Esercizio - Cilindroide su un settore circolare, baricentro e momento d'inerzia (lezione 19)

Teoria: Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzioneL'integrale doppio ∬_R f su un rettangolo è il limite delle somme di Cauchy-Riemann Σ |I_hk| f(P_hk); per f ≥ 0 è il volume del cilindroide. Le funzioni continue sono integrabili. Formule di riduzione (Fubini): su R = [a,b]×[c,d] ∬ = ∫_c^d(∫_a^b f dx)dy = ∫_a^b(∫c^d f dy)dx; per f = g(x)h(y) il prodotto di due integrali. Su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)} (D): ∬ = ∫a^b(∫{g₁}^{g₂} f dy)dx, simmetricamente per i domini x-semplici; domini regolari = unioni finite di semplici, f continua è integrabile. Area |Ω| = ∬ 1; insiemi di area nulla (punti, segmenti, grafici di funzioni continue); f limitata con discontinuità su area nulla è integrabile. Proprietà: linearità, monotonia, additività; teorema della media integrale (D). Baricentro e momenti d'inerzia di una lamina.Integrali doppi, domini semplici e formule di riduzione → (e, per il controllo in polari, Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussianaCambiando coordinate (x,y) = T(u,v), con T diffeomorfismo C¹ tra D' e D, ∬D f(x,y)dxdy = ∬{D'} f(T(u,v)) |det DT(u,v)| dudv: il fattore |det DT| è la dilatazione locale delle aree (per le trasformazioni lineari è |det M|, dimostrato col prodotto vettoriale). Polari: x = x₀ + ρcosθ, y = y₀ + ρsinθ, dxdy = ρ dρdθ; area di un settore di corona ½(R₂² − R₁²)Δθ; disco x² + y² ≤ 2ax: ρ ≤ 2a cosθ. Coordinate ellittiche x = aρcosθ, y = bρsinθ, dxdy = abρ dρdθ (area dell'ellisse πab). Simmetrie: D simmetrico rispetto all'asse y, f dispari in x ⇒ ∬ = 0 (D), f pari ⇒ ∬ = 2∬{x≥0}. Integrali generalizzati di f ≥ 0 continua su R²: limite su una successione invadente, indipendente dalla successione; gaussiana (D): ∬ e^{−(x²+y²)/2} = 2π, quindi ∫_R e^{−x²/2}dx = √(2π).Cambiamento di variabili negli integrali doppi, integrali generalizzati e gaussiana →). Fonte: lezione 19 di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD; i punti sul baricentro sono un'estensione dello stesso dominio.

Testo

Sia $\Omega = \left\{(x,y) : 0\le y\le\tfrac34x,\ x^2+y^2\le25\right\}$.

• (a) Calcolare il volume del cilindroide $C$ di base $\Omega$ associato a $f(x,y) = xy$.
• (b) Calcolare l'area di $\Omega$ e il suo centroide.
• (c) Calcolare i momenti d'inerzia di $\Omega$ (densità $1$) rispetto agli assi $x$ e $y$.

Soluzione

Il dominio

La retta $y = \frac34x$ incontra la circonferenza $x^2+y^2 = 25$ dove $x^2+\frac9{16}x^2 = 25$, cioè $x^2 = 16$: nel primo quadrante $x=4$, $y=3$. La circonferenza taglia l'asse $x$ in $(5,0)$. Il dominio è il settore circolare di raggio $5$ compreso fra l'asse $x$ e la retta per l'origine e $(4,3)$ (angolo $\theta_0$ con $\tan\theta_0 = \frac34$, cioè $\sin\theta_0 = \frac35$, $\cos\theta_0 = \frac45$).

(a) Volume

Poiché $f = xy\ge0$ su $\Omega$, il volume è $V = \iint_\Omega xy\,dx\,dy$.

Come dominio $x$-semplice. Per $y$ fissato in $[0,3]$ la $x$ va dalla retta ($x = \frac43y$) all'arco di circonferenza ($x = \sqrt{25-y^2}$): $$V = \int_0^3\left(\int_{4y/3}^{\sqrt{25-y^2}}xy\,dx\right)dy = \int_0^3\frac y2\left[25-y^2-\frac{16}9y^2\right]dy = \frac{25}2\int_0^3\left(y-\frac{y^3}9\right)dy.$$ (Si è usato $25-y^2-\frac{16}{9}y^2 = 25-\frac{25}{9}y^2$.) L'integrale vale $\left[\frac{y^2}2-\frac{y^4}{36}\right]_0^3 = \frac92-\frac94 = \frac94$, quindi $$V = \frac{25}2\cdot\frac94 = \frac{225}8 = 28{,}125.$$

Come dominio $y$-semplice (alternativa, più lunga). Serve spezzare $\Omega$ in due pezzi: per $0\le x\le4$ si ha $0\le y\le\frac34x$, per $4\le x\le5$ si ha $0\le y\le\sqrt{25-x^2}$ (oltre $x=4$ la retta non limita più, il bordo superiore è la circonferenza). Allora $$V = \int_0^4\frac x2\cdot\frac9{16}x^2\,dx+\int_4^5\frac x2(25-x^2)\,dx = \frac9{32}\cdot64+\frac12\left[\frac{25x^2}2-\frac{x^4}4\right]_4^5 = 18+\frac{81}8 = \frac{225}8.$$

Controllo in polari (vedi la nota sul cambiamento di variabili): $x=\rho\cos\theta$, $y=\rho\sin\theta$, $0\le\rho\le5$, $0\le\theta\le\theta_0$, elemento d'area $\rho\,d\rho\,d\theta$: $$V = \int_0^{\theta_0}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\int_0^5\rho^3d\rho = \frac{\sin^2\theta_0}2\cdot\frac{625}4 = \frac{9/25}{2}\cdot\frac{625}4 = \frac{225}8\ \checkmark$$

(b) Area e centroide

Area. Un settore di raggio $5$ e angolo $\theta_0$ ha area $\frac12\cdot25\cdot\theta_0$: $$|\Omega| = \frac{25}2\arctan\frac34\approx8{,}044.$$ (In polari: $\int_0^{\theta_0}d\theta\int_0^5\rho\,d\rho = \theta_0\cdot\frac{25}2$.)

Centroide. In polari: $$\iint_\Omega x = \int_0^{\theta_0}\cos\theta\,d\theta\int_0^5\rho^2d\rho = \sin\theta_0\cdot\frac{125}3 = \frac35\cdot\frac{125}3 = 25,$$ $$\iint_\Omega y = \int_0^{\theta_0}\sin\theta\,d\theta\int_0^5\rho^2d\rho = (1-\cos\theta_0)\cdot\frac{125}3 = \frac15\cdot\frac{125}3 = \frac{25}3.$$ Quindi $$x_B = \frac{25}{|\Omega|} = \frac{2}{\arctan(3/4)}\approx3{,}108,\qquad y_B = \frac{25/3}{|\Omega|} = \frac{2}{3\arctan(3/4)}\approx1{,}036.$$ Il centroide sta dentro il settore (controllo: $y_B/x_B = \frac13\le\frac34$ ✓).

(c) Momenti d'inerzia (densità 1)

Rispetto all'asse $y$ la distanza è $|x|$, rispetto all'asse $x$ è $|y|$. In polari, con $\sin2\theta_0 = 2\cdot\frac35\cdot\frac45 = \frac{24}{25}$: $$I_y = \iint_\Omega x^2 = \int_0^{\theta_0}\cos^2\theta\,d\theta\int_0^5\rho^3d\rho = \left(\frac{\theta_0}2+\frac{\sin2\theta_0}4\right)\frac{625}4 = \frac{625}8\theta_0+\frac{75}2\approx87{,}77,$$ $$I_x = \iint_\Omega y^2 = \left(\frac{\theta_0}2-\frac{\sin2\theta_0}4\right)\frac{625}4 = \frac{625}8\theta_0-\frac{75}2\approx12{,}77.$$ (Si è usato $\int\cos^2\theta\,d\theta = \frac\theta2+\frac{\sin2\theta}4$, Integrali di potenze di seno e cosenoPer ∫ cos^n x · sin^m x dx: se un esponente è dispari si stacca un fattore (sin x oppure cos x), il resto si scrive con l'altra funzione usando sin²+cos² = 1 e si sostituisce y = cos x (o y = sin x); se sono entrambi pari si usano le formule di bisezione cos²x = (1+cos 2x)/2, sin²x = (1−cos 2x)/2 per abbassare il grado.Integrali di potenze di seno e coseno →. La somma $I_x+I_y = \frac{625}{4}\theta_0$ è il momento d'inerzia rispetto all'origine, $\iint\rho^2$.)

Errori tipici

• Come $y$-semplice, usare l'unica descrizione $0\le y\le\frac34x$ per tutti gli $x\in[0,5]$: oltre $x=4$ il limite superiore è la circonferenza.
• Dimenticare che il volume del cilindroide richiede $f\ge0$ (qui $xy\ge0$ nel primo quadrante).