Esercizio - domini naturali di funzioni di due e tre variabili (foglio 2)

Teoria: Funzioni di più variabili, limiti e continuitàUna funzione scalare di n variabili f : A ⊆ R^n → R ha dominio naturale (dove la formula ha senso), grafico (superficie in R^{n+1}) e insiemi di livello {f = c}. Il limite in x0 (punto di accumulazione) si definisce con ε-δ o con le successioni (Heine); per negare l'esistenza si confrontano restrizioni a curve diverse (rette, parabole), per dimostrarla si maggiora |f − L| con g(ρ) → 0 indipendente da θ (coordinate polari) o si usano i due carabinieri. f è continua in x0 se lim = f(x0). I limiti iterati non bastano.Funzioni di più variabili, limiti e continuità →.

Testo. Determinare e disegnare il dominio naturale delle funzioni (a) $f(x,y) = \sqrt{y - e^x}$, (b) $f(x,y) = \ln(4 - x^2 - y^2) + \sqrt{x - y}$, (c) $f(x,y) = \dfrac{\sqrt{y - x^2}}{x^2 + y^2 - 1}$, (d) $f(x,y) = \sqrt{\dfrac{x - y}{x + y}}$, (e) $f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2 - 2x}$, (f) $f(x,y,z) = \ln(x^2 + y^2 - z^2)$.

(Fonte: esercizio 1 del foglio 2, corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD.)

Metodo

Si scrive una condizione per ogni "operazione pericolosa" (radice pari: radicando $\ge0$; logaritmo: argomento $>0$; frazione: denominatore $\ne0$) e si intersecano le regioni. Ogni disuguaglianza va tradotta in una regione del piano: attenzione al bordo, incluso se la disuguaglianza è larga, escluso se stretta.

Soluzioni

(a) $\sqrt{y - e^x}$

Serve $y - e^x\ge0$, cioè $y\ge e^x$: la regione sopra il grafico dell'esponenziale, grafico incluso.

(b) $\ln(4-x^2-y^2) + \sqrt{x-y}$

Le due condizioni sono $4-x^2-y^2>0$ (logaritmo: disco aperto di centro l'origine e raggio $2$) e $x-y\ge0$, cioè $y\le x$ (radice: semipiano sotto la bisettrice, retta inclusa). L'intersezione è il mezzo disco aperto $\{x^2+y^2<4,\ y\le x\}$: la circonferenza è esclusa, il diametro lungo $y=x$ è incluso.

(c) $\dfrac{\sqrt{y-x^2}}{x^2+y^2-1}$

Radicando: $y\ge x^2$ (sopra la parabola, parabola inclusa). Denominatore: $x^2+y^2\ne1$ (si toglie la circonferenza unitaria). La parabola $y=x^2$ e la circonferenza si incontrano dove $y+y^2=1$, cioè $y=\frac{\sqrt5-1}{2}\approx0.618$, $x=\pm\sqrt y\approx\pm0.786$. Quindi il dominio è la regione sopra la parabola privata dell'arco di circonferenza che la attraversa (il tratto di circonferenza con $y\ge x^2$, cioè quello sopra i due punti di intersezione).

(d) $\sqrt{\dfrac{x-y}{x+y}}$

Servono $x+y\ne0$ e $\frac{x-y}{x+y}\ge0$. Il segno di una frazione è il segno del prodotto: $(x-y)(x+y)\ge0$ con $x+y\ne0$, cioè $x^2-y^2\ge0$ escludendo la retta $y=-x$. In altre parole $|y|\le|x|$ con $y\ne-x$: i due settori "orizzontali" delimitati dalle bisettrici, con la bisettrice $y=x$ inclusa (lì la frazione vale $0$) e la bisettrice $y=-x$ (con l'origine) esclusa.

Verifica sui due settori: per $x>0$ la condizione è $x-y\ge0$ e $x+y>0$, cioè $-x<y\le x$; per $x<0$ è $x-y\le0$ e $x+y<0$, cioè $x\le y<-x$.

(e) $\sqrt{x^2+y^2-2x}$

$x^2+y^2-2x\ge0\iff(x-1)^2+y^2\ge1$: l'esterno del disco di centro $(1,0)$ e raggio $1$, circonferenza inclusa (si completa il quadrato: $x^2-2x=(x-1)^2-1$).

(f) $\ln(x^2+y^2-z^2)$ in $\mathbb{R}^3$

Serve $x^2+y^2>z^2$, cioè $\sqrt{x^2+y^2}>|z|$: la regione esterna al doppio cono $z^2=x^2+y^2$ (cono di asse $z$ e semiapertura $45^\circ$), cono escluso. Sezione con il piano $y=0$: $x^2>z^2$, i due settori $|x|>|z|$. Sezione con i piani orizzontali $z=c$: l'esterno del cerchio di raggio $|c|$ (per $c=0$, tutto il piano tranne l'origine).

Errori tipici. In (c) togliere solo la circonferenza e dimenticare la parabola (o viceversa); in (d) non escludere $x+y=0$ e semplificare $\frac{x-y}{x+y}$; in (b) includere la circonferenza (il logaritmo vuole l'argomento $>0$, non $\ge0$).