Esercizio - lavoro di una forma differenziale lungo un arco di circonferenza (Esercizi 2025-26, n. 45)

Teoria: Campi vettoriali, lavoro e forme differenzialiUn campo vettoriale assegna un vettore a ogni punto; la forma differenziale ω = F₁dx + F₂dy + F₃dz è lo stesso oggetto scritto come "covettore". Il lavoro (integrale curvilineo di seconda specie) è ∫ F(r(t))·r'(t) dt: è lineare, additivo sul cammino, cambia segno se si inverte il verso e non cambia se si riparametrizza con lo stesso verso. Si lega all'integrale di prima specie con ∫ F·T ds.Campi vettoriali, lavoro e forme differenziali →.

Testo

Calcolare $$\int_\gamma\frac{x^2}{y}\,dx+\frac{y}{x^2+y^2}\,dy,$$ dove $\gamma$ è la curva di equazioni parametriche $x=\cos t$, $y=\sin t$, con $\pi/4\le t\le\pi/2$.

Soluzione

Che cosa è l'integrale. La forma è $\omega=F_1\,dx+F_2\,dy$ con $F_1=\dfrac{x^2}{y}$ e $F_2=\dfrac{y}{x^2+y^2}$: il suo integrale su $\gamma$ è il lavoro del campo $\mathbf{F}=(F_1,F_2)$ lungo l'arco di circonferenza unitaria che va da $t=\pi/4$ (punto $\left(\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$) a $t=\pi/2$ (punto $(0,1)$). Il campo è definito per $y\ne0$ e $(x,y)\neq(0,0)$; sull'arco $y=\sin t\ge\frac{\sqrt2}{2}>0$, quindi nessun problema.

Passo 1: parametrizzazione e differenziali. La parametrizzazione è già data, nel verso di $t$ crescente (antiorario): $$x=\cos t,\quad y=\sin t,\qquad dx=-\sin t\,dt,\quad dy=\cos t\,dt .$$

Passo 2: si sostituisce nella forma. Sulla circonferenza unitaria $x^2+y^2=1$, quindi il secondo coefficiente diventa $\dfrac{y}{x^2+y^2}=\sin t$. Il primo è $\dfrac{x^2}{y}=\dfrac{\cos^2t}{\sin t}$. Allora $$\omega=\frac{\cos^2t}{\sin t}\,(-\sin t\,dt)+\sin t\,(\cos t\,dt)=\bigl(-\cos^2t+\sin t\cos t\bigr)\,dt .$$ Si noti la semplificazione: il $\sin t$ che era a denominatore si elide con quello di $dx$.

Passo 3: si integra. $$I=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\bigl(-\cos^2t+\sin t\cos t\bigr)\,dt .$$

• Per $\cos^2t$ si usa $\cos^2t=\dfrac{1+\cos2t}{2}$, che ha primitiva $\dfrac t2+\dfrac{\sin2t}{4}$. Tra $\pi/4$ e $\pi/2$ vale $\left(\dfrac\pi4+0\right)-\left(\dfrac\pi8+\dfrac14\right)=\dfrac\pi8-\dfrac14$.
• Per $\sin t\cos t$ la primitiva è $\dfrac{\sin^2t}{2}$ (derivata: $\sin t\cos t$). Tra $\pi/4$ e $\pi/2$: $\dfrac12-\dfrac14=\dfrac14$.

Quindi $$I=-\left(\frac\pi8-\frac14\right)+\frac14=\frac12-\frac\pi8\approx0{,}1073 .$$

Controllo. Un integrale numerico dello stesso integrando dà $0{,}107301$, che coincide con $\tfrac12-\tfrac\pi8$.