Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzione

L'integrale di una funzione di una variabile misura l'area sotto un grafico. L'integrale doppio misura il volume sotto il grafico di una funzione di due variabili, e più in generale somma una quantità distribuita su una regione del piano: massa, carica, area, momento d'inerzia. Si calcola riconducendolo a due integrali semplici in successione. Prerequisiti: l'integrale di Riemann in una variabile (Integrale definito di RiemannL'integrale definito di f limitata su [a,b] è il limite delle somme di Cauchy-Riemann (somme di aree di rettangoli), se esiste finito e uguale per ogni scelta dei punti; equivale a sup delle somme inferiori = inf delle somme superiori. Se f ≥ 0 è l'area del trapezoide, in generale area sopra l'asse meno area sotto. Sono integrabili le funzioni continue, monotone, continue a tratti; la funzione di Dirichlet no.Integrale definito di Riemann →), le tecniche di integrazione (Integrazione per parti∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx (regola del prodotto letta al contrario). Si usa per log x, arcsin x, arctan x (scritti come "funzione per 1"), per sin²x, cos²x, sinh²x, cosh²x (integrale circolare: l'integrale di partenza ricompare e si porta a sinistra) e per prodotti come x^n·e^(αx), x^n·sin(βx), e^(αx)·sin(βx).Integrazione per parti →, Integrazione per sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione →) e il teorema di Weierstrass in più variabili (Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeriDato E ⊆ R^n, ogni punto è interno, esterno o di frontiera (partizione). E è aperto se E = interno, chiuso se il complementare è aperto (equivalentemente contiene la frontiera, o contiene i limiti delle sue successioni). Palle aperte e insiemi {f<c} con f continua sono aperti; {f≤c}, {f=c} chiusi. Compatto = chiuso e limitato. Weierstrass: f continua su un compatto ha massimo e minimo; vale anche su un chiuso illimitato se f→+∞ (minimo) o f→−∞ (massimo) all'infinito. Connesso per archi + f continua con segni opposti ⇒ f si annulla (teorema degli zeri).Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeri →).

1. L'integrale doppio su un rettangolo

Richiamo in una variabile. Se $f$ è limitata su $[a,b]$, si divide l'intervallo in $n$ parti uguali di ampiezza $\frac{b-a}{n}$, si sceglie un punto $t_k$ in ogni parte e si forma la somma di Cauchy-Riemann $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{b-a}{n}f(t_k)$. Se $S_n$ ha limite finito, indipendente dalla scelta dei $t_k$, quel limite è $\int_a^b f$.

In due variabili. Sia $R = [a,b]\times[c,d]$ un rettangolo chiuso e $f : R \to \mathbb{R}$ limitata.

1. Si divide $[a,b]$ in $n$ parti con i punti $x_h = a + \frac hn(b-a)$ e $[c,d]$ in $n$ parti con $y_k = c + \frac kn(d-c)$.
2. Il rettangolo $R$ resta diviso in $n^2$ rettangolini $I_{hk} = [x_{h-1}, x_h]\times[y_{k-1}, y_k]$ di area $|I_{hk}| = \frac{b-a}{n}\cdot\frac{d-c}{n}$.
3. In ciascun $I_{hk}$ si sceglie un punto $P_{hk}$ e si forma la somma $$S_n = \sum_{h,k=1}^n |I_{hk}|\,f(P_{hk}).$$

Definizione (integrale doppio su un rettangolo). $f$ è integrabile (secondo Riemann) su $R$ se $\lim_{n\to\infty}S_n$ esiste finito e non dipende dalla scelta dei punti $P_{hk}$. In tal caso $$\iint_R f(x,y)\,dx\,dy = \lim_{n\to\infty}S_n.$$

Significato geometrico. Se $f \ge 0$, ogni termine $|I_{hk}|f(P_{hk})$ è il volume di una colonnina (parallelepipedo) di base $I_{hk}$ e altezza $f(P_{hk})$, e $S_n$ approssima il volume del cilindroide $$C = \{(x,y,z) : (x,y)\in R,\ 0\le z\le f(x,y)\}.$$ Quindi $\iint_R f = \operatorname{Vol}(C)$.

Esempio (funzione costante). Se $f \equiv k$, ogni $S_n = k\sum|I_{hk}| = k\,(b-a)(d-c)$, quindi $\iint_R k\,dx\,dy = k\,|R|$: il volume di un parallelepipedo è area di base per altezza.

Teorema (integrabilità). Se $f$ è continua su un rettangolo chiuso $R$, allora $f$ è integrabile su $R$.

(La dimostrazione usa la continuità uniforme sui compatti. La continuità è sufficiente, non necessaria: esistono anche funzioni discontinue integrabili e funzioni limitate non integrabili, come la funzione di Dirichlet in due variabili.)

2. Formule di riduzione sui rettangoli

Per $f \ge 0$ continua si può calcolare il volume del cilindroide per fette. Si taglia il solido con il piano ortogonale all'asse $y$ nel punto $y$: la sezione è la regione sotto la curva $x \mapsto f(x,y)$, di area $\psi(y) = \int_a^b f(x,y)\,dx$. Un'affettatura di spessore $dy$ ha volume $\psi(y)\,dy$, e sommando le fette: $$\operatorname{Vol}(C) = \int_c^d\psi(y)\,dy = \int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy.$$

Teorema (Fubini sui rettangoli). Se $f \in C(R)$, $R = [a,b]\times[c,d]$, $$\iint_R f\,dx\,dy = \int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy = \int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx.$$

Si calcola l'integrale interno trattando l'altra variabile come una costante (parametro), poi si integra il risultato (una funzione continua della sola variabile rimasta). Le due scelte di ordine danno lo stesso numero: si sceglie quella che rende i conti più semplici.

Esempio. $\displaystyle I = \iint_{[0,1]\times[0,2]}\frac{1}{1+x+y}\,dx\,dy$. La funzione non è definita sulla retta $x+y = -1$, che non incontra il rettangolo (lì $1+x+y \ge 1$): è continua su $R$. Si integra prima in $y$: $$\int_0^2\frac{dy}{1+x+y} = \Big[\ln(1+x+y)\Big]_{y=0}^{y=2} = \ln(3+x) - \ln(1+x).$$ Poi, per parti ($\int\ln u\,dx = x\ln u - \int\frac{x}{u}dx$ con $u = 3 + x$ o $u = 1 + x$) e usando $\frac{x}{3+x} = 1 - \frac{3}{3+x}$, $\frac{x}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}$: $$I = \int_0^1[\ln(3+x) - \ln(1+x)]\,dx = 3\ln\frac43 \approx 0{,}863.$$ (Nell'altro ordine si ottiene lo stesso risultato.)

Funzioni a variabili separate. Se $f(x,y) = g(x)\,h(y)$ con $g \in C[a,b]$, $h\in C[c,d]$, allora $$\iint_{[a,b]\times[c,d]}g(x)h(y)\,dx\,dy = \left(\int_a^b g\right)\left(\int_c^d h\right).$$

Infatti l'integrale interno in $y$ di $g(x)h(y)$ è $g(x)\int_c^d h$, e la costante $\int_c^d h$ esce dall'integrale in $x$. Esempio. $\iint_{[0,2]\times[-1,0]}\cos x\,e^y\,dx\,dy = \sin 2\cdot(1 - e^{-1})$.

3. Domini generali: domini semplici e regolari

Il rettangolo è un dominio troppo comodo. Per un insieme limitato $\Omega$ qualunque si sceglie un rettangolo $R\supseteq\Omega$ e si estende $f$ con il valore $0$ fuori da $\Omega$: $$\tilde f(x,y) = \begin{cases} f(x,y) & (x,y)\in\Omega \\ 0 & (x,y)\in R\setminus\Omega\end{cases}.$$

Definizione. $f$ è integrabile su $\Omega$ se $\tilde f$ è integrabile su $R$, e si pone $\displaystyle\iint_\Omega f = \iint_R\tilde f$.

Anche se $f$ è continua su $\Omega$, $\tilde f$ in generale non lo è (salta a $0$ attraversando la frontiera), e se la frontiera è troppo irregolare può non essere integrabile. Servono domini "buoni".

Definizione (dominio $y$-semplice, o normale rispetto all'asse $x$). Esistono $[a,b]$ e $g_1, g_2\in C[a,b]$ con $g_1\le g_2$ tali che $$\Omega = \{(x,y) : a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\}.$$ Dominio $x$-semplice (normale rispetto all'asse $y$): $\Omega = \{(x,y) : c\le y\le d,\ h_1(y)\le x\le h_2(y)\}$ con $h_1\le h_2$ continue. Dominio regolare: unione finita di domini semplici.

In un dominio $y$-semplice le rette verticali $x = \text{cost}$ lo tagliano in un unico segmento (da $g_1$ a $g_2$); in un $x$-semplice sono le rette orizzontali a farlo. Un insieme regolare è chiuso e limitato.

Esempi. Il disco chiuso di centro $(\bar x, \bar y)$ e raggio $r$ è $y$-semplice, con $x\in[\bar x - r, \bar x + r]$ e $y = \bar y\pm\sqrt{r^2 - (x-\bar x)^2}$, ed è anche $x$-semplice. Un'ellisse inclinata non è semplice ma si divide in quattro pezzi semplici: è regolare. Una corona circolare si divide con un taglio.

Teorema (integrabilità). Se $\Omega$ è un dominio regolare e $f \in C(\Omega)$, allora $f$ è integrabile su $\Omega$.

3.1 Il teorema di riduzione

Teorema (formule di riduzione). Sia $f\in C(\Omega)$.

• Se $\Omega = \{a\le x\le b,\ g_1(x)\le y\le g_2(x)\}$ è $y$-semplice: $$\iint_\Omega f\,dx\,dy = \int_a^b\left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\right)dx.$$
• Se $\Omega = \{c\le y\le d,\ h_1(y)\le x\le h_2(y)\}$ è $x$-semplice: $$\iint_\Omega f\,dx\,dy = \int_c^d\left(\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f(x,y)\,dx\right)dy.$$

Dimostrazione (D, caso $y$-semplice).

1. Poiché $g_1, g_2$ sono continue su $[a,b]$, per Weierstrass hanno minimo e massimo. Scegliamo $c\le\min g_1$ e $d\ge\max g_2$: il rettangolo $R = [a,b]\times[c,d]$ contiene $\Omega$.
2. Per definizione $\iint_\Omega f = \iint_R\tilde f$, e per Fubini sui rettangoli (applicato all'estensione) $\iint_R\tilde f = \int_a^b\left(\int_c^d\tilde f(x,y)\,dy\right)dx$.
3. Fissiamo $x\in[a,b]$ e spezziamo l'integrale interno: $\int_c^d\tilde f\,dy = \int_c^{g_1(x)} + \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} + \int_{g_2(x)}^d$. Per $y<g_1(x)$ e per $y>g_2(x)$ il punto $(x,y)$ è fuori da $\Omega$, quindi $\tilde f = 0$ e il primo e il terzo integrale sono nulli; per $g_1(x)\le y\le g_2(x)$ vale $\tilde f = f$.
4. Dunque $\int_c^d\tilde f(x,y)\,dy = \int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy$ e, sostituendo, la tesi. $\blacksquare$ (La Fubini sul rettangolo qui è usata anche per funzioni $\tilde f$ non continue: vale lo stesso, purché gli integrali esistano.)

3.2 Come si imposta un integrale doppio

1. Disegnare il dominio e trovare i punti di intersezione fra le curve che lo delimitano (si risolvono i sistemi).
2. Scegliere se vederlo come $y$-semplice ($x$ fra due numeri, $y$ fra due funzioni di $x$) o $x$-semplice. Se nessuno dei due va bene, dividere il dominio in pezzi semplici (additività).
3. Scrivere le limitazioni e calcolare l'integrale interno e poi l'esterno.
4. Scegliere l'ordine in funzione del dominio e dell'integranda: se una descrizione richiede un solo pezzo e l'altra due, conviene la prima; se l'integranda non ha primitiva elementare in una delle due variabili ($\cos x^3$, $e^{x^2}$, $\frac{\sin y}y$), si inverte l'ordine.

Esempio (dominio fra due curve). $\displaystyle I = \iint_\Omega\frac{x}{x^2+y^2}\,dx\,dy$ con $\Omega = \{1\le x\le 2,\ 0\le y\le x^2\}$. L'integranda è continua su $\Omega$ (l'origine, dove il denominatore si annulla, non c'è), e $\Omega$ è $y$-semplice: $$I = \int_1^2\left(\int_0^{x^2}\frac{x}{x^2+y^2}\,dy\right)dx.$$ Integrale interno: con $t = y/x$ ($dy = x\,dt$, $t$ da $0$ a $x$), $\int_0^{x^2}\frac{x\,dy}{x^2+y^2} = \int_0^x\frac{dt}{1+t^2} = \arctan x$. Poi, per parti, $$I = \int_1^2\arctan x\,dx = \Big[x\arctan x\Big]_1^2 - \int_1^2\frac{x}{1+x^2}dx = 2\arctan 2 - \frac\pi4 - \frac12\ln\frac52 \approx 0{,}971.$$

Esempio (dominio fra due parabole). $\displaystyle\iint_\Omega xy\,dx\,dy$, con $\Omega$ la regione limitata fra $y = x^2/4$ e $y^2 = 4x$. Le curve si incontrano risolvendo $x^4/16 = 4x$, cioè $x(x^3 - 64) = 0$: nei punti $(0,0)$ e $(4,4)$. Per $0\le x\le 4$ il bordo inferiore è $y = x^2/4$ e il superiore $y = 2\sqrt x$ (da $y^2=4x$): $$I = \int_0^4\left(\int_{x^2/4}^{2\sqrt x}xy\,dy\right)dx = \int_0^4 x\cdot\frac12\left(4x - \frac{x^4}{16}\right)dx = \frac12\left[\frac{4x^3}{3} - \frac{x^6}{96}\right]_0^4 = \frac{64}{3}.$$

Esempio (inversione dell'ordine). $\Omega = \{0\le y\le 1,\ \sqrt y\le x\le 1\}$ ($x$-semplice) e $I = \iint_\Omega\cos(x^3)\,dx\,dy$. Integrando prima in $x$ non si trova una primitiva elementare di $\cos(x^3)$. Si rilegge $\Omega$ come $y$-semplice: $0\le x\le 1$, $0\le y\le x^2$ (da $x\ge\sqrt y$ segue $y\le x^2$), e $$I = \int_0^1\left(\int_0^{x^2}\cos(x^3)\,dy\right)dx = \int_0^1x^2\cos(x^3)\,dx = \frac{\sin 1}{3}\approx 0{,}280.$$

4. Area, misurabilità, insiemi di area nulla

Definizione (area). Un insieme limitato $\Omega$ è misurabile (secondo Peano-Jordan) se la funzione costante $1$ è integrabile su $\Omega$, e la sua area (misura bidimensionale) è $$|\Omega| = \iint_\Omega 1\,dx\,dy.$$

Interpretazione: il cilindroide di altezza $1$ ha volume $|\Omega|\cdot1$. Ogni dominio semplice o regolare è misurabile (la costante $1$ è continua). Esempio: l'area di $\{-1\le x\le 1,\ x^2\le y\le 1\}$ è $\int_{-1}^1(1-x^2)\,dx = \frac43$.

Esempi di insiemi di area nulla: un punto (o finiti punti), un segmento, il grafico di una funzione continua $y = g(x)$ su $[a,b]$, l'unione finita di insiemi di area nulla. In particolare le curve $C^1$ a tratti hanno area nulla.

Teorema. Se $\Omega$ è misurabile, $f$ è limitata su $\Omega$ e continua tranne che su un insieme di area nulla, allora $f$ è integrabile.

Esempio 1. $f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ per $(x,y)\ne(0,0)$, $f(0,0) = 0$, sul disco unitario. L'unico punto di discontinuità è l'origine (area nulla). Inoltre $f$ è limitata: da $(|x|-|y|)^2\ge0$ si ha $x^2+y^2\ge2|xy|$ e $|f|\le\frac12$. Quindi è integrabile.

Esempio 2. Una funzione definita a tratti, uguale a $e^{xy}$ sotto una curva e a $\cos x\cos y$ sopra, nel quadrato $[0,1]^2$: i due pezzi sono continui e gli eventuali salti stanno sulla curva di separazione (unione di un segmento e di un arco, area nulla). Le funzioni sono limitate: l'integrale esiste.

5. Proprietà dell'integrale

Per $f, g$ integrabili su un dominio misurabile $\Omega$ e $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$:

• Linearità: $\iint(\alpha f+\beta g) = \alpha\iint f+\beta\iint g$.
• Monotonia rispetto alla funzione: $f\le g$ su $\Omega$ $\Rightarrow$ $\iint_\Omega f\le\iint_\Omega g$. In particolare $\left|\iint f\right|\le\iint|f|$ e, se $m\le f\le M$, $m|\Omega|\le\iint f\le M|\Omega|$.
• Monotonia rispetto al dominio: se $f\ge0$ e $\Omega_1\subseteq\Omega_2$ allora $\iint_{\Omega_1}f\le\iint_{\Omega_2}f$.
• Additività: se $\Omega = \Omega_1\cup\Omega_2$ con $\Omega_1\cap\Omega_2$ di area nulla, $\iint_\Omega f = \iint_{\Omega_1}f+\iint_{\Omega_2}f$. (Serve per dividere un dominio in pezzi semplici.)

5.1 Media integrale

Definizione (media integrale). Se $|\Omega|\ne0$, la media integrale di $f$ su $\Omega$ è $m = \frac{1}{|\Omega|}\iint_\Omega f$.

Teorema (della media integrale). Se $\Omega$ è un dominio regolare connesso e $f\in C(\Omega)$, esiste $(x_0,y_0)\in\Omega$ con $$f(x_0,y_0) = \frac{1}{|\Omega|}\iint_\Omega f\,dx\,dy.$$

Dimostrazione (D).

1. $\Omega$ regolare è compatto: per Weierstrass $f$ ha minimo $m_0$ e massimo $M$ su $\Omega$, con $m_0\le f\le M$.
2. Integrando e usando la monotonia: $m_0|\Omega|\le\iint f\le M|\Omega|$, cioè $m_0\le m\le M$ dividendo per $|\Omega|>0$.
3. Se $m = m_0$ o $m = M$, il punto cercato è il punto di minimo o massimo. Se $m_0<m<M$, la funzione continua $f-m$ assume in un punto di minimo un valore $<0$ e in un punto di massimo un valore $>0$; poiché $\Omega$ è connesso, per il teorema degli zeri (Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeriDato E ⊆ R^n, ogni punto è interno, esterno o di frontiera (partizione). E è aperto se E = interno, chiuso se il complementare è aperto (equivalentemente contiene la frontiera, o contiene i limiti delle sue successioni). Palle aperte e insiemi {f<c} con f continua sono aperti; {f≤c}, {f=c} chiusi. Compatto = chiuso e limitato. Weierstrass: f continua su un compatto ha massimo e minimo; vale anche su un chiuso illimitato se f→+∞ (minimo) o f→−∞ (massimo) all'infinito. Connesso per archi + f continua con segni opposti ⇒ f si annulla (teorema degli zeri).Topologia di Rn, teorema di Weierstrass e teorema degli zeri →) si annulla in qualche punto $(x_0,y_0)$, cioè $f(x_0,y_0) = m$. $\blacksquare$

6. Baricentro e momenti d'inerzia

Una lamina piana $D$ con densità superficiale $\mu(x,y)\ge0$ ha $$M = \iint_D\mu\,dx\,dy\ (\text{massa}),\qquad x_B = \frac1M\iint_Dx\,\mu\,dx\,dy,\qquad y_B = \frac1M\iint_Dy\,\mu\,dx\,dy.$$ Se $\mu\equiv1$ si parla di centroide e $M = |D|$. Il momento d'inerzia rispetto a una retta $r$ è $I_r = \iint_D\delta(x,y)^2\mu\,dx\,dy$, con $\delta$ la distanza dalla retta (rispetto all'asse $y$: $\delta = |x|$).

Esempio. $D = \{-1\le x\le1,\ x^2\le y\le1\}$, $\mu\equiv1$. $|D| = \frac43$. Per simmetria rispetto all'asse $y$, $x_B = 0$ (l'integranda $x$ è dispari). $\iint_Dy = \int_{-1}^1\frac{1-x^4}2dx = \frac45$, quindi $y_B = \frac{4/5}{4/3} = \frac35$: centroide $\left(0,\frac35\right)$. Momento rispetto all'asse $y$: $I_y = \iint_Dx^2 = \int_{-1}^1x^2(1-x^2)dx = \frac4{15}$.

Simmetrie. Se $D$ è simmetrico rispetto all'asse $y$ e $f$ è dispari in $x$, $\iint_Df = 0$; se $f$ è pari, $\iint_Df = 2\iint_{D\cap\{x\ge0\}}f$ (dimostrazione in Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussianaCambiando coordinate (x,y) = T(u,v), con T diffeomorfismo C¹ tra D' e D, ∬D f(x,y)dxdy = ∬{D'} f(T(u,v)) |det DT(u,v)| dudv: il fattore |det DT| è la dilatazione locale delle aree (per le trasformazioni lineari è |det M|, dimostrato col prodotto vettoriale). Polari: x = x₀ + ρcosθ, y = y₀ + ρsinθ, dxdy = ρ dρdθ; area di un settore di corona ½(R₂² − R₁²)Δθ; disco x² + y² ≤ 2ax: ρ ≤ 2a cosθ. Coordinate ellittiche x = aρcosθ, y = bρsinθ, dxdy = abρ dρdθ (area dell'ellisse πab). Simmetrie: D simmetrico rispetto all'asse y, f dispari in x ⇒ ∬ = 0 (D), f pari ⇒ ∬ = 2∬_{x≥0}. Integrali generalizzati di f ≥ 0 continua su R²: limite su una successione invadente, indipendente dalla successione; gaussiana (D): ∬ e^{−(x²+y²)/2} = 2π, quindi ∫_R e^{−x²/2}dx = √(2π).Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussiana →). Questo semplifica molti calcoli di baricentri e di integrali.

7. Errori da evitare

• Estremi sbagliati: le variabili dei limiti interni dipendono dalla variabile esterna; i limiti dell'integrale esterno sono sempre numeri.
• Dominio non semplice: non forzare un'unica formula; dividere e usare l'additività.
• Inversione dell'ordine senza rileggere il dominio: nel disegno si ricostruiscono le nuove limitazioni.
• Dimenticare di verificare la continuità dell'integranda sul dominio (zeri del denominatore, domini del logaritmo).
• Segno dei risultati: se $f\ge0$ l'integrale è $\ge0$; un volume mai negativo.

Esercizi svolti: Esercizio - Integrale doppio su un dominio fra due curve (esercizio 31), Esercizio - Cilindroide su un settore circolare, baricentro e momento d'inerzia (lezione 19), Esercizio - Inversione dell'ordine di integrazione e volume fra superfici (esercizi 33 e 38).

Domande d'esame

1. Definire l'integrale doppio su un rettangolo e su un insieme limitato qualunque. Che cos'è un dominio $y$-semplice? Enunciare e dimostrare la formula di riduzione per un dominio $y$-semplice. Traccia. Somme di Cauchy-Riemann; estensione a zero; $\{a\le x\le b,\ g_1\le y\le g_2\}$; riduzione: Fubini sul rettangolo $R\supseteq\Omega$ e annullamento dell'estensione fuori dall'intervallo $[g_1(x),g_2(x)]$ (dimostrazione del paragrafo 3.1).
2. Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale. Traccia. Weierstrass $\Rightarrow$ $m_0\le m\le M$; teorema degli zeri su $f-m$, che richiede $\Omega$ connesso.
3. Che cos'è un insieme di area nulla? Quando una funzione con discontinuità è integrabile? Traccia. Punti, segmenti, grafici di funzioni continue, unioni finite; $f$ limitata e continua tranne che su un insieme di area nulla è integrabile.