrale $1$: è la densità della variabile normale di media $0$ e deviazione standard $\sigma$.

(c) Gaussiana su un'ellisse

Con $x=u$, $y=\frac v2$: la matrice è $\operatorname{diag}(1,\frac12)$, $|\det|=\frac12$, e $x^2+4y^2 = u^2+v^2$. Perciò $$\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(x^2+4y^2)}dx\,dy = \frac12\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-(u^2+v^2)}du\,dv = \frac12\left(\int_{\mathbb{R}}e^{-t^2}dt\right)^2 = \frac12\pi = \frac\pi2.$$ (Alternativa: le variabili sono già separate, $\int e^{-x^2}dx\cdot\int e^{-4y^2}dy = \sqrt\pi\cdot\frac{\sqrt\pi}2 = \frac\pi2$, con $\int e^{-4y^2}dy = \frac12\int e^{-s^2}ds$.)

(d) Quando esiste

L'integranda è continua e positiva e radiale. Con i dischi $D_R=\{\rho\le R\}$ e le polari: $$\iint_{D_R}\frac{dx\,dy}{(1+x^2+y^2)^\beta} = 2\pi\int_0^R\frac{\rho}{(1+\rho^2)^\beta}d\rho = 2\pi\cdot\frac{1}{2}\int_1^{1+R^2}s^{-\beta}ds\qquad(s=1+\rho^2).$$

• Se $\beta\ne1$: $\pi\,\dfrac{(1+R^2)^{1-\beta}-1}{1-\beta}$. Per $R\to\infty$ il limite è finito se e solo se $1-\beta<0$, cioè $\beta>1$, e vale $\dfrac{\pi}{\beta-1}$.
• Se $\beta=1$: $\pi\ln(1+R^2)\to+\infty$. Quindi l'integrale esiste se e solo se $\beta>1$, con valore $\dfrac{\pi}{\beta-1}$ (per $\beta=2$: $\pi$).

Errori tipici

• Dimenticare il fattore $\rho$ dell'elemento d'area in polari: senza di esso l'integrale $\int_0^\infty e^{-\rho^2/2}d\rho$ non porta al risultato.
• In (c), usare $\det=2$ invece di $\frac12$: con $y=\frac v2$ è $dy=\frac12dv$.
• Concludere che l'integrale esiste perché l'integranda "va a zero": in (d), per $\beta\le1$ l'integranda tende a $0$ ma l'integrale diverge.