Formulario - fondamenti di analisi matematica e probabilità

Spazio Rn e curve

Note: Norma, distanza e prodotto scalare in RnIn Rⁿ la norma è |x| = √(x₁² + … + xₙ²) e la distanza tra x e y è |x − y|. Valgono la disuguaglianza triangolare |x + y| ≤ |x| + |y| e quella di Cauchy-Schwarz |x·y| ≤ |x||y|, con uguaglianza solo per vettori paralleli. Palle B(p,r] e cubi Q(p,r] si contengono a vicenda: B(p,r] ⊆ Q(p,r] ⊆ B(p,r√n]. Rette, piani, ellissi e cilindri si riconoscono dall'equazione (completando i quadrati).Norma, distanza e prodotto scalare in Rn → · Insiemi aperti, chiusi, interno e frontiera in RnUn intorno di p è un insieme che contiene una palla centrata in p. p è interno a D se una palla B(p,δ[ sta tutta in D; D è aperto se ogni suo punto è interno, chiuso se il complementare è aperto. La frontiera ∂D è fatta dai punti i cui intorni toccano sia D sia il complementare; la chiusura è D ∪ ∂D, il più piccolo chiuso che contiene D. Unioni qualsiasi e intersezioni finite di aperti sono aperte.Insiemi aperti, chiusi, interno e frontiera in Rn → · Curve parametriche e sostegnoUna curva è una funzione continua f : [a,b] → Rⁿ, t ↦ (f₁(t), …, fₙ(t)); il sostegno è la sua immagine, l'insieme dei punti percorsi. Curve diverse possono avere lo stesso sostegno. Esempi base: cerchio (a + r cos t, b + r sin t), segmento P + t(Q − P), grafico (t, h(t)) (curva cartesiana), ellisse (a + A cos t, b + B sin t). Chiusa: f(a) = f(b); semplice: nessuna autointersezione (tranne eventualmente f(a) = f(b)). Limiti e continuità si fanno componente per componente.Curve parametriche e sostegno → · Derivata di una curva e retta tangenteLa derivata di f : I → Rⁿ è f'(t₀) = lim (f(t) − f(t₀))/(t − t₀) e si calcola componente per componente. Se f'(t₀) ≠ 0 è il vettore tangente (la velocità) e la retta tangente è f(t₀) + λ f'(t₀). Curva regolare: f' ≠ 0 ovunque. Approssimazione al prim'ordine: f(t) ≈ f(t₀) + f'(t₀)(t − t₀). Regole: linearità, prodotto per una funzione, (f·g)' = f'·g + f·g', catena (f∘u)' = f'(u) u'. Se |r(t)| è costante, r e r' sono ortogonali.Derivata di una curva e retta tangente → · Lunghezza di una curvaLa lunghezza di una curva è il sup delle lunghezze delle poligonali inscritte; se è finito la curva è rettificabile. Per una curva C¹: L(f) = ∫ₐᵇ |f'(t)| dt (velocità scalare integrata nel tempo). Casi particolari: grafico di h, L = ∫√(1 + h'²); coordinate polari ρ(t), L = ∫√(ρ² + ρ'²). Esempi: elica (cos t, sin t, t) su [0,2π] lunga 2π√2; cerchio percorso m volte lungo 2πmR; cardioide a(1 + cos t) lunga 8a. Esistono curve continue non rettificabili.Lunghezza di una curva → · Parametrizzazioni equivalenti e ascissa curvilineaf : I → Rⁿ e g : J → Rⁿ sono equivalenti se f = g∘φ con φ : I → J biiezione C¹ e φ' ≠ 0; curve equivalenti C¹ hanno la stessa lunghezza (anche se φ inverte il verso). L'ascissa curvilinea s = φ(t) = ∫ₐᵗ |f'(u)| du è la strada percorsa fino all'istante t: ds/dt = |f'(t)|, cioè "ds = |f'(t)| dt". Se f' ≠ 0, s è un cambio di parametro e g(s) = f(φ⁻¹(s)), s ∈ [0, L], percorre la curva a velocità 1.Parametrizzazioni equivalenti e ascissa curvilinea →

• $|x|=\sqrt{x_1^2+\dots+x_n^2}$, $\mathrm{dist}(x,y)=|x-y|$, $x\cdot y=\sum x_iy_i$. Cauchy-Schwarz: $|x\cdot y|\le|x||y|$, uguaglianza solo se $x,y$ sono dipendenti. Palle e cubi: $B(p,r]\subseteq Q(p,r]\subseteq B(p,r\sqrt n]$.
• $D$ è aperto se ogni punto è interno; chiuso se il complementare è aperto; $\partial D$ = punti i cui intorni toccano $D$ e il suo complementare; $\overline D=D\cup\partial D$. Unione qualsiasi e intersezione finita di aperti sono aperte. Se $f$ è continua: $\{f<c\}$, $\{f>c\}$ aperti; $\{f\le c\}$, $\{f=c\}$ chiusi.
• Curva $f:[a,b]\to\mathbb R^n$ continua (componenti continue); sostegno $f([a,b])$; chiusa se $f(a)=f(b)$; semplice se senza autointersezioni. Limite e derivata si calcolano componente per componente: $f'(t_0)=\lim\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}$; retta tangente $f(t_0)+\lambda f'(t_0)$; regolare se $f'\ne0$.
• Derivate: $(\varphi f)'=\varphi'f+\varphi f'$; $(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$; $(f\circ u)'=f'(u)\,u'$.
• Lunghezza ($f\in C^1$): $\displaystyle L(f)=\int_a^b|f'(t)|\,dt$; grafico di $h$: $\int\sqrt{1+h'^2}$; polari $\rho(t)$: $\displaystyle\int_a^b\sqrt{\rho^2+\rho'^2}\,dt$. Curve $C^1$ equivalenti ($f=g\circ\varphi$, $\varphi'\ne0$) hanno la stessa lunghezza. Ascissa curvilinea $s=\int_a^t|f'(u)|\,du$, $ds=|f'(t)|\,dt$.

Funzioni di più variabili e limiti

Note: Funzioni di più variabili - dominio, grafico e insiemi di livelloUna funzione di più variabili è f : D ⊆ Rⁿ → R. Il grafico è {(x, f(x))} ⊂ Rⁿ⁺¹ (per n = 2 una superficie). Per visualizzarla: metodo delle sezioni (si fissa una variabile e si disegna la funzione dell'altra) e insiemi di livello Z_c = {f = c} (le curve di livello delle carte topografiche). Le funzioni radiali f(x) = h(|x|) dipendono solo dalla distanza dall'origine: hanno grafico di rotazione e livelli che sono cerchi.Funzioni di più variabili - dominio, grafico e insiemi di livello → · Limiti e continuità in più variabiliIl limite di f : D ⊆ Rⁿ → R in un punto di accumulazione p si definisce come in una variabile, con la norma: ∀ε ∃δ, 0 < |x − p| ≤ δ, x ∈ D ⇒ |f(x) − ℓ| ≤ ε. Valgono permanenza del segno, algebra dei limiti e carabinieri. f è continua in p se il limite è f(p): polinomi e composizioni di funzioni continue lo sono. Con f continua, {f < c} è aperto e {f ≤ c} è chiuso. Gli sviluppi asintotici di una variabile si usano se l'argomento tende a 0 (es. sin(x³y) ~ x³y).Limiti e continuità in più variabili → · Calcolo dei limiti in due variabili - restrizioni, stime e coordinate polariPer dimostrare che un limite NON esiste: si trovano due restrizioni (rette y = mx, parabole y = kx², …) con limiti diversi. Per dimostrare che ESISTE: stima uniforme |f(x) − ℓ| ≤ h(x) con h → 0 (utile |xy| ≤ (x² + y²)/2), oppure coordinate polari con una stima |f(p + ρ(cos t, sin t)) − ℓ| ≤ h(ρ) indipendente da t, oppure incollamento di limiti uguali su pezzi che ricoprono il dominio. Il limite uguale su tutte le rette NON basta.Calcolo dei limiti in due variabili - restrizioni, stime e coordinate polari →

• Grafico $G_f=\{(x,f(x))\}\subseteq\mathbb R^{n+1}$; insieme di livello $Z_c=\{f=c\}$; $f$ radiale: $f(x)=h(|x|)$.
• $\lim_{x\to p}f=\ell$ se $\forall\varepsilon\ \exists\delta:\ x\in D,\ 0<|x-p|\le\delta\Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon$. Valgono unicità, permanenza del segno, algebra dei limiti, carabinieri. $f$ continua in $p$ se $\lim f=f(p)$.
• Il limite non esiste se due restrizioni (rette $y=mx$, parabole $y=kx^2$) danno limiti diversi; uguale limite su tutte le rette non basta. Esiste se $|f(x)-\ell|\le h(x)\to0$ (stima uniforme, es. $|xy|\le\frac{x^2+y^2}2$), o se in polari $|f(p+\rho(\cos t,\sin t))-\ell|\le h(\rho)\to0$ per ogni $t$, o per incollamento di limiti uguali su pezzi che ricoprono il dominio.

Calcolo differenziale in più variabili

Note: Derivate direzionali e parzialiLa derivata direzionale di f in p lungo u è D_u f(p) = lim_{t→0} (f(p + tu) − f(p))/t, cioè la derivata in t = 0 di g(t) = f(p + tu): quanto sale f partendo da p lungo u. Le derivate parziali sono le direzionali lungo gli assi, ∂f/∂xᵢ = D_{eᵢ}f, e si calcolano derivando rispetto a xᵢ con le altre variabili ferme. Avere tutte le derivate direzionali NON implica la continuità (x²y/(x⁴ + y²)). Valgono linearità, regola del prodotto e della catena con φ di una variabile.Derivate direzionali e parziali → · Gradiente e direzione di massima crescitaIl gradiente è il vettore delle derivate parziali ∇f(p) = (∂₁f(p), …, ∂ₙf(p)). Se f è C¹ (derivate parziali continue) vale la formula del gradiente D_u f(p) = ∇f(p)·u: tutte le derivate direzionali si ottengono dalle parziali e u ↦ D_u f(p) è lineare. Tra i versori, la crescita è massima lungo ∇f/|∇f| (pendenza |∇f|), minima lungo −∇f/|∇f| (pendenza −|∇f|), nulla lungo le direzioni ortogonali al gradiente. Utili: ∇|x| = x/|x|, ∇φ(|x|) = φ'(|x|) x/|x|.Gradiente e direzione di massima crescita → · Differenziabilità, piano tangente e linearizzazionef è differenziabile in p se f(x) = f(p) + ∇f(p)·(x − p) + R(x) con R(x)/|x − p| → 0: vicino a p il grafico è quasi il suo spazio tangente z = f(p) + ∇f(p)·(x − p) (per n = 2 il piano tangente). La funzione affine L(x) = f(p) + ∇f(p)·(x − p) è la linearizzazione e serve per le stime (Δf ≈ ∇f·Δx). C¹ ⇒ differenziabile ⇒ continua e D_u f(p) = ∇f(p)·u per ogni u. Per verificare la differenziabilità in un punto: derivate parziali con la definizione, poi limite di [f(p+h) − f(p) − ∇f(p)·h]/|h|.Differenziabilità, piano tangente e linearizzazione → · Regola della catena in più variabiliSe x(t) è una curva derivabile e f è differenziabile in x(t₀), allora (f∘x)'(t₀) = ∇f(x(t₀))·x'(t₀) = Σ ∂ᵢf(x(t₀)) xᵢ'(t₀): la variazione di f lungo il moto è il gradiente per la velocità. Serve per derivare composte come f(2t, t²), per ricavare il gradiente da informazioni lungo curve, per le derivate di f(g(s,t)) e per provare che il gradiente è ortogonale alle curve di livello.Regola della catena in più variabili → · Derivate seconde e matrice hessianaLe derivate seconde ∂²f/∂xᵢ∂xⱼ = ∂ᵢ(∂ⱼf) si ottengono derivando una derivata parziale. La matrice hessiana Hess f(p) raccoglie le n² derivate seconde (riga i, colonna j: ∂ᵢ∂ⱼf). Teorema di Schwarz: se f è C² (derivate seconde continue) le derivate miste coincidono, ∂ᵢ∂ⱼf = ∂ⱼ∂ᵢf, quindi l'hessiana è simmetrica. Servirà per classificare i punti critici.Derivate seconde e matrice hessiana →

• $\displaystyle D_uf(p)=\lim_{t\to0}\frac{f(p+tu)-f(p)}t$; parziali $\partial_{x_i}f=D_{e_i}f$; $\nabla f=(\partial_{x_1}f,\dots,\partial_{x_n}f)$. Avere tutte le direzionali non implica la continuità ($\frac{x^2y}{x^4+y^2}$). $\nabla(fg)=g\nabla f+f\nabla g$; $\nabla(\varphi\circ f)=\varphi'(f)\nabla f$.
• $f\in C^1$ (parziali continue) $\Rightarrow$ differenziabile. Differenziabile in $p$: $f(x)=f(p)+\nabla f(p)\cdot(x-p)+R(x)$, $R(x)/|x-p|\to0$; allora è continua e vale $D_uf(p)=\nabla f(p)\cdot u$. Piano tangente $z=f(x_0,y_0)+f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0)$; linearizzazione $L(x)=f(p)+\nabla f(p)\cdot(x-p)$.
• Tra i versori $D_uf$ è massima lungo $\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$ (valore $|\nabla f|$), minima lungo $-\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$, nulla per $u\perp\nabla f$; $\nabla f$ è perpendicolare alle curve di livello.
• Catena: $(f\circ x)'(t_0)=\nabla f(x(t_0))\cdot x'(t_0)=\sum\partial_{x_i}f\,x_i'$ ($f$ differenziabile).
• Hessiana $\mathrm{Hess}f=(\partial^2_{x_ix_j}f)$; Schwarz: $f\in C^2\Rightarrow\partial^2_{x_ix_j}f=\partial^2_{x_jx_i}f$ (hessiana simmetrica).

Massimi e minimi

Note: Massimi e minimi liberi - punti critici e matrice hessianaRegola di Fermat: in un punto interno di massimo o minimo locale, dove f è derivabile, ∇f(p) = 0 (punto critico). Non vale il viceversa: x² − y² ha in (0,0) un punto di sella. Per f ∈ C² in un punto critico interno, criterio dell'hessiana in due variabili: det Hess > 0 e f_xx > 0 → minimo locale stretto; det > 0 e f_xx < 0 → massimo locale stretto; det < 0 → sella; det = 0 → il criterio non decide (x⁴ + y⁴, −x⁴ − y⁴, x⁴ − y⁴) e si studia il segno di f(x) − f(p) direttamente.Massimi e minimi liberi - punti critici e matrice hessiana → · Massimi e minimi assoluti su domini chiusi e limitatiTeorema di Weierstrass: una funzione continua su un insieme chiuso e limitato (compatto) ha massimo e minimo assoluti. Per trovarli si confrontano i valori di f nei candidati: i punti critici interni e i punti di massimo e minimo di f ristretta al bordo (che si studia parametrizzando ogni pezzo del bordo e riducendosi a funzioni di una variabile, vertici compresi). Esempi: profitto massimo 648 in (21, 3); pacco postale con volume massimo 64/27 (il cubo di lato 4/3).Massimi e minimi assoluti su domini chiusi e limitati →

• Fermat: massimo o minimo locale in $p$ interno e $f$ derivabile $\Rightarrow\nabla f(p)=0$ (punto critico; non vale il viceversa: sella di $x^2-y^2$).
• Criterio dell'hessiana ($f\in C^2$, $p$ critico interno): $\det\mathrm{Hess}>0$ e $f_{xx}>0$ minimo locale stretto; $\det>0$ e $f_{xx}<0$ massimo locale stretto; $\det<0$ sella; $\det=0$ non decide ($x^4+y^4$, $-x^4-y^4$, $x^4-y^4$). Per $H=\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}$: definita positiva $\iff\det H>0$ e $a>0$.
• Weierstrass: $f$ continua su $D$ chiuso e limitato ha massimo e minimo assoluti. Metodo: punti critici interni (senza classificarli), bordo parametrizzato pezzo per pezzo (vertici compresi), confronto dei valori.

Integrali curvilinei e campi vettoriali

Note: Integrale curvilineo di una funzioneL'integrale curvilineo di una funzione continua μ su una curva C¹ r : [a,b] → Rⁿ è ∫_r μ ds = ∫ₐᵇ μ(r(t)) |r'(t)| dt ("ds = |r'(t)| dt"). Con μ = densità lineare dà la massa di un filo; con μ = 1 la lunghezza. Il baricentro è (∫ x μ ds)/(∫ μ ds), coordinata per coordinata. Si estende ai cammini (curve C¹ a tratti) sommando sui pezzi; non dipende dal verso di percorrenza né dalla parametrizzazione.Integrale curvilineo di una funzione → · Campi vettoriali, campi radiali e campi gradienteUn campo vettoriale è F : D ⊆ Rⁿ → Rⁿ (a ogni punto un vettore: velocità di un fluido, forza). Radiale: F(x) = g(|x|) x/|x| (diretto come il raggio, intensità dipendente solo dalla distanza), come i campi gravitazionale ed elettrico K x/|x|³. Gradiente: F = ∇U con U ∈ C¹ (U è una primitiva; in fisica il potenziale è −U); su un aperto connesso le primitive differiscono per una costante. Ogni campo radiale continuo è gradiente, con primitiva G(|x|) dove G' = g.Campi vettoriali, campi radiali e campi gradiente → · Integrale curvilineo di un campo vettorialeL'integrale di un campo F lungo un cammino r : [a,b] → D è ∫_r F·dr = ∫ₐᵇ F(r(t))·r'(t) dt: per un campo di forze è il lavoro. Si scrive anche ∫_r F·T ds (T versore tangente) o ∫_r F₁ dx₁ + … + Fₙ dxₙ (notazione "termodinamica"); su un circuito si parla di circuitazione ∮. È lineare, additivo per giustapposizione, e CAMBIA SEGNO invertendo il verso di percorrenza.Integrale curvilineo di un campo vettoriale → · Campi conservativi e irrotazionaliF è conservativo se l'integrale lungo un cammino dipende solo dagli estremi (equivalentemente: circuitazione nulla su ogni circuito). Teorema fondamentale: se F = ∇U allora ∫_r F·dr = U(fine) − U(inizio); conservativo ⇔ gradiente. Condizione necessaria (F ∈ C¹): irrotazionale, ∂ⱼFᵢ = ∂ᵢFⱼ. Non sufficiente: il vortice (−y, x)/(x² + y²) è irrotazionale ma ha circuitazione 2π sul cerchio. Sufficiente su domini semplicemente connessi (convessi, stellati). Primitiva con le integrazioni parziali. Sul piano bucato basta controllare la circuitazione su un cerchio attorno a ogni buco.Campi conservativi e irrotazionali →

• $\displaystyle\int_r\mu\,ds=\int_a^b\mu(r(t))\,|r'(t)|\,dt$ (massa di un filo; $\mu=1$ lunghezza); non dipende dal verso. Baricentro: $\frac1{\int\mu\,ds}\big(\int x_1\mu\,ds,\dots,\int x_n\mu\,ds\big)$. Cammino = curva $C^1$ a tratti: si somma sui pezzi.
• Campo radiale $F(x)=g(|x|)\frac x{|x|}$; campo gradiente $F=\nabla U$ ($U\in C^1$ primitiva). Ogni campo radiale continuo è gradiente, con primitiva $G(|x|)$, $G'=g$.
• Lavoro: $\displaystyle\int_rF\cdot dr=\int_a^bF(r(t))\cdot r'(t)\,dt$ (circuitazione $\oint$ se $r$ è chiuso); lineare, additivo per giustapposizione, $\int_{r^{-1}}F\cdot dr=-\int_rF\cdot dr$.
• Conservativo: $\int_{r_1}=\int_{r_2}$ con gli stessi estremi, equivalentemente $\oint_rF\cdot dr=0$ su ogni circuito. Conservativo $\iff$ gradiente, e allora $\int_rF\cdot dr=U(r(b))-U(r(a))$.
• Irrotazionale ($F\in C^1$): $\partial_{x_j}F_i=\partial_{x_i}F_j$ (nel piano $\partial_yF_1=\partial_xF_2$). Conservativo $\Rightarrow$ irrotazionale; il viceversa vale su un aperto semplicemente connesso (altrimenti solo localmente: il vortice $\frac{(-y,x)}{x^2+y^2}$). Piano bucato in $a_1,\dots,a_m$: conservativo $\iff\oint_{\gamma_i}F\cdot dr=0$ su un cerchio attorno a ciascun $a_i$.

Integrali doppi

Note: Integrali doppi e formule di riduzioneL'integrale doppio ∫_D f dx dy è il limite delle somme Σ f(cᵢ) Area(Aᵢ): per f ≥ 0 è il volume del trapezoide sotto il grafico; ∫_D 1 = Area(D). Si calcola con le formule di riduzione: su un rettangolo ∫∫ f = ∫ₐᵇ(∫_c^d f dy)dx = ∫_c^d(∫ₐᵇ f dx)dy; su un dominio semplice rispetto a x, D = {a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)}, ∫D f = ∫ₐᵇ ∫{α(x)}^{β(x)} f dy dx (fette verticali), e analogamente per fette orizzontali. Scambiare l'ordine serve quando un integrale interno non ha primitiva elementare (sin y², e^{x²}).Integrali doppi e formule di riduzione → · Cambiamento di variabili negli integrali doppiSe φ : E → D, (u,v) ↦ (x,y), è biiettiva, C¹ e con det φ' ≠ 0, allora ∫_D f(x,y) dx dy = ∫E f(φ(u,v)) |det φ'(u,v)| du dv: |det φ'| (lo jacobiano) misura di quanto φ dilata le aree. Si cambia variabile per semplificare il dominio (u = x + y, v = x − y trasformano un parallelogramma in un rettangolo) o la funzione. Se le nuove variabili sono date in funzione delle vecchie, (u,v) = ψ(x,y), si usa |det φ'| = 1/|det ψ'|. Simmetrie: f dispari in x su un dominio simmetrico rispetto all'asse y ha integrale nullo.Cambiamento di variabili negli integrali doppi → · Integrali doppi in coordinate polariCon x = ρ cos t, y = ρ sin t lo jacobiano è ρ: ∫D f dx dy = ∫E f(ρ cos t, ρ sin t) ρ dρ dt, con E la descrizione di D in (ρ,t). Conviene per dischi, corone, settori e funzioni radiali: ∫{B(0,R]} g(√(x²+y²)) = 2π ∫₀ᴿ g(ρ) ρ dρ. L'area della regione 0 ≤ ρ ≤ ρ(t), t ∈ [a,b] è ½ ∫ₐᵇ ρ(t)² dt. Esempi: ∫{B(0,R]} e^{x²+y²} = π(e^{R²} − 1); petalo (x²+y²)² ≤ 8xy di area 2.Integrali doppi in coordinate polari → · Integrali doppi generalizzati e integrale di GaussPer f ≥ 0 su domini illimitati (o con f illimitata) l'integrale doppio generalizzato si calcola con le formule di riduzione o con un cambio di variabili: se il risultato è finito, f è integrabile e l'integrale è quel valore (criterio per funzioni positive). Con f di segno variabile gli integrali iterati possono esistere finiti ma essere diversi. Integrale di Gauss: ∫{−∞}^{+∞} e^{−t²} dt = √π, ottenuto integrando e^{−x²−y²} sul piano in due modi (riduzione: I²; polari: π).Integrali doppi generalizzati e integrale di Gauss →

• $\int_D1=\mathrm{Area}(D)$; lineare e monotono; additivo se i pezzi si toccano solo sui bordi. Rettangolo: $\int f=\int_a^b\big(\int_c^df\,dy\big)dx=\int_c^d\big(\int_a^bf\,dx\big)dy$; $f=g(x)h(y)$: prodotto degli integrali.
• $D$ semplice rispetto a $x$ ($a\le x\le b$, $\alpha(x)\le y\le\beta(x)$): $\displaystyle\int_Df=\int_a^b\Big(\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f\,dy\Big)dx$; analogamente rispetto a $y$. Simmetria: $D$ simmetrico rispetto all'asse $y$ e $f$ dispari in $x$ $\Rightarrow\int_Df=0$.
• Cambio di variabili ($\varphi$ biiettiva, $C^1$, $\det\varphi'\ne0$): $\displaystyle\int_Df\,dx\,dy=\int_Ef(\varphi(u,v))\,|\det\varphi'(u,v)|\,du\,dv$.
• Polari $x=\rho\cos t$, $y=\rho\sin t$: $\displaystyle\int_Df=\int_Ef(\rho\cos t,\rho\sin t)\,\rho\,d\rho\,dt$; disco: $\int_{B(0,R]}g(\sqrt{x^2+y^2})=2\pi\int_0^Rg(\rho)\rho\,d\rho$; area di $0\le\rho\le\rho(t)$: $\frac12\int_a^b\rho(t)^2dt$.
• $f\ge0$ su $\mathbb R^2$ è integrabile $\iff$ uno dei due integrali iterati esiste finito; se riduzione o cambio di variabili danno un valore finito, $f\ge0$ è integrabile. Gauss: $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt\pi$.

Integrali tripli

Note: Integrali tripliL'integrale triplo ∫∫∫_E f dx dy dz estende il doppio a regioni dello spazio; ∫∫∫_E 1 = Vol(E), e con f densità dà massa e baricentro. Si calcola per fili (z tra due superfici sopra un dominio piano: ∫∫D(∫ f dz)dx dy) o per strati (fette orizzontali E(z): ∫(∫∫{E(z)} f dx dy)dz). Cambi di variabile: cilindriche (ρ cos θ, ρ sin θ, z), jacobiano ρ; sferiche (ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ), jacobiano ρ² sin φ. Per i solidi di rotazione: Vol = ∫ π r(z)² dz (strati) oppure 2π x̄ Area (Pappo-Guldino).Integrali tripli →

• $\iiint_E1=\mathrm{Vol}(E)$. Per fili: $E=\{(x,y)\in D,\ \alpha\le z\le\beta\}$, $\displaystyle\iiint_Ef=\iint_D\Big(\int_\alpha^\beta f\,dz\Big)dx\,dy$. Per strati: $\displaystyle\iiint_Ef=\int_a^b\Big(\iint_{E(z)}f\,dx\,dy\Big)dz$.
• Cilindriche $(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z)$: $dV=\rho\,d\rho\,d\theta\,dz$. Sferiche $(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi)$, $\varphi\in[0,\pi]$: $dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$.
• Solido di rotazione: $\mathrm{Vol}=\int\pi r(z)^2dz$ oppure $2\pi\bar x\cdot\mathrm{Area}$ (Pappo-Guldino).

Superfici e integrali superficiali

Note: Superfici parametriche e areaUna superficie parametrica è p : D ⊂ R² → R³ continua, con D chiuso e limitato; il sostegno è p(D). I vettori p_u, p_v sono tangenti alle curve coordinate, e |p_u × p_v| è l'elemento d'area: Area(p) = ∫_D |p_u × p_v| du dv (analogo di L = ∫|r'|). Casi da sapere: cilindro (R cos t, R sin t, z), elemento R; sfera in coordinate sferiche, elemento R² sin φ, area 4πR²; superficie cartesiana (x, y, f(x,y)), elemento √(1 + f_x² + f_y²).Superfici parametriche e area → · Superfici di rotazione e teorema di Pappo-GuldinoLa "parete" verticale sopra una curva piana r fino all'altezza h ≥ 0 ha area ∫_r h ds: è il significato geometrico dell'integrale curvilineo. Ruotando una curva r(t) = (r₁(t), r₂(t)) del semipiano x ≥ 0 attorno all'asse z si ottiene p(t,θ) = (r₁ cos θ, r₁ sin θ, r₂), con elemento d'area r₁|r'|: Area = 2π ∫_r x ds = 2π x̄ L (Pappo-Guldino: distanza del baricentro dall'asse per lunghezza della curva). Toro: 4π²Ra; cono: π r ℓ.Superfici di rotazione e teorema di Pappo-Guldino → · Integrali superficialiL'integrale di μ continua su una superficie C¹ p : D → R³ è ∫_p μ dσ = ∫_D μ(p(u,v)) |p_u × p_v| du dv: con μ densità superficiale dà la massa, con μ = 1 l'area. Per una superficie cartesiana z = f(x,y): ∫_D μ(x, y, f(x,y)) √(1 + f_x² + f_y²) dx dy. Non dipende dalla parametrizzazione (superfici equivalenti danno lo stesso integrale). Si sfruttano coordinate sferiche per le sfere, polari per coni e paraboloidi, e le simmetrie.Integrali superficiali →

• Superficie $p:D\subseteq\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ ($D$ chiuso e limitato): $\displaystyle\mathrm{Area}(p)=\int_D|p_u\times p_v|\,du\,dv$, $d\sigma=|p_u\times p_v|\,du\,dv$. Cartesiana $z=f(x,y)$: elemento $\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}$. Sfera: elemento $R^2\sin\varphi$, area $4\pi R^2$; cilindro: elemento $R$.
• Parete sopra la curva $r$ fino a $h\ge0$: $\mathrm{Area}=\int_rh\,ds$. Rotazione di $r$ attorno all'asse $z$, $p(t,\theta)=(r_1\cos\theta,r_1\sin\theta,r_2)$: $\displaystyle\mathrm{Area}=2\pi\int_rx\,ds=2\pi\bar x_r\,L(r)$ (Pappo-Guldino).
• $\displaystyle\int_p\mu\,d\sigma=\int_D\mu(p(u,v))\,|p_u\times p_v|\,du\,dv$ (massa con densità $\mu$); non dipende dalla parametrizzazione equivalente.

Formula di Green e flusso

Note: Formula di Green e calcolo di areeFormula di Green: se D è un dominio regolare del piano e ∂⁺D il suo bordo orientato positivamente (con D a sinistra: antiorario sul bordo esterno, orario sui buchi), allora ∮_{∂⁺D} P dx + Q dy = ∫∫_D (∂ₓQ − ∂ᵧP) dx dy. Trasforma una circuitazione in un integrale doppio (e viceversa). Area(D) = ∮ x dy = −∮ y dx = ½ ∮ (x dy − y dx): l'area racchiusa da una curva si calcola dalla sua parametrizzazione. Per campi irrotazionali su D senza buchi la circuitazione è nulla.Formula di Green e calcolo di aree → · Flusso di un campo attraverso una superficieIl flusso di un campo F attraverso una superficie parametrica p : D → R³ orientata dal normale N = p_u × p_v è ∫∫_D F(p(u,v))·(p_u × p_v) du dv (= ∫∫ F·n dσ, con n versore normale). Per un grafico z = f(x,y) orientato verso l'alto N = (−fₓ, −f_y, 1). Il flusso cambia segno invertendo l'orientazione. Per una superficie chiusa orientata verso l'esterno, il teorema della divergenza dà flusso uscente = ∫∫∫ div F, utile come controllo.Flusso di un campo attraverso una superficie →

• Green ($D$ regolare, $\partial^+D$ con $D$ a sinistra: antiorario fuori, orario sui buchi; $P,Q\in C^1$): $\displaystyle\oint_{\partial^+D}P\,dx+Q\,dy=\iint_D\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)dx\,dy$.
• $\mathrm{Area}(D)=\oint_{\partial^+D}x\,dy=-\oint_{\partial^+D}y\,dx=\frac12\oint_{\partial^+D}(x\,dy-y\,dx)$.
• Flusso attraverso $p$ orientata da $N=p_u\times p_v$: $\displaystyle\Phi=\iint_pF\cdot n\,d\sigma=\iint_DF(p(u,v))\cdot(p_u\times p_v)\,du\,dv$; per il grafico verso l'alto $N=(-f_x,-f_y,1)$; cambia segno invertendo l'orientazione. Superficie chiusa verso l'esterno: $\iint_{\partial E}F\cdot n\,d\sigma=\iiint_E\mathrm{div}F$.

Equazioni differenziali

Note: Equazioni differenziali esatteUn'equazione M(t,y) + N(t,y) y' = 0 è esatta se il campo (M, N) è conservativo, cioè ha una primitiva U con ∂_t U = M, ∂_y U = N; allora lungo ogni soluzione d/dt U(t, y(t)) = M + N y' = 0, e le soluzioni sono date implicitamente da U(t, y) = c (curve di livello di U). Su un dominio semplicemente connesso basta la condizione ∂_y M = ∂_t N. Si trova U con le integrazioni parziali, si fissa c con la condizione iniziale e si ricava y, scegliendo il ramo e l'intervallo massimale (dove N ≠ 0).Equazioni differenziali esatte →

• $M(t,y)+N(t,y)\,y'=0$ ($M,N\in C^1$) è esatta se $(M,N)$ è conservativo: $\exists U:\ \partial_tU=M$, $\partial_yU=N$. Allora $y(t)$ è soluzione $\iff U(t,y(t))=c$. Su un dominio semplicemente connesso basta $\partial_yM=\partial_tN$.

Calcolo combinatorio

Note: Cardinalità, sequenze e principio di moltiplicazione|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| (inclusione-esclusione), |A × B| = |A||B|, |Aᶜ| = |X| − |A|; due insiemi hanno la stessa cardinalità se sono in biiezione. Una k-sequenza di Iₙ = {1,…,n} è una k-upla ordinata (conta l'ordine): sono nᵏ; distribuire k oggetti distinti in n scatole (spartizioni) equivale a una k-sequenza di Iₙ. Principio di moltiplicazione: se un oggetto si costruisce in fasi con m₁, …, mₙ esiti e l'oggetto finale determina gli esiti di tutte le fasi, il numero è m₁⋯mₙ. I sottoinsiemi di Iₙ sono 2ⁿ.Cardinalità, sequenze e principio di moltiplicazione → · Sottoinsiemi, principio di divisione e anagrammin! conta le permutazioni di n oggetti; le k-sequenze senza ripetizione di Iₙ sono n!/(n−k)!. Principio di divisione: se ogni elemento di Y corrisponde a esattamente m elementi di X, |Y| = |X|/m. Da qui i k-sottoinsiemi di Iₙ sono C(n,k) = n!/(k!(n−k)!) (ogni insieme viene da k! sequenze). Anagrammi di una parola con k₁, …, kₙ ripetizioni: k!/(k₁!⋯kₙ!). Procedura: strutture ordinate → sequenze e PM; non ordinate → insiemi o principio di divisione; contare solo alla fine. Stirling: n! ~ √(2πn)(n/e)ⁿ.Sottoinsiemi, principio di divisione e anagrammi →

• $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$; $|A\times B|=|A||B|$; $|A^c|=|X|-|A|$. Due insiemi finiti hanno la stessa cardinalità $\iff$ esiste una biiezione.
• Principio di moltiplicazione: costruzione in $n$ fasi con $m_1,\dots,m_n$ esiti, e l'oggetto finale determina gli esiti di ogni fase $\Rightarrow|X|=m_1\cdots m_n$. $k$-sequenze di $I_n$: $n^k$ (uguali alle $n$-spartizioni di $I_k$); sottoinsiemi di $I_n$: $2^n$.
• Permutazioni: $n!$. $k$-sequenze senza ripetizione: $\frac{n!}{(n-k)!}$ ($0$ se $k>n$). Principio di divisione: ogni $y$ viene da $m$ elementi di $X\Rightarrow|Y|=|X|/m$.
• $k$-sottoinsiemi di $I_n$: $\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}$; $\binom nk=\binom n{n-k}$; $\sum_k\binom nk=2^n$; Stiefel $\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}k=\binom nk$; $(x+y)^n=\sum_j\binom njx^jy^{n-j}$. Anagrammi con ripetizioni $k_1,\dots,k_n$ ($\sum k_i=k$): $\frac{k!}{k_1!\cdots k_n!}$.

Spazi di probabilità

Note: Probabilità uniforme su uno spazio finitoSu uno spazio campionario finito Ω con esiti equiprobabili la probabilità uniforme è P(A) = |A|/|Ω| (casi favorevoli su casi possibili); equivalentemente P({ω}) = 1/|Ω| per ogni esito. Gli eventi sono i sottoinsiemi di Ω. Proprietà: P(∅) = 0, P(Ω) = 1, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), P(Aᶜ) = 1 − P(A). Scegliere Ω in modo che gli esiti siano davvero equiprobabili è una scelta di modello, non di matematica (dado con facce ripetute, somma di due dadi, paradosso dei compleanni).Probabilità uniforme su uno spazio finito → · Definizione assiomatica e continuità della probabilitàUna probabilità su Ω è P : eventi → [0,1] con P(∅) = 0, P(Ω) = 1 e σ-additività: P(⋃Aᵢ) = Σ P(Aᵢ) per eventi a due a due disgiunti (anche infiniti numerabili). Ne seguono additività finita, monotonia (E ⊆ F ⇒ P(E) ≤ P(F)), P(F∖E) = P(F) − P(E) e inclusione-esclusione. Esempi: pesi pₖ ≥ 0 con Σpₖ = 1 su spazi finiti o numerabili; la lunghezza su [0,1] e l'area sul quadrato; infiniti lanci di moneta. Continuità: per eventi crescenti P(⋃Eᵢ) = lim P(Eᵢ), per decrescenti P(⋂Eᵢ) = lim P(Eᵢ).Definizione assiomatica e continuità della probabilità →

• Uniforme su $\Omega$ finito: $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$, cioè $P(\{\omega\})=\frac1{|\Omega|}$.
• Probabilità: $P:\mathcal P(\Omega)\to[0,1]$, $P(\emptyset)=0$, $P(\Omega)=1$, $\sigma$-additività $P(\bigcup A_i)=\sum P(A_i)$ per eventi a due a due disgiunti. Seguono: $P(A^c)=1-P(A)$; $E\subseteq F\Rightarrow P(E)\le P(F)$ e $P(F\setminus E)=P(F)-P(E)$.
• Inclusione-esclusione: $P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1A_2)$; per tre eventi $\sum P(A_i)-\sum_{i<j}P(A_iA_j)+P(A_1A_2A_3)$.
• Continuità: $E_1\subseteq E_2\subseteq\cdots\Rightarrow P(\bigcup E_i)=\lim P(E_i)$; $E_1\supseteq E_2\supseteq\cdots\Rightarrow P(\bigcap E_i)=\lim P(E_i)$.

Probabilità condizionata e indipendenza

Note: Probabilità condizionata e formula del prodottoLa probabilità di E condizionata a F (con P(F) > 0) è P(E | F) = P(E ∩ F)/P(F): la probabilità di E "sapendo che F si è realizzato". E ↦ P(E | F) è a sua volta una probabilità; se P è uniforme, P(· | F) è uniforme su F. Ne seguono P(E ∩ F) = P(E | F) P(F) e la formula del prodotto P(A₁⋯Aₙ) = P(A₁) P(A₂ | A₁) P(A₃ | A₁A₂) ⋯ P(Aₙ | A₁⋯Aₙ₋₁), utile per le estrazioni successive.Probabilità condizionata e formula del prodotto → · Formula della partizione e formula di BayesFormula di inversione: P(F | E) = P(E | F) P(F)/P(E). Formula della partizione (probabilità totale): se F₁, …, Fₙ sono una partizione di Ω con P(Fᵢ) > 0, P(E) = Σ P(E | Fᵢ) P(Fᵢ). Formula di Bayes: P(Fⱼ | E) = P(E | Fⱼ) P(Fⱼ) / Σ P(E | Fᵢ) P(Fᵢ): aggiorna la probabilità delle "cause" Fⱼ dopo aver osservato l'effetto E. Classici: test medici (con malattia rara un positivo è spesso un falso positivo), la carta verde/arancione (1/3, non 1/2), Monty Hall (conviene cambiare: 2/3).Formula della partizione e formula di Bayes → · Eventi indipendenti e indipendenza condizionataA e B sono indipendenti se P(AB) = P(A)P(B), cioè (se P(B) > 0) P(A | B) = P(A): sapere B non cambia la probabilità di A. Se A, B sono indipendenti lo sono anche A e Bᶜ. Tre eventi sono indipendenti se lo sono a coppie E P(ABC) = P(A)P(B)P(C): l'indipendenza a coppie non basta. Prove ripetute indipendenti: le probabilità si moltiplicano. Indipendenza condizionata a F: P(AB | F) = P(A | F)P(B | F); non implica l'indipendenza (due lanci della stessa moneta scelta a caso). Eventi disgiunti con probabilità positive non sono mai indipendenti.Eventi indipendenti e indipendenza condizionata →

• $P(F)\ne0$: $\displaystyle P(E\mid F)=\frac{P(E\cap F)}{P(F)}$; $P(\cdot\mid F)$ è una probabilità (uniforme su $F$ se $P$ lo è). $P(E\cap F)=P(E\mid F)P(F)$; prodotto: $P(A_1\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)\cdots P(A_n\mid A_1\cdots A_{n-1})$.
• PartizioneEventi a due a due disgiunti la cui unione è tutto lo spazio Ω. $\{F_i\}$ di $\Omega$ con $P(F_i)>0$: $\displaystyle P(E)=\sum_iP(E\mid F_i)P(F_i)$. Bayes: $\displaystyle P(F_j\mid E)=\frac{P(E\mid F_j)P(F_j)}{\sum_iP(E\mid F_i)P(F_i)}$; inversione $P(F\mid E)=\frac{P(E\mid F)P(F)}{P(E)}$.
• $A,B$ indipendenti se $P(AB)=P(A)P(B)$ (equivale a $P(A\mid B)=P(A)$ se $P(B)>0$); allora lo sono anche $A,B^c$. Tre eventi: indipendenti a coppie e $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$. Indipendenza condizionata: $P(AB\mid F)=P(A\mid F)P(B\mid F)$ (non implica l'indipendenza).

Variabili aleatorie discrete

Note: Variabili aleatorie discrete e funzione di distribuzioneUna variabile aleatoria è una funzione X : Ω → R; {X ∈ A} = X⁻¹(A) è un evento. X è discreta se assume un insieme finito o numerabile di valori x₀, x₁, …; la densità discreta pₓ(x) = P(X = x) ha somma 1 e determina tutto: P(X ∈ A) = Σ_{xₖ∈A} pₓ(xₖ). La funzione di distribuzione Fₓ(x) = P(X ≤ x) è crescente, continua a destra, con limiti 0 e 1; P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a), P(X = a) = F(a) − F(a⁻) (il salto in a), P(X < a) = F(a⁻). Per una discreta F è a gradini. Bernoulli Be(p): vale 1 (successo) con probabilità p, 0 altrimenti.Variabili aleatorie discrete e funzione di distribuzione → · Variabili binomiale e geometricaIn n prove di Bernoulli indipendenti con successo di probabilità p, il numero di successi X ~ B(n,p) ha P(X = k) = C(n,k) pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ, k = 0,…,n; equivalentemente X è somma di n Bernoulli Be(p) indipendenti. Senza indipendenza (estrazioni senza reimmissione) la somma non è binomiale (legge ipergeometrica). Il numero di prove fino al primo successo X ~ Ge(p) ha P(X = k) = p(1−p)ᵏ⁻¹, k ≥ 1, e P(X > k) = (1−p)ᵏ; è senza memoria: P(X > k+m | X > k) = P(X > m) (i numeri ritardatari del lotto non sono "più probabili").Variabili binomiale e geometrica →

• V.a. $X:\Omega\to\mathbb R$ discreta; densità $p_X(x)=P(X=x)$ con $\sum_kp_X(x_k)=1$ e $P(X\in A)=\sum_{x_k\in A}p_X(x_k)$. Be$(p)$: $p_X(1)=p$, $p_X(0)=1-p$.
• $F_X(x)=P(X\le x)$: crescente, limiti $0$ e $1$, continua a destra; $P(a<X\le b)=F(b)-F(a)$; $P(X<a)=F(a^-)$; $P(X=a)=F(a)-F(a^-)$ (salto).
• Binomiale $X\sim B(n,p)$: $\displaystyle p_X(k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}$, $k=0,\dots,n$; somma di $n$ Be$(p)$ indipendenti.
• Geometrica $X\sim\mathrm{Ge}(p)$ (tempo del primo successo): $p_X(k)=p(1-p)^{k-1}$, $k\ge1$; $P(X>k)=(1-p)^k$; senza memoriaAver già fallito k volte non cambia la probabilità di dover attendere ancora m prove.: $P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)$.

La variabile di Poisson

Note: Variabile di Poisson e approssimazione della binomialeX ~ Po(λ), λ > 0, assume i valori 0, 1, 2, … con P(X = k) = e^{−λ} λᵏ/k!; λ è il numero medio di eventi. Nasce come limite della binomiale: se Xₙ ~ B(n, λ/n) allora P(Xₙ = k) → e^{−λ}λᵏ/k!. In pratica B(n,p) ≈ Po(np) se n è grande e p piccolo (regole del corso: n ≥ 20, p ≤ 0.05, p ≤ 10/n). Modella conteggi di eventi rari in un intervallo di tempo o spazio: telefonate, arrivi, terremoti, difetti, vincite.Variabile di Poisson e approssimazione della binomiale → · Somma di Poisson indipendenti e processo di PoissonSe X ~ Po(λ) e Y ~ Po(μ) sono indipendenti, X + Y ~ Po(λ + μ). Un processo di Poisson di intensità λ (eventi per unità di tempo) è una famiglia {Xₜ} in cui Xₜ ~ Po(λt) conta gli eventi in [0, t], gli incrementi X_{t+τ} − Xₜ ~ Po(λτ) dipendono solo dalla lunghezza τ dell'intervallo, e incrementi su intervalli disgiunti sono indipendenti. Quindi il numero di eventi in un intervallo non dipende da quanti ne sono avvenuti prima; la probabilità di nessun evento in un tempo τ è e^{−λτ}.Somma di Poisson indipendenti e processo di Poisson →

• $X\sim\mathrm{Po}(\lambda)$: $\displaystyle p_X(k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$, $k=0,1,2,\dots$. Se $X_n\sim B(n,\frac\lambda n)$ allora $P(X_n=k)\to e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$: in pratica $B(n,p)\approx\mathrm{Po}(np)$ se $n\ge20$, $p\le0{,}05$, $p\le\frac{10}n$.
• $X\sim\mathrm{Po}(\lambda)$, $Y\sim\mathrm{Po}(\mu)$ indipendenti $\Rightarrow X+Y\sim\mathrm{Po}(\lambda+\mu)$.
• Processo di Poisson di intensità $\lambda$: $X_t\sim\mathrm{Po}(\lambda t)$, $X_{t+\tau}-X_t\sim\mathrm{Po}(\lambda\tau)$, incrementi su intervalli disgiunti indipendenti; nessun evento in $\tau$ con probabilità $e^{-\lambda\tau}$.

Valore atteso e varianza

Note: Valore atteso di variabili discreteIl valore atteso di una v.a. discreta è la media dei valori pesata con le probabilità, E[X] = Σ xₖ P(X = xₖ) (se la serie converge assolutamente): il "baricentro" della distribuzione. Valori notevoli: Be(p) → p, B(n,p) → np, Po(λ) → λ, Ge(p) → 1/p. Per le composte E[g(X)] = Σ g(x) pₓ(x), senza cercare la legge di g(X); linearità E[aX + b] = aE[X] + b e E[X₁ + ⋯ + Xₘ] = Σ E[Xᵢ] sempre (anche senza indipendenza: i cappelli); E[XY] = E[X]E[Y] se X, Y sono indipendenti.Valore atteso di variabili discrete → · Varianza e covarianza di variabili discreteVar[X] = E[(X − μ)²] = E[X²] − μ² misura la dispersione attorno alla media μ = E[X]; σ = √Var è la deviazione standard. Var[aX + b] = a² Var[X]; la normalizzata (X − μ)/σ ha media 0 e varianza 1. Varianze notevoli: Be(p) → p(1−p), B(n,p) → np(1−p), Po(λ) → λ, Ge(p) → (1−p)/p². Cov[X,Y] = E[XY] − E[X]E[Y]; variabili indipendenti hanno covarianza nulla, ma non vale il viceversa (X uniforme su {−1,0,1} e X²). Var[X + Y] = Var X + Var Y + 2 Cov[X,Y]: per indipendenti le varianze si sommano.Varianza e covarianza di variabili discrete →

• $\displaystyle E[X]=\sum_ix_ip_X(x_i)$ (se $\sum|x_i|p_X(x_i)<\infty$); $E[g(X)]=\sum g(x)p_X(x)$; $E[aX+b]=aE[X]+b$; $E[X_1+\dots+X_m]=\sum E[X_i]$ sempre, anche senza indipendenza; $X,Y$ indipendenti $\Rightarrow E[XY]=E[X]E[Y]$.
• $\mathrm{Var}[X]=E[(X-\mu)^2]=E[X^2]-\mu^2$, $\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}}$; $\mathrm{Var}[aX+b]=a^2\mathrm{Var}[X]$; normalizzata $\frac{X-\mu}\sigma$ ha media $0$ e varianza $1$.
• $\mathrm{Cov}[X,Y]=E[XY]-E[X]E[Y]$; indipendenti $\Rightarrow\mathrm{Cov}=0$ (non viceversa); $\mathrm{Var}[X+Y]=\mathrm{Var}X+\mathrm{Var}Y+2\mathrm{Cov}[X,Y]$; per indipendenti le varianze si sommano.

Variabili aleatorie continue

Note: Variabili aleatorie continue - uniforme ed esponenzialeX è continua se esiste una densità fₓ ≥ 0 con P(X ∈ (a,b)) = ∫ₐᵇ fₓ e ∫R fₓ = 1; allora P(X = x) = 0 per ogni x, Fₓ(x) = ∫{−∞}^x fₓ, e se Fₓ è continua e C¹ a tratti X è continua con fₓ = Fₓ'. Uniforme U(a,b): densità 1/(b−a) su (a,b), P(X ∈ [c,d]) = (d−c)/(b−a). Esponenziale Exp(λ): tempo d'attesa del primo evento in un processo di Poisson, P(T > t) = e^{−λt}, densità λe^{−λt} per t > 0; è senza memoria: P(T > t + s | T > s) = P(T > t). Per Y = g(X) con g monotona si passa dalla funzione di distribuzione.Variabili aleatorie continue - uniforme ed esponenziale → · Valore atteso e varianza di variabili continuePer X continua con densità fₓ: E[X] = ∫ x fₓ(x) dx (se |x| fₓ è integrabile in senso generalizzato), il baricentro della densità; E[g(X)] = ∫ g(x) fₓ(x) dx; Var[X] = E[X²] − E[X]². Valgono monotonia, linearità, Var[aX + b] = a² Var X, e Var[X + Y] = Var X + Var Y per indipendenti. U(a,b): media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Exp(λ): media 1/λ, varianza 1/λ² (deviazione standard = media); la mediana ln2/λ è minore della media.Valore atteso e varianza di variabili continue →

• $X$ continua: esiste $f_X\ge0$ con $P(X\in(a,b))=\int_a^bf_X$ e $\int_{\mathbb R}f_X=1$; $P(X=x)=0$; $F_X(x)=\int_{-\infty}^xf_X$; se $F_X$ è continua e $C^1$ a tratti, $f_X=F_X'$.
• $X\sim U(a,b)$: $f_X=\frac1{b-a}$ su $(a,b)$, $F_X=\frac{x-a}{b-a}$, $P(X\in[c,d])=\frac{d-c}{b-a}$.
• $T\sim\mathrm{Exp}(\lambda)$: $f_T=\lambda e^{-\lambda t}$ ($t>0$), $P(T>t)=e^{-\lambda t}$; senza memoria: $P(T>t+s\mid T>s)=P(T>t)$.
• $E[X]=\int xf_X\,dx$, $E[g(X)]=\int g(x)f_X(x)\,dx$, $\mathrm{Var}[X]=E[X^2]-E[X]^2$; stesse proprietà delle discrete (linearità, $\mathrm{Var}[aX+b]=a^2\mathrm{Var}X$).

Normale e teorema centrale del limite

Note: Variabili aleatorie normali (gaussiane)Z ~ N(0,1) ha densità e^{−x²/2}/√(2π) (normalizzata grazie all'integrale di Gauss), media 0, varianza 1, funzione di distribuzione Φ tabulata per x ≥ 0, con Φ(−x) = 1 − Φ(x). X ~ N(μ, σ²) se (X − μ)/σ ~ N(0,1), cioè X = μ + σZ: media μ, varianza σ², densità e^{−(x−μ)²/(2σ²)}/√(2πσ²). Si calcola sempre standardizzando: P(X ≤ a) = Φ((a − μ)/σ). Regola 68-95-99.7: P(|X − μ| ≤ σ) ≈ 0.683, ≤ 2σ ≈ 0.954, ≤ 3σ ≈ 0.997.Variabili aleatorie normali (gaussiane) → · Teorema centrale del limite e correzione di continuitàSe X₁, X₂, … sono i.i.d. con media μ e varianza σ², la somma standardizzata (X₁ + ⋯ + Xₙ − nμ)/√(nσ²) tende in distribuzione a N(0,1): P(Sₙ ≤ a) ≈ Φ((a − nμ)/√(nσ²)) per n grande, qualunque sia la legge delle Xᵢ (servono indipendenza e stessa legge). Per la media campionaria: media μ, varianza σ²/n. Casi particolari: B(n,p) ≈ N(np, np(1−p)) per n grande; Po(λ) ≈ N(λ, λ) per λ ≥ 50. Per variabili a valori interi si usa la correzione di continuità: P(X ≤ k) ≈ P(Y ≤ k + 0.5), P(X = k) ≈ P(k − 0.5 ≤ Y ≤ k + 0.5).Teorema centrale del limite e correzione di continuità →

• $Z\sim N(0,1)$: $f_Z(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, $\Phi(x)=\int_{-\infty}^xf_Z$, $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$, $E[Z]=0$, $\mathrm{Var}[Z]=1$.
• $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ se $Z=\frac{X-\mu}\sigma\sim N(0,1)$, cioè $X=\mu+\sigma Z$: $f_X=\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$. Si standardizza: $P(X\le a)=\Phi\big(\frac{a-\mu}\sigma\big)$. Regola 68-95-99,7: $P(|X-\mu|\le k\sigma)\approx0{,}683;\ 0{,}954;\ 0{,}997$ per $k=1,2,3$.
• TCL: $X_i$ i.i.d.Indipendenti e identicamente distribuite: indipendenti tra loro e con la stessa legge. con media $\mu$ e varianza $\sigma^2$, $S_n=X_1+\dots+X_n$: $\displaystyle P\Big(\frac{S_n-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\le a\Big)\to\Phi(a)$, quindi $P(S_n\le a)\approx\Phi\big(\frac{a-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\big)$. La media campionaria ha media $\mu$ e varianza $\sigma^2/n$.
• $B(n,p)\approx N(np,np(1-p))$ se $np$ e $n(1-p)$ sono grandi; $\mathrm{Po}(\lambda)\approx N(\lambda,\lambda)$ per $\lambda\ge50$. Correzione di continuità (valori interi): $P(X\le k)\approx P(Y\le k+0{,}5)$, $P(X=k)\approx P(k-0{,}5\le Y\le k+0{,}5)$.

Variabili aleatorie congiunte

Note: Variabili aleatorie congiunte discreteUna variabile congiunta discreta è una coppia (X, Y) di v.a. discrete; la densità congiunta è p_{X,Y}(a,b) = P(X = a, Y = b). Le marginali si ottengono sommando sull'altra variabile: pₓ(a) = Σ_y p_{X,Y}(a,y). Le marginali NON determinano la congiunta. X e Y sono indipendenti se e solo se p_{X,Y}(a,b) = pₓ(a) p_Y(b) per ogni (a,b). E[g(X,Y)] = Σ g(x,y) p_{X,Y}(x,y); in particolare E[XY] e Cov[X,Y] = E[XY] − E[X]E[Y].Variabili aleatorie congiunte discrete → · Variabili aleatorie congiunte continue(X, Y) è congiunta continua se esiste f_{X,Y} ≥ 0 con P((X,Y) ∈ A) = ∫∫A f{X,Y} dx dy e integrale totale 1 (le probabilità si calcolano con gli integrali doppi). Uniforme su C: densità 1/Area(C) su C. Marginali: fₓ(x) = ∫ f_{X,Y}(x,y) dy, f_Y(y) = ∫ f_{X,Y}(x,y) dx, nulle fuori dalle proiezioni del sostegno. E[g(X,Y)] = ∫∫ g f_{X,Y}. X, Y indipendenti ⇔ f_{X,Y}(x,y) = fₓ(x) f_Y(y); allora il sostegno è un rettangolo (prodotto cartesiano): un sostegno triangolare o circolare esclude l'indipendenza. Covarianza nulla non implica indipendenza (uniforme sul disco).Variabili aleatorie congiunte continue →

• Discrete: $p_{X,Y}(a,b)=P(X=a,Y=b)$; marginali $p_X(a)=\sum_yp_{X,Y}(a,y)$, $p_Y(b)=\sum_xp_{X,Y}(x,b)$ (non determinano la congiunta); $E[g(X,Y)]=\sum g(x,y)p_{X,Y}(x,y)$; indipendenti $\iff p_{X,Y}(a,b)=p_X(a)p_Y(b)$.
• Continue: $P((X,Y)\in A)=\iint_Af_{X,Y}$, $\iint_{\mathbb R^2}f_{X,Y}=1$; uniforme su $C$: densità $\frac1{\mathrm{Area}(C)}$. Marginali $f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y)\,dy$, $f_Y(y)=\int f_{X,Y}(x,y)\,dx$; $E[g(X,Y)]=\iint g\,f_{X,Y}$.
• Indipendenti $\iff f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$; se indipendenti il sostegno è un prodotto cartesiano (triangolo, disco o ellisse $\Rightarrow$ non indipendenti). Covarianza nulla non implica indipendenza.

Leggi dei grandi numeri

Note: Disuguaglianza di Chebyshev e legge dei grandi numeriMarkov: se X ≥ 0, P(X ≥ a) ≤ E[X]/a. Chebyshev: P(|X − μ| ≥ ε) ≤ Var[X]/ε², valida per ogni legge (stime grossolane ma universali). Legge debole dei grandi numeri: per X₁, X₂, … i.i.d. con media μ e varianza finita, P(|X̄ₙ − μ| ≥ ε) ≤ σ²/(nε²) → 0. Legge forte: con probabilità 1 la media campionaria X̄ₙ tende a μ; in particolare la frequenza dei successi in prove indipendenti tende alla probabilità p, giustificando l'idea frequentista.Disuguaglianza di Chebyshev e legge dei grandi numeri →

• Markov: $X\ge0$, $a>0$: $\displaystyle P(X\ge a)\le\frac{E[X]}a$. Chebyshev: $\displaystyle P(|X-\mu|\ge\varepsilon)\le\frac{\mathrm{Var}[X]}{\varepsilon^2}$ (vale per ogni legge).
• Legge debole: $X_i$ i.i.d. con media $\mu$ e varianza $\sigma^2$: $\displaystyle P(|\bar X_n-\mu|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\to0$. Legge forte: $P\big(\lim_n\frac{X_1+\dots+X_n}n=\mu\big)=1$.