Esercizio - Solido di rotazione fra cono e iperboloide, volume e baricentro (appello 5 settembre 2023)

Teoria: Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazioneL'integrale triplo ∭_E f si definisce con somme di Cauchy-Riemann su parallelepipedi; per f = 1 è il volume, per f = densità la massa; baricentro e momenti d'inerzia come in dimensione 2. Riduzione per fili (E = {(x,y) ∈ D, h₁ ≤ z ≤ h₂}: ∭ = ∬D(∫{h₁}^{h₂} f dz)dxdy) e per strati (E = {a ≤ z ≤ b, (x,y) ∈ E_z}: ∭ = ∫a^b(∬{E_z} f dxdy)dz). Cambiamento di variabili con |det DT|; coordinate cilindriche (x,y,z) = (ρcosθ, ρsinθ, z), dxdydz = ρ dρdθdz; sferiche (ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ), φ ∈ [0,π] colatitudine, dxdydz = ρ²sinφ dρdφdθ; ellissoide di semiassi a,b,c ha volume (4/3)πabc. Solidi di rotazione: Pappo-Guldino (D), |R(A)| = θ̄·x_B·|A| (area di A per lunghezza dell'arco percorso dal baricentro).Integrali tripli, coordinate cilindriche e sferiche e solidi di rotazione → (integrazione per strati e Pappo-Guldino). Fonte: corso di Fondamenti di Analisi Matematica 2, Ing. Aerospaziale UniPD, quarto appello 2023 (la parte sul flusso è omessa).

Testo

Sia $$\Omega = \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : 5x^2\le y^2+z^2\le9+x^2,\ 0\le x\le\tfrac32\right\}.$$

• (a) Descrivere e disegnare $\Omega$.
• (b) Calcolare il volume di $\Omega$ e le coordinate del suo baricentro con l'integrazione per strati, e verificare il volume con Pappo-Guldino.

Soluzione

(a) Il solido

L'asse di simmetria è l'asse $x$: le condizioni dipendono da $y,z$ solo attraverso $\rho^2=y^2+z^2$ (distanza dall'asse $x$). Si lavora nel semipiano $(\rho,x)$ con $\rho\ge0$.

• $\rho^2=5x^2$, cioè $x=\frac{\rho}{\sqrt5}$: un cono con asse $x$ e vertice nell'origine.
• $\rho^2=9+x^2$, cioè $\rho^2-x^2=9$: un iperboloide a una falda con asse $x$ (gola di raggio $3$ nel piano $x=0$).
• Intersezione: $5x^2=9+x^2$, $4x^2=9$, $x=\frac32$ (con $x\ge0$), dove $\rho=\sqrt5\cdot\frac32=\frac{3\sqrt5}2\approx3{,}35$.

Dunque per $0\le x\le\frac32$ il solido è formato dai punti fuori dal cono ($\rho\ge\sqrt5x$) e dentro l'iperboloide ($\rho\le\sqrt{9+x^2}$): un "iperboloide scavato dal cono". Il disco $\rho<\sqrt5x$ è vuoto (scavo).

(b) Volume e baricentro per strati

Si taglia con piani ortogonali all'asse $x$. A ascissa $x\in[0,\frac32]$ la sezione è una corona circolare nel piano $(y,z)$ con raggio interno $\sqrt5x$ e raggio esterno $\sqrt{9+x^2}$, di area $$|\Omega_x| = \pi\left[(9+x^2)-5x^2\right] = \pi(9-4x^2).$$ Volume: $$|\Omega| = \int_0^{3/2}\pi(9-4x^2)dx = \pi\left[9x-\frac43x^3\right]_0^{3/2} = \pi\left(\frac{27}2-\frac92\right) = 9\pi.$$ Baricentro. $\Omega$ è simmetrico per rotazione attorno all'asse $x$, quindi $y_B=z_B=0$. Per $x_B$: $$\iiint_\Omega x = \int_0^{3/2}x\,|\Omega_x|\,dx = \pi\int_0^{3/2}(9x-4x^3)dx = \pi\left[\frac{9x^2}2-x^4\right]_0^{3/2} = \pi\left(\frac{81}8-\frac{81}{16}\right) = \frac{81\pi}{16},$$ $$x_B = \frac{81\pi/16}{9\pi} = \frac9{16}.$$ Baricentro: $\left(\frac9{16},0,0\right)$.

Controllo con Pappo-Guldino

$\Omega$ è il solido generato dalla rotazione di $2\pi$ attorno all'asse $x$ della regione $A=\{(\rho,x) : \sqrt5x\le\rho\le\sqrt{9+x^2},\ 0\le x\le\frac32\}$, che sta tutta dalla stessa parte dell'asse ($\rho\ge0$). La distanza dall'asse è $\rho$, quindi $$|\Omega| = 2\pi\iint_A\rho\,d\rho\,dx = 2\pi\int_0^{3/2}\frac{(9+x^2)-5x^2}2dx = \pi\int_0^{3/2}(9-4x^2)dx = 9\pi\ \checkmark$$

Errori tipici

• Scambiare i ruoli: la sezione perpendicolare all'asse di simmetria $x$ è una corona nel piano $(y,z)$, non nel piano $(x,y)$.
• Scrivere l'area della corona come $\pi(r_2-r_1)^2$ invece di $\pi(r_2^2-r_1^2)$.
• Usare $z$ come asse di rotazione per abitudine: qui l'asse è $x$.