Derivate parziali, differenziabilità e piano tangente

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Prerequisiti: Derivata - definizione e significato, Formula di Taylor con resto di Peano, Funzioni di più variabili, limiti e continuità, Asintoticità e o-piccolo per funzioni.

1. Derivate parziali e gradiente

In una variabile la derivata misura la pendenza. In più variabili ci sono infinite direzioni lungo cui salire; si comincia da quelle degli assi: si "congelano" tutte le variabili tranne una e si deriva.

Definizione (derivata parziale, gradiente). Sia $f : X\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ e $\underline x_0$ interno a $X$ . La derivata parziale rispetto a $x_i$ è $\frac{\partial f}{\partial x_i}(\underline x_0) = f_{x_i}(\underline x_0) = \lim_{h\to0}\frac{f(\underline x_0 + h\,\underline e_i) - f(\underline x_0)}{h},$ se il limite esiste finito. Se esistono tutte le derivate parziali, $f$ è derivabile in $\underline x_0$ e il gradiente è il vettore $\nabla f(\underline x_0) = \big(f_{x_1}(\underline x_0),\dots,f_{x_n}(\underline x_0)\big)$ .

Operativamente, $f_x$ si calcola derivando in $x$ e trattando $y$ come costante. Per $n=2$ : $f_x(x_0,y_0)$ è la pendenza della curva $x\mapsto f(x,y_0)$ (la sezione del grafico con il piano $y=y_0$ ).

Esempio. $f(x,y)=e^{x^2y}$ : $f_x = 2xy\,e^{x^2y}$ , $f_y = x^2e^{x^2y}$ , quindi $\nabla f(1,1)=(2e,e)$ .

Esempio (norma). $f(\underline x)=|\underline x|$ . Per $\underline x\ne\underline 0$ : $f_{x_k} = \frac{1}{2|\underline x|}\cdot2x_k = \frac{x_k}{|\underline x|}$ , cioè $\nabla|\underline x| = \frac{\underline x}{|\underline x|}$ (il versore radiale). Nell'origine $f(h\underline e_i) = |h|$ e $\frac{|h|-0}{h} = \operatorname{sgn}h$ non ha limite: il gradiente non esiste.

Regole. Linearità, prodotto $\nabla(fg) = f\nabla g + g\nabla f$ e quoziente $\nabla(f/g) = \frac{g\nabla f - f\nabla g}{g^2}$ si ottengono dalle regole di una variabile (Regole di derivazione), componente per componente.

2. Perché le derivate parziali non bastano

In una variabile "derivabile" implica "continua" e vale $f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+o(h)$ . In più variabili no: le derivate parziali guardano la funzione solo sugli assi.

Controesempio 1. $f(x,y)=1$ se $xy=0$ , $f(x,y)=0$ se $xy\ne0$ . Sugli assi $f\equiv1$ , quindi $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ : il gradiente esiste. Ma $f$ non è continua nell'origine (vale $1$ sugli assi, $0$ sulle diagonali).

Controesempio 2. $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ , $f(0,0)=0$ . Sugli assi $f\equiv0$ , quindi $\nabla f(0,0)=(0,0)$ ; ma sulle rette $y=mx$ vale $\frac{m}{1+m^2}$ : il limite nell'origine non esiste, $f$ è discontinua.

Serve una nozione più forte: richiedere che l'intera funzione, in tutte le direzioni insieme, sia approssimata da una funzione affine.

3. Differenziabilità

Definizione (differenziabile). $f$ è differenziabile in $\underline x_0$ (interno) se esiste $\underline a\in\mathbb{R}^n$ tale che $f(\underline x_0+\underline h) = f(\underline x_0) + \underline a\cdot\underline h + o(|\underline h|)\quad(\underline h\to\underline 0),$ cioè $\displaystyle\lim_{\underline h\to\underline 0}\frac{f(\underline x_0+\underline h)-f(\underline x_0)-\underline a\cdot\underline h}{|\underline h|}=0$ .

Per $n=1$ coincide con la derivabilità, con $a=f'(x_0)$ . Per $n\ge2$ chiede molto di più: l'errore tra $f$ e la funzione affine $f(\underline x_0)+\underline a\cdot\underline h$ deve essere piccolo rispetto a $|\underline h|$ in tutte le direzioni, uniformemente.

Teorema (D). Se $f$ è differenziabile in $\underline x_0$ allora (1) $f$ è continua in $\underline x_0$ ; (2) esistono tutte le derivate parziali e $\underline a=\nabla f(\underline x_0)$ .

Dimostrazione. (1) Dalla definizione, $|f(\underline x_0+\underline h)-f(\underline x_0)| \le |\underline a\cdot\underline h| + |o(|\underline h|)|\le|\underline a||\underline h| + o(|\underline h|)$ (Cauchy-Schwarz), che tende a $0$ per $\underline h\to\underline0$ : $f$ è continua in $\underline x_0$ . (2) Si prende $\underline h=\varepsilon\underline e_i$ : $\underline a\cdot\underline h = \varepsilon a_i$ , $|\underline h|=|\varepsilon|$ , quindi $\frac{f(\underline x_0+\varepsilon\underline e_i)-f(\underline x_0)}{\varepsilon} = \frac{\varepsilon a_i + o(|\varepsilon|)}{\varepsilon} = a_i + \frac{o(|\varepsilon|)}{\varepsilon}\xrightarrow{\varepsilon\to0}a_i .$ Il limite è la derivata parziale: $f_{x_i}(\underline x_0)=a_i$ . $\blacksquare$

Come si usa. Per verificare la differenziabilità in $\underline x_0$ con la definizione: (i) si calcola $\nabla f(\underline x_0)$ (se non esiste, non è differenziabile); (ii) si studia $\lim_{\underline h\to\underline0}\frac{f(\underline x_0+\underline h)-f(\underline x_0)-\nabla f(\underline x_0)\cdot\underline h}{|\underline h|}$ (se è $0$ lo è, altrimenti no), tipicamente in coordinate polari (Funzioni di più variabili, limiti e continuità). Il limite si chiama anche errore relativo: è zero se e solo se la funzione è differenziabile.

Esempio. $f(x,y)=\sqrt{|x|}\,y$ in $(0,0)$ : $f(x,0)=0$ e $f(0,y)=0$ , quindi $\nabla f(0,0)=(0,0)$ . L'errore relativo è $\dfrac{\sqrt{|x|}\,y}{\sqrt{x^2+y^2}} = \rho^{1/2}\sqrt{|\cos\theta|}\sin\theta$ , in modulo $\le\rho^{1/2}\to0$ : $f$ è differenziabile in $(0,0)$ (anche se non lo è in $(0,y_0)$ , $y_0\ne0$ , dove $f_x$ non esiste).

Sviluppo di Taylor al primo ordine. $f$ è differenziabile in $\underline x_0$ se e solo se $f(\underline x)=f(\underline x_0)+\nabla f(\underline x_0)\cdot(\underline x-\underline x_0)+o(|\underline x-\underline x_0|),\quad\underline x\to\underline x_0 .$ La funzione affine $f(\underline x_0)+\nabla f(\underline x_0)\cdot\underline h$ è l'unica migliore approssimazione affine di $f$ vicino a $\underline x_0$ . Il differenziale $df(\underline x_0)(\underline h)=\nabla f(\underline x_0)\cdot\underline h=\sum_i f_{x_i}(\underline x_0)h_i$ è la parte lineare, e approssima l'incremento $\Delta f = f(\underline x_0+\underline h)-f(\underline x_0)$ .

Esempio (stima). $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ in $(3,4)$ : $f=5$ , $\nabla f=\big(\frac35,\frac45\big)$ . Allora $f(3.03,\,3.96)\approx5+\frac35(0.03)+\frac45(-0.04)=5+0.018-0.032=4.986$ (valore esatto $4.9862$ ).

4. Piano tangente

Definizione (iperpiano tangente). Se $f$ è differenziabile in $\underline x_0$ , l'iperpiano tangente al grafico in $(\underline x_0,f(\underline x_0))$ è $z=f(\underline x_0)+\nabla f(\underline x_0)\cdot(\underline x-\underline x_0).$ Per $n=1$ è la retta tangente; per $n=2$ è il piano tangente $z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0),$ con vettore normale $\underline N=(-f_x(x_0,y_0),\,-f_y(x_0,y_0),\,1)$ (dall'equazione $-f_x\,x - f_y\,y + z = \text{cost}$ ).

È l'unico piano che passa per il punto e contiene le due rette tangenti alle sezioni con i piani $y=y_0$ e $x=x_0$ .

Esempio. $f=e^{x^2y}$ in $(1,1)$ , punto del grafico $(1,1,e)$ : $f=e$ , $f_x=2e$ , $f_y=e$ , quindi $z=e+2e(x-1)+e(y-1)=2ex+ey-2e,\qquad\underline N=(-2e,-e,1).$

5. Condizione sufficiente: il teorema del differenziale totale

Controllare il limite dell'errore relativo è spesso faticoso. Esiste un criterio pratico.

Teorema del differenziale totale. Se in un intorno di $\underline x_0$ esistono tutte le derivate parziali di $f$ e sono continue in $\underline x_0$ , allora $f$ è differenziabile in $\underline x_0$ .

Idea della dimostrazione ( $n=2$ ). Si scrive l'incremento passando per un punto intermedio e si applica due volte il teorema di Lagrange in una variabile (Teoremi di Rolle e di Lagrange): $f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=\big[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0+k)\big]+\big[f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)\big]=f_x(\xi,y_0+k)\,h+f_y(x_0,\eta)\,k ,$ con $\xi$ tra $x_0$ e $x_0+h$ e $\eta$ tra $y_0$ e $y_0+k$ . Per la continuità in $(x_0,y_0)$ , $f_x(\xi,y_0+k)=f_x(x_0,y_0)+\varepsilon_1$ e $f_y(x_0,\eta)=f_y(x_0,y_0)+\varepsilon_2$ con $\varepsilon_1,\varepsilon_2\to0$ . Quindi l'errore è $\varepsilon_1h+\varepsilon_2k$ , in modulo $\le(|\varepsilon_1|+|\varepsilon_2|)\sqrt{h^2+k^2}=o(|(h,k)|)$ .

Definizione ( $C^1$ ). Su un aperto $X$ , $f$ è di classe $C^1(X)$ se è continua, esistono tutte le derivate parziali e sono continue in $X$ . Per il teorema, $f\in C^1(X)\Rightarrow f$ differenziabile in ogni punto di $X$ .

Esempio. $e^{x^2y}$ ha derivate parziali continue su $\mathbb{R}^2$ : è $C^1$ , quindi differenziabile ovunque, e ha piano tangente in ogni punto.

Quadro delle implicazioni (per $n\ge2$ ). $f\in C^1\ \Longrightarrow\ \text{differenziabile}\ \Longrightarrow\ \begin{cases}\text{continua}\\\text{derivabile}\ (\exists\nabla f)\end{cases}$ e nessuna delle implicazioni inverse vale:

derivabile $\not\Rightarrow$ continua (Controesempi 1 e 2);
continua $\not\Rightarrow$ derivabile ( $|\underline x|$ in $\underline 0$ );
continua e derivabile $\not\Rightarrow$ differenziabile (vedi sotto);
differenziabile $\not\Rightarrow C^1$ : esempio già in una variabile, $f(x)=x^2\sin\frac1x$ , $f(0)=0$ : $f'(0)=\lim h\sin\frac1h=0$ , ma $f'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x$ per $x\ne0$ non ha limite per $x\to0$ . Quindi il teorema del differenziale totale è solo sufficiente.

Esempio (derivabile e continua ma non differenziabile). $f(x,y)=\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}$ , $f(0,0)=0$ . È continua ( $|f|\le|y|$ ), $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ . Errore relativo $\frac{f}{\rho}=\cos^2\theta\sin\theta$ , che non tende a $0$ (vale $\frac{1}{2\sqrt2}$ per $\theta=\frac\pi4$ ). Quindi non è differenziabile nell'origine. (Detto in modo equivalente: la formula del gradiente $D_{\underline v}f=\nabla f\cdot\underline v$ fallisce; vedi Derivate direzionali, formula del gradiente e curve di livello.)

6. Derivata della funzione composta

Teorema (derivazione lungo una curva). Se $\underline r:I\to X$ è derivabile in $t$ e $f$ è differenziabile in $\underline r(t)$ , allora $(f\circ\underline r)'(t)=\nabla f(\underline r(t))\cdot\underline r'(t)=\sum_{i=1}^n f_{x_i}(\underline r(t))\,r_i'(t).$

Perché: sviluppando $f$ al primo ordine, $f(\underline r(t+h))-f(\underline r(t)) = \nabla f(\underline r(t))\cdot\big(\underline r(t+h)-\underline r(t)\big)+o(|\underline r(t+h)-\underline r(t)|)$ ; si divide per $h$ e si usa $\frac{\underline r(t+h)-\underline r(t)}{h}\to\underline r'(t)$ (e $|\underline r(t+h)-\underline r(t)|=O(h)$ ).

Teorema (funzione di una variabile composta con $g$ ). Se $g:X\to\mathbb{R}$ è differenziabile in $\underline x$ e $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ è derivabile in $g(\underline x)$ , allora $\nabla(\varphi\circ g)(\underline x)=\varphi'(g(\underline x))\,\nabla g(\underline x)$ .

Esempio. $\nabla\big(\log(x^2+y^2)\big)=\dfrac{1}{x^2+y^2}(2x,2y)$ . Esempio. $\underline r(t)=(\cos t,\sin t)$ e $f(x,y)=x^2y$ : $(f\circ\underline r)'(t)=2xy\cdot(-\sin t)+x^2\cos t=-2\cos t\sin^2t+\cos^3t$ .

Errori da evitare

"Ha le derivate parziali, quindi è differenziabile/continua": falso per $n\ge2$ .
Usare il teorema del differenziale totale in un punto dove le derivate non sono definite o non sono continue (e concludere che non è differenziabile: il teorema è solo sufficiente).
Dimenticare il caso nel punto singolare: in $\underline x_0$ le derivate si calcolano con la definizione (rapporto incrementale), non con le formule valide fuori.
Piano tangente con segni sbagliati: il normale è $(-f_x,-f_y,1)$ , non $(f_x,f_y,1)$ .
Differenziabilità: dividere per $|\underline h|$ , non per $h$ .

Esercizi svolti

Domande d'esame

Dare le definizioni di derivate parziali, funzione derivabile e funzione differenziabile in un punto; dimostrare che differenziabile implica derivabile (e continua). Vale il viceversa? Traccia: incremento $\varepsilon\underline e_i$ ; controesempi $\frac{xy}{x^2+y^2}$ (non continua) e $\frac{x^2y}{x^2+y^2}$ (continua, non differenziabile).
Enunciare il teorema del differenziale totale. La continuità delle derivate parziali è anche necessaria? Traccia: no, $x^2\sin\frac1x$ .
Scrivere il piano tangente al grafico di una funzione differenziabile e il vettore normale. Traccia: $z=f(\underline x_0)+\nabla f\cdot(\underline x-\underline x_0)$ , $\underline N=(-f_x,-f_y,1)$ .

Versione ripasso