Formulario · Fondamenti di Analisi Matematica e Probabilità

1. Spazio Rn e curve

Norma, distanza e prodotto scalare in Rn

Definizione. La norma (o modulo) di $x = (x_1, \dots, x_n)$ è $|x| := \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$ La distanza tra due punti $x, y \in \mathbb{R}^n$ è $\operatorname{dist}(x, y) := |x - y|$ .

Esempio. La distanza tra $(1, 2, 3)$ e $(4, 6, 3)$ è $|(1 - 4, 2 - 6, 3 - 3)| = |(-3, -4, 0)| = \sqrt{9 + 16 + 0} = 5$ .

Definizione. Il prodotto scalare di $x = (x_1, \dots, x_n)$ e $y = (y_1, \dots, y_n)$ è il numero $x \cdot y = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n$ Due vettori sono ortogonali se $x \cdot y = 0$ .

Proposizione (palle e cubi). Ogni palla contiene un cubo con lo stesso centro e viceversa: $B(p, r] \subseteq Q(p, r] \subseteq B(p, r\sqrt n]$

Insiemi aperti, chiusi, interno e frontiera in Rn

Definizione. Un intorno di $p \in \mathbb{R}^n$ è un qualunque insieme che contiene una palla centrata in $p$ (di raggio positivo, anche piccolissimo).

Grafico interattivo: Il semipiano {y ≥ x} non è un intorno dell'origine: il disco di centro (0, 0), anche piccolissimo, contiene punti con y < x, fuori dal semipiano (la retta y = x è il suo bordo)

Definizione. Sia $D \subseteq \mathbb{R}^n$ . Un punto $p \in D$ è interno a $D$ se esiste $\delta > 0$ tale che $B(p, \delta[ \subseteq D$ . L'insieme dei punti interni si indica con $\operatorname{int}(D)$ .

Definizione. $D$ è aperto se ogni suo punto è interno ( $D = \operatorname{int}(D)$ ). $D$ è chiuso se il suo complementare $\mathbb{R}^n \setminus D$ è aperto.

Esempio: un disco aperto è aperto. Sia $p \in B(c, r[$ , cioè $|p - c| < r$ . Scegliamo $\delta = r - |p - c| > 0$ (la distanza di $p$ dal bordo). Se $|x - p| < \delta$ , per la disuguaglianza triangolare $|x - c| \le |x - p| + |p - c| < \delta + |p - c| = r$ quindi $x \in B(c, r[$ . Ogni punto ha una pallina tutta dentro: il disco è aperto. Il disco chiuso $B(c, r]$ invece non è aperto: un punto del cerchio $|p - c| = r$ non ha nessuna pallina dentro il disco.

Definizione. La frontiera (o bordo) $\partial D$ è l'insieme dei punti $p \in \mathbb{R}^n$ tali che ogni intorno di $p$ contiene sia punti di $D$ sia punti di $\mathbb{R}^n \setminus D$ .

Definizione. La chiusura di $D$ è $\overline{D} := D \cup \partial D$ . È il più piccolo insieme chiuso che contiene $D$ .

Proposizione. $p \in \overline D$ se e solo se ogni intorno di $p$ contiene punti di $D$ .

Esempio. Per il disco aperto $D = B(0, 1[$ del piano: $\operatorname{int}(D) = D$ , $\partial D = \{|x| = 1\}$ (il cerchio unitario), $\overline D = B(0, 1]$ . Per il disco chiuso: stesso interno, stessa frontiera, stessa chiusura; cambia solo il fatto che la frontiera appartiene all'insieme.

Curve parametriche e sostegno

Definizione. Una funzione vettoriale è una funzione $f : I \to \mathbb{R}^n$ , con $I \subseteq \mathbb{R}$ intervallo, $t \mapsto f(t) = (f_1(t), \dots, f_n(t))$ Le $f_i : I \to \mathbb{R}$ sono le componenti. Se le componenti sono continue e $I = [a, b]$ è chiuso e limitato, $f$ si dice curva (parametrica). Il sostegno di $f$ è l'immagine $f([a, b]) = \{f(t) : t \in [a, b]\} \subseteq \mathbb{R}^n$ $f(a)$ è il punto iniziale, $f(b)$ il punto finale.

Definizione. Sia $f : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ una curva.

$f$ è chiusa se $f(a) = f(b)$ (torna al punto di partenza);

$f$ è semplice se non passa due volte per lo stesso punto: non esistono $a \le t_1 < t_2 \le b$ con $f(t_1) = f(t_2)$ , con l'unica eccezione ammessa $t_1 = a$ , $t_2 = b$ .

Definizione. Sia $f : I \to \mathbb{R}^n$ e $t_0$ un punto di $I$ o un suo estremo. Si scrive $\lim_{t \to t_0} f(t) = \ell \in \mathbb{R}^n$ se $\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 : \quad 0 < |t - t_0| < \delta,\ t \in I \implies |f(t) - \ell| < \varepsilon$

Proposizione (componente per componente). $\lim_{t \to t_0} f(t) = \ell$ se e solo se $\lim_{t \to t_0} f_i(t) = \ell_i$ per ogni $i = 1, \dots, n$ .

Esempio. $\displaystyle\lim_{t \to 0}\left(\frac{\sin t}{t},\ \log(t^2 + 1)\right) = (1, 0)$ : la prima componente è un limite notevole, la seconda tende a $\log 1 = 0$ per continuità.

Derivata di una curva e retta tangente

Definizione. Sia $f : I \to \mathbb{R}^n$ e $t_0 \in I$ . $f$ è derivabile in $t_0$ se esiste in $\mathbb{R}^n$ il limite $f'(t_0) := \lim_{t \to t_0} \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}$ detto derivata di $f$ in $t_0$ .

Proposizione (componente per componente). $f = (f_1, \dots, f_n)$ è derivabile in $t_0$ se e solo se lo sono tutte le componenti, e in tal caso $f'(t_0) = (f_1'(t_0), \dots, f_n'(t_0))$

Esempio. $f(t) = (\cos t, e^{2t})$ è derivabile in ogni $t$ e $f'(t) = (-\sin t, 2e^{2t})$ .

Definizione. Se $f$ è derivabile in $t_0$ e $f'(t_0) \ne 0$ , il vettore $f'(t_0)$ si dice vettore tangente alla curva in $t_0$ , e la retta tangente è $\{f(t_0) + \lambda\,f'(t_0) : \lambda \in \mathbb{R}\}$ La curva è regolare se $f'(t) \ne 0$ per ogni $t$ .

Esempio (curva cartesiana). Per $f(t) = (t, h(t))$ si ha $f'(t) = (1, h'(t))$ , mai nullo: le curve cartesiane con $h$ derivabile sono sempre regolari. La retta tangente $\{(t_0 + \lambda,\ h(t_0) + \lambda h'(t_0))\}$ è la solita retta tangente al grafico, di pendenza $h'(t_0)$ .

Proposizione. Se $f$ è derivabile in $t_0$ , $f(t) = f(t_0) + f'(t_0)\,(t - t_0) + R(t), \qquad \lim_{t \to t_0}\frac{R(t)}{t - t_0} = 0$

Esempio del prof. $f : [0, 1] \to \mathbb{R}^2$ derivabile con $f(0) = (5, 1)$ e $f'(0) = (-10, 2)$ . Stima di $f(0.1)$ : $f(0.1) \approx (5, 1) + (-10, 2)\cdot 0.1 = (5 - 1,\ 1 + 0.2) = (4,\ 1.2)$ Un caso in cui la derivata va prima ricavata da dati discreti è nell'Esercizio 5 · stimare una posizione con la retta tangente.

Grafico interattivo: Stima di f(0,1) con la retta tangente: da f(0) = (5, 1) con velocità f′(0) = (−10, 2) si arriva a f(0) + 0,1·f′(0) = (4; 1,2); la retta tangente è x + 5y = 10

Lunghezza di una curva

Definizione. La curva $f$ è rettificabile se $L(f) := \sup_{\pi} V_f(\pi)$ (al variare di tutte le suddivisioni di $[a, b]$ ) è finito. Il numero $L(f)$ è la lunghezza di $f$ .

Definizione. Data $g : [a, b] \to \mathbb{R}$ continua e una suddivisione $a = t_0 < \cdots < t_{m+1} = b$ , la somma di Riemann associata è $\sum_{i=0}^{m} g(t_{i+1})\,(t_{i+1} - t_i)$ Proposizione. Quando il passo della suddivisione (la massima ampiezza $t_{i+1} - t_i$ ) tende a $0$ , le somme di Riemann tendono a $\displaystyle\int_a^b g(t)\,dt$ .

Esempio del prof. $\displaystyle\lim_{m \to +\infty}\frac1m\sum_{i=0}^{m-1}e^{(i+1)/m}$ . Si riconosce una somma di Riemann di $g(x) = e^x$ su $[0, 1]$ con la suddivisione in $m$ parti uguali: $t_i = \frac im$ , ampiezza $t_{i+1} - t_i = \frac1m$ , e $g(t_{i+1}) = e^{(i+1)/m}$ . Il passo $\frac1m \to 0$ , quindi $\lim_{m \to +\infty}\frac1m\sum_{i=0}^{m-1}e^{(i+1)/m} = \int_0^1 e^x\,dx = e - 1 \approx 1.718$ (con $m = 1000$ la somma vale $1.7191$ ). Altri esempi nell'Esercizio 11 · limiti di somme di Riemann.

Teorema. Se $f : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ è di classe $C^1$ , allora $f$ è rettificabile e $L(f) = \int_a^b |f'(t)|\,dt$

Proposizione. Se $\rho \in C^1([a, b])$ , la curva è rettificabile e $L(f) = \int_a^b\sqrt{\rho'(t)^2 + \rho(t)^2}\,dt$

Parametrizzazioni equivalenti e ascissa curvilinea

Definizione. Due curve $f : I \to \mathbb{R}^n$ e $g : J \to \mathbb{R}^n$ ( $I$ , $J$ intervalli) sono equivalenti se esiste una biiezione $\varphi : I \to J$ di classe $C^1$ con $\varphi'(t) \ne 0$ per ogni $t$ , tale che $f(t) = g(\varphi(t)) \qquad \forall t \in I$

Esempio. $f(t) = (\cos 2t, \sin 2t)$ , $t \in [0, \pi]$ e $g(u) = (\cos u, \sin u)$ , $u \in [0, 2\pi]$ sono equivalenti con $\varphi(t) = 2t$ . Anche $h(t) = (\cos t, -\sin t)$ , $t \in [0, 2\pi]$ , è equivalente a $g$ con $\varphi(t) = 2\pi - t$ (decrescente: $h$ gira in senso orario). Invece $(\cos t, \sin t)$ con $t \in [0, 4\pi]$ non è equivalente a $g$ : percorre il cerchio due volte, e non esiste una biiezione tra i parametri che faccia coincidere le due curve.

Teorema. Se $f$ e $g$ sono parametrizzazioni equivalenti di classe $C^1$ , allora $L(f) = L(g)$ .

Definizione. Data una curva $f : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ , l'ascissa curvilinea del punto $f(t)$ è la lunghezza dell'arco percorso da $a$ a $t$ : $s = \varphi(t) := L\big(f|_{[a, t]}\big), \qquad t \in [a, b]$

Definizione. La riparametrizzazione con la lunghezza d'arco di $f$ è $g(s) = f(\varphi^{-1}(s)), \qquad s \in [0, L_f]$

Esempio del prof (cerchio). $f(t) = R(\cos t, \sin t)$ , $t \in [0, 2\pi]$ .

$|f'(t)| = R$ , quindi $s = \int_0^t R\,du = Rt$ .
$t = \frac sR$ .
$g(s) = R\left(\cos\frac sR, \sin\frac sR\right)$ , $s \in [0, 2\pi R]$ .

2. Funzioni di più variabili e limiti

Limiti e continuità in più variabili

Proprietà. Se $f, g$ sono continue in $p$ , lo sono $cf$ , $f + g$ , $fg$ e $f/g$ (se $g(p) \ne 0$ ). Se $h$ è una funzione di una variabile continua in $f(p)$ , la composta $h \circ f$ è continua in $p$ .

Esempio. $\displaystyle\lim_{(x, y) \to (1/2,\,0)}\sqrt{1 - x^2 - y^2} = \sqrt{1 - \frac14 - 0} = \frac{\sqrt3}{2}$ : la funzione è continua nel disco chiuso unitario e $(\frac12, 0)$ ci sta dentro.

Calcolo dei limiti in due variabili - restrizioni, stime e coordinate polari

Proposizione. Sia $f : D \to \mathbb{R}$ , $E \subseteq D$ e $p$ di accumulazione per $E$ . Se $\lim_{x \to p,\ x \in D}f(x) = \ell$ (finito o infinito), allora anche $\lim_{x \to p,\ x \in E}f(x) = \ell$ .

Proposizione (stime uniformi). Se per ogni $x \in D \setminus \{p\}$ $|f(x) - \ell| \le h(x) \qquad \text{con} \quad \lim_{x \to p}h(x) = 0$ allora $\lim_{x \to p}f(x) = \ell$ .

Esempio. $\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^2y}{x^2 + y^2} = 0$ , perché $\left|\frac{x^2y}{x^2 + y^2}\right| = \underbrace{\frac{x^2}{x^2 + y^2}}_{\le 1}\,|y| \le |y| \to 0$

Corollario. Sia $f$ definita in $B(p, r] \setminus \{p\}$ . Se per ogni $\rho \in\, ]0, r]$ e ogni $t$ $|f(p_1 + \rho\cos t,\ p_2 + \rho\sin t) - \ell| \le h(\rho) \qquad \text{con} \quad \lim_{\rho \to 0^+}h(\rho) = 0$ allora $\lim_{(x, y) \to p}f(x, y) = \ell$ .

Esempio del prof. $\displaystyle\frac{x^2y}{x^2 + y^2}$ in $(0, 0)$ : in polari $\frac{\rho^2\cos^2 t\cdot\rho\sin t}{\rho^2} = \rho\cos^2 t\sin t, \qquad |\rho\cos^2 t\sin t| \le \rho = h(\rho) \to 0$ (perché $|\cos t| \le 1$ e $|\sin t| \le 1$ ). Il limite è $0$ .

Proposizione (incollamento). Se $D = D_1 \cup \dots \cup D_m$ , $p$ è di accumulazione per ogni $D_i$ e il limite di $f$ ristretta a ogni $D_i$ vale lo stesso $\ell$ , allora $\lim_{x \to p,\ x \in D}f(x) = \ell$ .

3. Calcolo differenziale in più variabili

Derivate direzionali e parziali

Definizione. Siano $D \subseteq \mathbb{R}^n$ , $p \in \operatorname{int}(D)$ , $u \in \mathbb{R}^n$ e $f : D \to \mathbb{R}$ . La derivata direzionale di $f$ in $p$ lungo $u$ è il limite, se esiste finito, $D_u f(p) = \partial_u f(p) := \lim_{t \to 0}\frac{f(p + tu) - f(p)}{t}$

Esempio 1. $f(x, y) = x^2 + y^2$ , $p = (p_1, p_2)$ , $u = (u_1, u_2)$ : $g(t) = (p_1 + tu_1)^2 + (p_2 + tu_2)^2, \qquad g'(t) = 2u_1(p_1 + tu_1) + 2u_2(p_2 + tu_2)$ $D_u f(p) = g'(0) = 2p_1u_1 + 2p_2u_2 = 2\,p \cdot u$

Definizione. La $i$ -esima derivata parziale di $f$ in $p$ è, se esiste, la derivata direzionale lungo il vettore $e_i$ della base canonica ( $e_1 = (1, 0, \dots, 0)$ , ecc.): $\frac{\partial f}{\partial x_i}(p) = \partial_{x_i}f(p) = f_{x_i}(p) := D_{e_i}f(p)$

Esempio. $f(x, y) = x^2 + 2xy$ .

Con la definizione: $\frac{f(x + t, y) - f(x, y)}{t} = \frac{(x + t)^2 + 2(x + t)y - x^2 - 2xy}{t} = \frac{2xt + t^2 + 2ty}{t} = 2x + t + 2y \to 2x + 2y$ .
Con lo stratagemma ( $y$ costante): $\partial_x f = 2x + 2y$ , e ( $x$ costante) $\partial_y f = 2x$ .

Gradiente e direzione di massima crescita

Definizione. Se $f$ ha derivate parziali in $p \in \operatorname{int}(D)$ , il gradiente di $f$ in $p$ è il vettore $\nabla f(p) := \big(\partial_{x_1}f(p), \dots, \partial_{x_n}f(p)\big)$

Definizione. $f$ è di classe $C^1$ in un aperto se è continua e le sue derivate parziali esistono e sono continue in quell'aperto.

Esempio. $f(x, y) = x^2\sin(xy)$ è $C^1$ su $\mathbb{R}^2$ : $\partial_x f = 2x\sin(xy) + x^2y\cos(xy)$ e $\partial_y f = x^3\cos(xy)$ sono composizioni di polinomi e funzioni continue. In pratica, ogni funzione costruita con formule elementari è $C^1$ nell'aperto in cui le formule (e quelle delle derivate) hanno senso; i punti da studiare a parte sono quelli dove la formula cambia o non è definita.

Teorema (formula del gradiente). Se $f$ è di classe $C^1$ attorno a $p$ , allora $f$ ha derivata direzionale lungo ogni vettore e $D_u f(p) = \nabla f(p)\cdot u = \partial_{x_1}f(p)\,u_1 + \cdots + \partial_{x_n}f(p)\,u_n \qquad \forall u \in \mathbb{R}^n$ In particolare $u \mapsto D_u f(p)$ è lineare.

Proposizione. Sia $f$ di classe $C^1$ attorno a $p$ con $\nabla f(p) \ne 0$ . Al variare dei versori $u$ ( $|u| = 1$ ):

$D_u f(p)$ è massima per $u_{\max} = \dfrac{\nabla f(p)}{|\nabla f(p)|}$ , e vale $D_{u_{\max}}f(p) = |\nabla f(p)|$ ;

$D_u f(p)$ è minima per $u_{\min} = -\dfrac{\nabla f(p)}{|\nabla f(p)|}$ , e vale $-|\nabla f(p)|$ ;

$D_u f(p) = 0$ per i versori ortogonali a $\nabla f(p)$ .

Esempio del prof: la montagna $f(x, y) = 1000\,e^{-(x^2 + 5y^2)}$ , nel punto $(10, -8)$ .

Grafico interattivo: La montagna f = 1000·e^(−(x² + 5y²)) in (10, −8): la curva di livello è l'ellisse x² + 5y² = 420; il gradiente ∝ (−1, 4) è perpendicolare ad essa e punta verso l'interno, ma non verso la vetta (l'origine)

Differenziabilità, piano tangente e linearizzazione

Definizione. Se $f$ ha derivate parziali in $p$ , lo spazio tangente al grafico di $f$ in $(p, f(p))$ è $\{(p, f(p)) + (u,\ \nabla f(p)\cdot u) : u \in \mathbb{R}^n\} = \{(x, z) : z = f(p) + \nabla f(p)\cdot(x - p)\}$

Esempio del prof. Piano tangente a $z = f(x, y) = x\cos y - y\,e^x$ in $(0, \pi, f(0, \pi))$ .

$f(0, \pi) = 0\cdot\cos\pi - \pi\,e^0 = -\pi$ ;
$f_x = \cos y - y\,e^x$ , in $(0, \pi)$ : $\cos\pi - \pi = -1 - \pi$ ;
$f_y = -x\sin y - e^x$ , in $(0, \pi)$ : $0 - 1 = -1$ .

Definizione. $f$ è differenziabile in $p$ se ha derivate parziali in $p$ e $f(x) = f(p) + \nabla f(p)\cdot(x - p) + R(x), \qquad \lim_{x \to p}\frac{R(x)}{|x - p|} = 0$ La funzione affine $L(x) := f(p) + \nabla f(p)\cdot(x - p)$ è la linearizzazione di $f$ in $p$ .

Proposizione. Se $f$ è di classe $C^1$ attorno a $p$ , allora $f$ è differenziabile in $p$ .

Esempio del prof: quale delle due è differenziabile nell'origine? $f(x, y) = x^2 + y^2$ e $g(x, y) = \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$ (con $g(0,0) = 0$ ). Entrambe hanno gradiente nullo nell'origine, quindi il candidato piano tangente è $z = 0$ e bisogna vedere se $\frac{f}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ e $\frac{g}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ tendono a $0$ .

$\frac{x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \sqrt{x^2 + y^2} \to 0$ : $f$ è differenziabile (del resto è $C^1$ ).
Per $g$ la tabella (simile a quella del prof, ricalcolata con Python) mostra punti vicinissimi all'origine in cui il rapporto è grande:

Proposizione 1. Se $f$ è differenziabile in $p$ , allora $f$ è continua in $p$ .

Proposizione 2 (formula del gradiente). Se $f$ è differenziabile in $p$ , allora per ogni $u \in \mathbb{R}^n$ $D_u f(p) = \nabla f(p)\cdot u$

Regola della catena in più variabili

Teorema (regola della catena). Sia $x : I \subseteq \mathbb{R} \to D$ una curva derivabile in $t_0$ e $f : D \to \mathbb{R}$ differenziabile in $x(t_0)$ . Allora $t \mapsto f(x(t))$ è derivabile in $t_0$ e $(f \circ x)'(t_0) = \nabla f(x(t_0))\cdot x'(t_0) = \partial_{x_1}f(x(t_0))\,x_1'(t_0) + \cdots + \partial_{x_n}f(x(t_0))\,x_n'(t_0)$

Proposizione. Sia $f$ di due variabili differenziabile in $p$ , e supponiamo che l'insieme di livello di $f$ passante per $p$ sia, vicino a $p$ , il sostegno di una curva $C^1$ . Allora $\nabla f(p)$ è perpendicolare alla retta tangente a quella curva in $p$ .

Esempio. Per $f(x, y) = x^2 + y^2$ le curve di livello sono cerchi centrati nell'origine e $\nabla f = 2(x, y)$ è radiale: perpendicolare ai cerchi ✓.

Derivate seconde e matrice hessiana

Definizione. Sia $D$ aperto e $f : D \to \mathbb{R}$ . Per $i, j \in \{1, \dots, n\}$ , la derivata seconda (o doppia) $\partial^2_{x_i x_j}f(p) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i\,\partial x_j}(p) = f_{x_j x_i}(p)$ è, se esiste, la derivata parziale rispetto a $x_i$ della funzione $\partial_{x_j}f$ , calcolata in $p$ . Per $i = j$ si scrive $\partial^2_{x_i^2}f(p) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}(p)$ .

Definizione. La matrice hessiana di $f$ in $p$ è la matrice $n \times n$ delle derivate seconde: $\operatorname{Hess}f(p) := \begin{pmatrix} \partial^2_{x_1^2}f(p) & \cdots & \partial^2_{x_1 x_n}f(p) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \partial^2_{x_n x_1}f(p) & \cdots & \partial^2_{x_n^2}f(p) \end{pmatrix}$

Esempio del prof. $f(x, y) = x\cos y + y\,e^x$ .

$f_x = \cos y + y\,e^x$ , $\quad f_y = -x\sin y + e^x$ ;
$f_{xx} = \partial_x(\cos y + y\,e^x) = y\,e^x$ ;
$f_{yx} = \partial_y(\cos y + y\,e^x) = -\sin y + e^x$ ;
$f_{xy} = \partial_x(-x\sin y + e^x) = -\sin y + e^x$ ;
$f_{yy} = \partial_y(-x\sin y + e^x) = -x\cos y$ .

Teorema (Schwarz). Sia $D$ aperto e $f : D \to \mathbb{R}$ di classe $C^2$ (derivate parziali seconde esistenti e continue). Allora per ogni $i, j$ e ogni $x \in D$ $\partial^2_{x_i x_j}f(x) = \partial^2_{x_j x_i}f(x)$

4. Massimi e minimi

Massimi e minimi liberi - punti critici e matrice hessiana

Teorema (Fermat). Se $f$ ha un massimo o minimo locale in $p$ interno a $D$ ed è derivabile lungo $u$ in $p$ , allora $D_u f(p) = 0$ . Corollario. Se inoltre $f$ ha derivate parziali in $p$ , allora $\nabla f(p) = 0$ : si dice che $p$ è un punto critico (o stazionario).

Definizione. $p$ è un punto di sella se è critico e non è né massimo né minimo locale, cioè in ogni palla $B(p, r[$ ci sono punti $x, y$ con $f(x) < f(p) < f(y)$ .

Criterio del determinante. Per $H = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ :

$\det H > 0$ e $a > 0$ $\iff$ definita positiva;

$\det H > 0$ e $a < 0$ $\iff$ definita negativa;

$\det H < 0$ $\iff$ indefinita;

$\det H = 0$ : semidefinita (positiva o negativa). Il caso $\det H > 0$ con $a = 0$ non può capitare: sarebbe $\det H = -b^2 \le 0$ .

Teorema (criterio dell'hessiana). Sia $f$ di classe $C^2$ e $p$ un punto critico interno al dominio. Con $\operatorname{Hess}f(p) = \begin{pmatrix} f_{xx}(p) & f_{xy}(p) \\ f_{xy}(p) & f_{yy}(p) \end{pmatrix}$ :

$\det\operatorname{Hess}f(p) > 0$ e $f_{xx}(p) > 0$ : $p$ è minimo locale stretto;

$\det\operatorname{Hess}f(p) > 0$ e $f_{xx}(p) < 0$ : $p$ è massimo locale stretto;

$\det\operatorname{Hess}f(p) < 0$ : $p$ è un punto di sella;

$\det\operatorname{Hess}f(p) = 0$ : il criterio non permette di concludere.

Esempio. In $(0,0)$ le tre funzioni $x^2 + y^2$ , $-x^2 - y^2$ , $x^2 - y^2$ hanno hessiane $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ : minimo, massimo, sella.

Massimi e minimi assoluti su domini chiusi e limitati

Teorema (Weierstrass). Sia $D \subseteq \mathbb{R}^n$ chiuso e limitato (compatto) e $f : D \to \mathbb{R}$ continua. Allora $f$ ha massimo e minimo assoluti su $D$ .

5. Integrali curvilinei e campi vettoriali

Integrale curvilineo di una funzione

Definizione. Siano $r : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ una curva di classe $C^1$ e $\mu : r([a, b]) \to \mathbb{R}$ continua. L'integrale curvilineo di $\mu$ su $r$ è $\int_r \mu\,ds = \int_r \mu(x_1, \dots, x_n)\,ds := \int_a^b \mu(r(t))\,|r'(t)|\,dt$

Esempio del prof. $\mu(x, y, z) = x - 3y^2 + z$ sul segmento $r(t) = (t, t, t)$ , $t \in [0, 1]$ . Qui $r'(t) = (1, 1, 1)$ , $|r'(t)| = \sqrt3$ , e $\mu(r(t)) = t - 3t^2 + t = 2t - 3t^2$ : $\int_r \mu\,ds = \int_0^1(2t - 3t^2)\sqrt3\,dt = \sqrt3\,\big[t^2 - t^3\big]_0^1 = 0$ (un integrale curvilineo può essere nullo o negativo: $\mu$ qui cambia segno lungo il segmento).

Definizione. Se $\mu \ge 0$ è continua e non identicamente nulla, il baricentro di $(r, \mu)$ è il punto $\frac{1}{\int_r \mu\,ds}\left(\int_r x_1\,\mu\,ds,\ \dots,\ \int_r x_n\,\mu\,ds\right)$ Con $\mu = 1$ si parla di baricentro geometrico.

Esempio del prof. Baricentro geometrico della semicirconferenza $r(t) = R(\cos t, \sin t)$ , $t \in [0, \pi]$ . Qui $|r'(t)| = R$ e $\int_r ds = \pi R$ (la lunghezza): $\frac{1}{\pi R}\left(\int_0^\pi R\cos t\cdot R\,dt,\ \int_0^\pi R\sin t\cdot R\,dt\right) = \frac{1}{\pi R}\big(0,\ 2R^2\big) = \left(0,\ \frac{2R}{\pi}\right)$ La prima coordinata è $0$ per simmetria; la seconda, $\frac{2R}{\pi} \approx 0.64R$ , è dentro il semicerchio, non sulla curva: il baricentro di un filo curvo in generale non sta sul filo.

Definizione. Una curva $r : [a, b] \to \mathbb{R}^n$ (continua) è $C^1$ a tratti, o un cammino, se esiste una suddivisione $a = t_0 < \dots < t_{m+1} = b$ tale che su ogni $[t_i, t_{i+1}]$ la restrizione $r_i$ sia di classe $C^1$ . Si pone $\int_r \mu\,ds := \sum_i\int_{r_i}\mu\,ds$

Campi vettoriali, campi radiali e campi gradiente

Definizione. Un campo vettoriale su $D \subseteq \mathbb{R}^n$ è una funzione $F : D \to \mathbb{R}^n, \qquad x \mapsto F(x) = (F_1(x), \dots, F_n(x))$

Esempio. $F(x, y) = (-y, x)$ : nel punto $(1, 0)$ la freccia è $(0, 1)$ (verso l'alto), in $(0, 1)$ è $(-1, 0)$ (verso sinistra). Le frecce sono sempre perpendicolari al raggio e lunghe quanto la distanza dall'origine: è il campo delle velocità di una rotazione rigida antioraria.

Definizione. Un campo su $\mathbb{R}^n$ è radiale se è della forma $F(x) = g(|x|)\,\frac{x}{|x|}, \qquad |x| \in I \subseteq\, ]0, +\infty[$

Definizione. Sia $D$ aperto. Un campo continuo $F : D \to \mathbb{R}^n$ è un campo gradiente se esiste $U : D \to \mathbb{R}$ di classe $C^1$ con $F = \nabla U, \qquad \text{cioè} \quad F_i = \partial_{x_i}U \ \text{ per ogni } i$ $U$ si dice primitiva di $F$ . In fisica si usa il potenziale $V := -U$ .

Esempio: campi "a variabili separate". Un campo del tipo $F(x_1, \dots, x_n) = (f_1(x_1), \dots, f_n(x_n))$ , in cui ogni componente dipende solo dalla "sua" variabile, è gradiente: se $u_i' = f_i$ , allora $\nabla\big(u_1(x_1) + \cdots + u_n(x_n)\big) = (f_1(x_1), \dots, f_n(x_n))$ Per esempio $F(x_1, x_2) = (-x_1,\ 2x_2e^{x_2^2})$ ha primitiva $U = -\frac12x_1^2 + e^{x_2^2}$ .

Proposizione. Ogni campo radiale continuo $F(x) = g(|x|)\frac{x}{|x|}$ è un campo gradiente, e una primitiva è $G(|x|)$ , dove $G' = g$ .

Esempio del prof. Primitiva di $F(x) = |x|^8x$ su $\mathbb{R}^3$ . Per $x \ne 0$ , $F(x) = |x|^9\frac{x}{|x|}$ : radiale con $g(r) = r^9$ , $G(r) = \frac{r^{10}}{10}$ . Quindi $U(x) = \frac{|x|^{10}}{10} = \frac{(x^2 + y^2 + z^2)^5}{10}$ è una primitiva su $\mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$ . In realtà lo è su tutto $\mathbb{R}^3$ : $U$ è un polinomio, e la formula $\nabla U = |x|^8x$ vale anche nell'origine (entrambi i membri sono nulli).

Integrale curvilineo di un campo vettoriale

Definizione. Sia $r : [a, b] \to D \subseteq \mathbb{R}^n$ un cammino e $F : D \to \mathbb{R}^n$ un campo continuo. L'integrale curvilineo di $F$ lungo $r$ è $\int_r F \cdot dr = \int_r F(x)\cdot dr := \int_a^b F(r(t))\cdot r'(t)\,dt$ Se $F$ è un campo di forze, è il lavoro di $F$ lungo $r$ . Se $r$ è chiuso (un circuito) si parla di circuitazione e si scrive $\oint_r F \cdot dr$ .

Esempio del prof. $F(x, y) = (-2x, y^2)$ lungo $r(t) = (t^2, 3t)$ , $t \in [0, 1]$ . $F(r(t)) = (-2t^2,\ 9t^2)$ , $r'(t) = (2t, 3)$ : $\int_r F \cdot dr = \int_0^1(-2t^2, 9t^2)\cdot(2t, 3)\,dt = \int_0^1(-4t^3 + 27t^2)\,dt = -1 + 9 = 8$

Campi conservativi e irrotazionali

Definizione. Un campo continuo $F : D \to \mathbb{R}^n$ è conservativo se per ogni coppia di cammini $r_1$ , $r_2$ in $D$ con gli stessi estremi $\int_{r_1}F\cdot dr = \int_{r_2}F\cdot dr$ o, equivalentemente, se per ogni circuito $r$ in $D$ si ha $\oint_r F\cdot dr = 0$ .

Teorema. Sia $F = \nabla U$ un campo gradiente su $D$ e $r : [a, b] \to D$ un cammino. Allora $\int_r F\cdot dr = U(r(b)) - U(r(a))$ In particolare ogni campo gradiente è conservativo. Vale anche il viceversa: un campo conservativo è un campo gradiente.

Esempio del prof. $U(x, y) = y^2\sin x$ e $r$ un qualsiasi cammino dall'origine a $\left(\frac\pi2, 1\right)$ : $\int_r\nabla U\cdot dr = U\left(\tfrac\pi2, 1\right) - U(0, 0) = 1\cdot 1 - 0 = 1$ senza nemmeno sapere com'è fatto il cammino.

Definizione. Sia $D$ aperto. Un campo $F : D \to \mathbb{R}^n$ di classe $C^1$ è irrotazionale se $\partial_{x_j}F_i = \partial_{x_i}F_j \qquad \text{per ogni } i, j$

Esempio del prof. $F(x_1, x_2) = (2x_1e^{x_2^3},\ 3x_1^2x_2^2e^{x_2^3})$ : $\partial_{x_2}F_1 = 6x_1x_2^2e^{x_2^3} = \partial_{x_1}F_2$ . Irrotazionale.

Proposizione (test delle derivate miste). Se $F$ è $C^1$ e conservativo su un aperto, allora è irrotazionale.

Definizione. Un aperto $D$ è semplicemente connesso se ogni circuito in $D$ si può contrarre con continuità a un punto restando dentro $D$ .

Teorema. Se $D$ è un aperto semplicemente connesso e $F : D \to \mathbb{R}^n$ è $C^1$ e irrotazionale, allora $F$ è conservativo. Corollario. Ogni campo $C^1$ irrotazionale su un aperto è localmente conservativo: attorno a ogni punto (in una palla) ha una primitiva.

Proposizione. Sia $\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$ aperto semplicemente connesso, $a_1, \dots, a_m \in \Omega$ , e $F$ un campo $C^1$ irrotazionale su $D = \Omega \setminus \{a_1, \dots, a_m\}$ . Allora $F$ è conservativo se e solo se, scelti $m$ cerchi $\gamma_1, \dots, \gamma_m$ in $D$ , ciascuno attorno a uno solo dei punti $a_i$ , si ha $\oint_{\gamma_i}F\cdot dr = 0$ per ogni $i$ .

Esempio del prof. $F(x, y) = \left(\frac{x}{x^2 + y^2}, \frac{y}{x^2 + y^2}\right)$ su $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$ . È irrotazionale ( $\partial_y F_1 = -\frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} = \partial_x F_2$ ) ed è radiale ( $F = \frac{1}{|x|}\frac{x}{|x|}$ , $g(r) = \frac1r$ ), quindi conservativo, con primitiva $\log|x| = \frac12\log(x^2 + y^2)$ . In accordo con la proposizione: sul cerchio unitario $F(r(t))\cdot r'(t) = (\cos t, \sin t)\cdot(-\sin t, \cos t) = 0$ .

6. Integrali doppi

Integrali doppi e formule di riduzione

Definizione. $f : [a, b]\times[c, d] \to \mathbb{R}$ limitata è integrabile (secondo Riemann) se le somme $\sum_i f(c_i)\operatorname{Area}(A_i)$ convergono quando il massimo dei diametri dei rettangolini tende a $0$ . Il limite si indica con $\displaystyle\int_{[a,b]\times[c,d]}f(x, y)\,dx\,dy$ ed è l'integrale doppio di $f$ .

Proposizione. Ogni funzione continua su un rettangolo chiuso è integrabile.

Teorema (formula di riduzione sui rettangoli). Se $f$ è integrabile su $[a, b]\times[c, d]$ , $\int_{[a,b]\times[c,d]}f\,dx\,dy = \int_a^b\left(\int_c^d f(x, y)\,dy\right)dx = \int_c^d\left(\int_a^b f(x, y)\,dx\right)dy$

Esempio del prof. $\int_0^2\int_0^1(4 - x - y)\,dy\,dx$ . Integrale interno ( $x$ fissato, si integra in $y$ ): $\int_0^1(4 - x - y)\,dy = \left[4y - xy - \frac{y^2}2\right]_0^1 = \frac72 - x$ Poi $\int_0^2\left(\frac72 - x\right)dx = \left[\frac72x - \frac{x^2}2\right]_0^2 = 7 - 2 = 5$ . Nell'altro ordine: $\int_0^2(4 - x - y)\,dx = 6 - 2y$ e $\int_0^1(6 - 2y)\,dy = 5$ ✓.

Definizione. $D$ è semplice rispetto a $x$ (o "normale rispetto all'asse $x$ ") se $D = \{(x, y) : x \in [a, b],\ \alpha(x) \le y \le \beta(x)\}$ con $\alpha, \beta : [a, b] \to \mathbb{R}$ continue. È semplice rispetto a $y$ se $D = \{(x, y) : y \in [c, d],\ \alpha(y) \le x \le \beta(y)\}$ .

Formule di riduzione. $D \text{ semplice rispetto a } x: \quad \int_D f\,dx\,dy = \int_a^b\left(\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x, y)\,dy\right)dx$ $D \text{ semplice rispetto a } y: \quad \int_D f\,dx\,dy = \int_c^d\left(\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)}f(x, y)\,dx\right)dy$

Esempio del prof. $D = \{0 \le x \le 1,\ x \le y \le 2x\}$ , $\int_D x\,e^y\,dx\,dy$ : $\int_0^1\left(\int_x^{2x}x\,e^y\,dy\right)dx = \int_0^1 x\,(e^{2x} - e^x)\,dx$ e per parti ( $\int x e^{kx} = e^{kx}\left(\frac xk - \frac{1}{k^2}\right)$ ): $\left[e^{2x}\left(\frac x2 - \frac14\right)\right]_0^1 - \big[e^x(x - 1)\big]_0^1 = \frac{e^2}4 + \frac14 - 1 = \frac{e^2 - 3}{4}$ .

Grafico interattivo: D = {0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2x}: il triangolo di vertici (0, 0), (1, 1), (1, 2); a x fissato la fetta verticale va dalla retta y = x alla retta y = 2x

Cambiamento di variabili negli integrali doppi

Definizione. Se $\varphi = (\varphi_1, \varphi_2)$ ha derivate parziali su un aperto, la matrice jacobiana è $\varphi'(u, v) = J\varphi(u, v) := \begin{pmatrix} \partial_u\varphi_1 & \partial_v\varphi_1 \\ \partial_u\varphi_2 & \partial_v\varphi_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \nabla\varphi_1 \\ \nabla\varphi_2 \end{pmatrix}$ e si indica $|\varphi'(u, v)| := |\det\varphi'(u, v)|$ .

Teorema (cambiamento di variabili). Siano $X, Y$ aperti di $\mathbb{R}^2$ e $\varphi : X \to Y$ biiettiva, di classe $C^1$ , con $\det\varphi' \ne 0$ . Siano $E \subseteq X$ limitato e $D = \varphi(E)$ (cioè $E = \varphi^{-1}(D)$ ). Allora $f$ è integrabile su $D$ se e solo se $(f \circ \varphi)\,|\det\varphi'|$ lo è su $E$ , e $\int_D f(x, y)\,dx\,dy = \int_E f(\varphi(u, v))\,|\det\varphi'(u, v)|\,du\,dv$

Integrali doppi in coordinate polari

Teorema (coordinate polari). Sia $D$ limitato e $E = \varphi^{-1}(D) = \{(\rho, t) \in [0, +\infty[\times[0, 2\pi] : (\rho\cos t, \rho\sin t) \in D\}$ . Allora $f$ è integrabile su $D$ se e solo se $f(\rho\cos t, \rho\sin t)\,\rho$ lo è su $E$ , e $\int_D f(x, y)\,dx\,dy = \int_E f(\rho\cos t, \rho\sin t)\,\rho\,d\rho\,dt$

Integrali doppi generalizzati e integrale di Gauss

Definizione. L'integrale iterato $\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)\,dy\right)dx$ esiste finito se:

per tutti gli $x$ , salvo al più un numero finito, $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)\,dy$ è finito;

la funzione $x \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)\,dy$ è integrabile in senso generalizzato. Analogamente con i ruoli di $x$ e $y$ scambiati.

Proposizione (riduzione per integrali generalizzati). $f : \mathbb{R}^2 \to [0, +\infty[$ è integrabile su $\mathbb{R}^2$ se e solo se uno dei due integrali iterati esiste finito. In tal caso entrambi coincidono con $\int_{\mathbb{R}^2}f\,dx\,dy$ . Osservazione. Se $f$ è integrabile sul piano, per ogni successione crescente di insiemi limitati $D_k$ che "invade" il piano ( $D_k \subseteq D_{k+1}$ , $\bigcup_k D_k = \mathbb{R}^2$ ) si ha $\int_{D_k}f \to \int_{\mathbb{R}^2}f$ .

Criterio (funzioni positive). Se $f \ge 0$ e, calcolando l'integrale con una formula di riduzione o un cambio di variabili, si ottiene un valore finito, allora $f$ è integrabile e l'integrale è quel valore.

Esempio del prof. $e^{-x/y}$ su $D = \{y > 0,\ x \ge y^2\}$ (illimitato a destra). Con le fette orizzontali ( $y$ fissato, $x$ da $y^2$ a $+\infty$ ): $\int_{y^2}^{+\infty}e^{-x/y}\,dx = \Big[-y\,e^{-x/y}\Big]_{y^2}^{+\infty} = y\,e^{-y}$ (per $y > 0$ , $e^{-x/y} \to 0$ per $x \to +\infty$ ). Poi $\int_0^{+\infty}y\,e^{-y}\,dy = 1$ (per parti). Il risultato è finito: $f$ è integrabile su $D$ e l'integrale vale $1$ .

Grafico interattivo: D = {y > 0, x ≥ y²}: la regione a destra della parabola x = y² nel semipiano y > 0, illimitata verso destra; a y fissato la fetta orizzontale va da x = y² a +∞

8. Superfici e integrali superficiali

Superfici parametriche e area

Definizione. Una superficie parametrica in $\mathbb{R}^3$ è una funzione continua $p : D \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3, \qquad p(u, v) = \big(p_1(u, v),\ p_2(u, v),\ p_3(u, v)\big)$ con $D$ chiuso e limitato. Il sostegno è $p(D) \subseteq \mathbb{R}^3$ . $p$ è di classe $C^1$ se le componenti sono $C^1$ su un aperto che contiene $D$ .

Definizione. Se $p : D \to \mathbb{R}^3$ è $C^1$ , $\operatorname{Area}(p) := \int_D|p_u(u, v) \times p_v(u, v)|\,du\,dv$ $|p_u \times p_v|$ è l'elemento d'area della superficie (si scrive anche $d\sigma = |p_u \times p_v|\,du\,dv$ ).

Esempio del prof (un parallelogramma). $p(u, v) = u\,\vec a + v\,\vec b$ , $(u, v) \in [0, 3]\times[0, 2]$ : il sostegno è il parallelogramma generato da $3\vec a$ e $2\vec b$ , di area $|3\vec a \times 2\vec b| = 6|\vec a \times \vec b|$ . Con la formula: $p_u = \vec a$ , $p_v = \vec b$ , e $\int_D|\vec a \times \vec b|\,du\,dv = |\vec a \times \vec b|\cdot\operatorname{Area}(D) = 6|\vec a \times \vec b|$ ✓.

Superfici di rotazione e teorema di Pappo-Guldino

Definizione. Siano $r : [a, b] \to \mathbb{R}^2$ una curva $C^1$ del piano $xy$ e $h \ge 0$ continua sul suo sostegno. Il trapezoide di $h$ sopra $r$ è la "parete" verticale $\operatorname{Trap}_r(h) := \{(r(t), z) : t \in [a, b],\ 0 \le z \le h(r(t))\}$

Proposizione (significato dell'integrale curvilineo). $\operatorname{Area}(\operatorname{Trap}_r(h)) = \displaystyle\int_r h\,ds$ .

Esempio del prof: la tenda. Base a semicerchio $r(t) = (5\cos t, 5\sin t)$ , $t \in [0, \pi]$ , soffitto sul piano $z = 10 - \frac{x + y}{100}$ . Con $|r'(t)| = 5$ : $\operatorname{Area} = \int_0^\pi\left(10 - \frac{5\cos t + 5\sin t}{100}\right)5\,dt = 50\pi - \frac14\int_0^\pi(\cos t + \sin t)\,dt = 50\pi - \frac14\cdot 2 = 50\pi - \frac12$

Definizione. La superficie di rotazione ottenuta ruotando $r$ attorno all'asse $z$ è $p(t, \theta) = \big(r_1(t)\cos\theta,\ r_1(t)\sin\theta,\ r_2(t)\big), \qquad t \in [a, b],\ \theta \in [0, 2\pi]$

Teorema (Pappo-Guldino). Se $r : [a, b] \to [0, +\infty[\times\mathbb{R}$ è $C^1$ , l'area della superficie ottenuta ruotandola attorno all'asse $z$ è $\operatorname{Area} = 2\pi\int_a^b r_1(t)\,|r'(t)|\,dt = 2\pi\int_r x\,ds = 2\pi\,\bar x_r\cdot\operatorname{Lunghezza}(r)$ dove $\bar x_r = \frac{1}{L}\int_r x\,ds$ è la distanza del baricentro della curva dall'asse di rotazione.

Integrali superficiali

Definizione. Sia $p : D \to \mathbb{R}^3$ di classe $C^1$ e $\mu : p(D) \to \mathbb{R}$ continua. L'integrale superficiale di $\mu$ su $p$ è $\int_p\mu(x, y, z)\,d\sigma_p := \int_D\mu(p(u, v))\,|p_u \times p_v|(u, v)\,du\,dv$

Esempio del prof. Massa della lamina $z = x^2$ , $(x, y) \in [0, 2]\times[0, 3]$ , con densità $\mu = z$ . Qui $f_x = 2x$ , $f_y = 0$ , elemento $\sqrt{1 + 4x^2}$ , e $\mu = z = x^2$ sulla superficie: $\int_0^3\int_0^2 x^2\sqrt{1 + 4x^2}\,dx\,dy = 3\int_0^2 x^2\sqrt{1 + 4x^2}\,dx = \frac{99\sqrt{17}}{16} - \frac{3\operatorname{settsinh}4}{64} \approx 25.41$ (l'integrale in $x$ si fa con la sostituzione $2x = \sinh s$ ; il valore è stato calcolato con Python).

Definizione. $p_1 : D_1 \to \mathbb{R}^3$ e $p_2 : D_2 \to \mathbb{R}^3$ sono equivalenti se $p_1 = p_2 \circ \varphi$ con $\varphi : D_1 \to D_2$ biiettiva, $C^1$ , con $\det\varphi' \ne 0$ . Proposizione. Se $p_1$ e $p_2$ sono superfici $C^1$ equivalenti e $f$ è continua sul sostegno, $\int_{p_1}f\,d\sigma_{p_1} = \int_{p_2}f\,d\sigma_{p_2}$ .

9. Formula di Green e flusso

Formula di Green e calcolo di aree

Teorema (formula di Green). Sia $D$ un dominio regolare del piano (unione finita di domini semplici rispetto a entrambi gli assi, con bordo $C^1$ a tratti) e $P, Q$ di classe $C^1$ su un aperto che contiene $\overline D$ . Allora $\oint_{\partial^+D}P\,dx + Q\,dy = \iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy$

Esempio (Ripassi 1.37 e 1.41). $F = (0, x^3)$ sul bordo della corona $D = \{1 \le x^2 + y^2 \le 4\}$ .

Con Green: $\partial_xQ - \partial_yP = 3x^2$ , e in polari $\iint_D 3x^2 = 3\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta\int_1^2\rho^3\,d\rho = 3\pi\cdot\frac{15}{4} = \frac{45\pi}{4}$ .
Direttamente: sul cerchio esterno $(2\cos t, 2\sin t)$ antiorario, $\int x^3\,dy = \int_0^{2\pi}8\cos^3t\cdot 2\cos t\,dt = 16\cdot\frac{3\pi}4 = 12\pi$ ; sul cerchio interno, percorso in senso orario, $-\int_0^{2\pi}\cos^4t\,dt = -\frac{3\pi}{4}$ . Totale $12\pi - \frac{3\pi}4 = \frac{45\pi}4$ ✓.

Grafico interattivo: La corona 1 ≤ x² + y² ≤ 4: il bordo esterno (raggio 2) è percorso in senso antiorario, quello interno (raggio 1) in senso orario, con la regione sempre a sinistra

Flusso di un campo attraverso una superficie

Definizione. Il flusso del campo continuo $F$ attraverso la superficie $p$ , orientata da $N = p_u \times p_v$ , è $\Phi = \iint_p F\cdot n\,d\sigma = \iint_D F(p(u, v))\cdot\big(p_u \times p_v\big)(u, v)\,du\,dv$

10. Equazioni differenziali

Equazioni differenziali esatte

Definizione. L'equazione è esatta se il campo $(M, N)$ è conservativo su $D$ , cioè se esiste $U \in C^1(D)$ con $\partial_t U = M, \qquad \partial_y U = N$

Proposizione. Se l'equazione è esatta con primitiva $U$ , una funzione $y(t)$ (con il grafico in $D$ ) è soluzione se e solo se $U(t, y(t)) = c \qquad \text{per qualche costante } c$

11. Calcolo combinatorio

Cardinalità, sequenze e principio di moltiplicazione

Proprietà. Siano $A, B \subseteq X$ finiti.

Se $A \cap B = \emptyset$ : $|A \cup B| = |A| + |B|$ ;

in generale $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ ;

$|A \times B| = |A|\cdot|B|$ ;

$|A^c| = |X| - |A|$ .

Esempio del prof. Parole di 6 lettere (sequenze, anche senza senso) con un alfabeto di 24 lettere che contengono almeno una Z. Il complementare sono le parole senza Z, che usano 23 lettere: $23^6$ . Le parole in tutto sono $24^6$ . Quindi $24^6 - 23^6 = 191\,102\,976 - 148\,035\,889 = 43\,067\,087$

Principio della biiezione. Due insiemi finiti hanno la stessa cardinalità se e solo se esiste una corrispondenza biunivoca tra loro.

Esempio. I multipli di $4$ tra $1$ e $40$ sono $\{4, 8, \dots, 40\}$ , in biiezione con $\{1, 2, \dots, 10\}$ tramite $4k \leftrightarrow k$ : sono $10$ .

Definizione. Una $k$ -sequenza di $I_n$ è una $k$ -upla ordinata $(a_1, \dots, a_k)$ di elementi di $I_n$ , non necessariamente distinti (un elemento di $I_n\times\cdots\times I_n$ , $k$ volte). È senza ripetizione se i suoi termini sono distinti.

Esempio. Estraendo nell'ordine $5$ numeri da un'urna con $90$ numeri (senza rimetterli) l'esito è una $5$ -sequenza senza ripetizione di $I_{90}$ .

Definizione. Una $n$ -spartizione di $I_k$ è una $n$ -upla ordinata $(C_1, \dots, C_n)$ di sottoinsiemi di $I_k$ a due a due disgiunti (anche vuoti) con unione $I_k$ .

Proposizione. Le $n$ -spartizioni di $I_k$ sono tante quante le $k$ -sequenze di $I_n$ .

Principio di moltiplicazione (PM). Supponiamo che gli elementi di un insieme $X$ si costruiscano con una procedura in $n$ fasi, in cui la prima fase ha $m_1$ esiti possibili, la seconda (per ogni esito della prima) $m_2$ , …, la $n$ -esima $m_n$ , e che l'elemento costruito determini univocamente gli esiti di tutte le fasi. Allora $|X| = m_1\cdot m_2\cdots m_n$

Esempio del prof. Comitati di $2$ persone, scegliendo tra $6$ donne e $5$ uomini, con esattamente una donna e un uomo. Fase 1: la donna ( $6$ modi); fase 2: l'uomo ( $5$ modi). Dal comitato $\{D, U\}$ si risale a entrambe le scelte. PM: $6\cdot 5 = 30$ .

Proposizione. Il numero di $k$ -sequenze di $I_n$ è $n^k$ .

Sottoinsiemi, principio di divisione e anagrammi

Proposizione. Il numero di permutazioni di $(1, 2, \dots, n)$ è $n!$ . Proposizione. Il numero di $k$ -sequenze senza ripetizione di $I_n$ è $\frac{n!}{(n - k)!} = n(n - 1)\cdots(n - k + 1) \quad (k \le n), \qquad 0 \quad (k > n)$

Esempio del prof. Da un'urna con $12$ palline ( $8$ nere $N_1, \dots, N_8$ e $4$ rosse $R_1, \dots, R_4$ ) se ne estraggono $3$ in ordine, senza reimmissione. Quante terne hanno l'ultima pallina rossa? Conviene scegliere prima la fase vincolata: l'ultima (rossa) in $4$ modi, poi la prima tra le $11$ rimaste, poi la seconda tra le $10$ : $4\cdot 11\cdot 10 = 440$ (su $12\cdot 11\cdot 10 = 1320$ terne: un terzo, come la proporzione di rosse).

Principio di divisione. Siano $X$ , $Y$ finiti e $f : X \to Y$ tale che ogni $y \in Y$ provenga da esattamente $m$ elementi di $X$ . Allora $|Y| = \frac{|X|}{m}$ .

Teorema (numero di sottoinsiemi). Il numero di sottoinsiemi di $k$ elementi di $I_n$ è $C(n, k) = \binom nk = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}$ In particolare $\binom n0 = \binom nn = 1$ .

Esempio del prof. Comitati di $4$ persone tra $6$ donne e $5$ uomini, con esattamente $2$ donne e $2$ uomini: si scelgono le $2$ donne ( $\binom62 = 15$ modi) e i $2$ uomini ( $\binom52 = 10$ ); il comitato determina entrambe le scelte, quindi $15\cdot 10 = 150$ .

Proposizione. Il numero di anagrammi di una sequenza di lunghezza $k$ con $k_1$ ripetizioni del simbolo $1$ , …, $k_n$ ripetizioni del simbolo $n$ ( $k_1 + \cdots + k_n = k$ ) è $\frac{k!}{k_1!\,k_2!\cdots k_n!}$

Esempio. MATEMATICA ha $10$ lettere: M ( $2$ ), A ( $3$ ), T ( $2$ ), E, I, C ( $1$ ciascuna): $\frac{10!}{2!\,3!\,2!} = \frac{3\,628\,800}{24} = 151\,200$

12. Spazi di probabilità

Probabilità uniforme su uno spazio finito

Definizione. Sia $\Omega$ un insieme finito (lo spazio campionario). La probabilità uniforme su $\Omega$ è $P : \mathcal{P}(\Omega) \to [0, 1], \qquad P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ Gli elementi di $\Omega$ sono gli esiti (o eventi elementari), i sottoinsiemi di $\Omega$ sono gli eventi. Proposizione. $P$ è uniforme se e solo se $P(\{\omega\}) = \frac{1}{|\Omega|}$ per ogni $\omega \in \Omega$ .

Definizione assiomatica e continuità della probabilità

Definizione. Sia $\Omega$ un insieme qualsiasi. Una probabilità su $\Omega$ è una funzione $P : \mathcal{P}(\Omega) \to [0, 1]$ , $A \mapsto P(A)$ , tale che:

$0 \le P(A) \le 1$ ;

$P(\emptyset) = 0$ , $P(\Omega) = 1$ ;

( $\sigma$ -additività) se $A_1, A_2, \dots$ è una famiglia numerabile di eventi a due a due disgiunti, $P\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i) := \lim_{n \to \infty}\big(P(A_1) + \cdots + P(A_n)\big)$

Esempio del prof. $P$ su $\mathbb{N}_{\ge 1}$ con $P(\{n\}) = \frac{1}{2^n}$ (i pesi sommano a $1$ : serie geometrica $\sum_{n \ge 1}\frac1{2^n} = 1$ ). Probabilità che il numero scelto sia pari: per la $\sigma$ -additività $P(\{2, 4, 6, \dots\}) = \sum_{k \ge 1}\frac{1}{2^{2k}} = \sum_{k \ge 1}\frac{1}{4^k} = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac13$

Proposizione (unioni crescenti). Se $E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots$ , allora $P\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i \to \infty}P(E_i)$

Proposizione (intersezioni decrescenti). Se $E_1 \supseteq E_2 \supseteq \cdots$ , allora $P\left(\bigcap_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i \to \infty}P(E_i)$

Esempio del prof. Su $[0, 1]$ con la lunghezza, $E_i = \left[\frac14 + \frac1i, \frac34 - \frac1i\right]$ (vuoti per $i < 4$ , poi sempre più larghi: crescenti): la loro unione è l'intervallo aperto $E = \left]\frac14, \frac34\right[$ , e infatti per $i \ge 4$ si ha $P(E_i) = \frac12 - \frac2i \to \frac12 = P(E)$ .

13. Probabilità condizionata e indipendenza

Probabilità condizionata e formula del prodotto

Definizione. Siano $E, F$ eventi con $P(F) \ne 0$ . La probabilità condizionata di $E$ dato $F$ è $P(E \mid F) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)} = \frac{P(EF)}{P(F)}$

Esempio del prof (dado truccato). Le facce $1, 3, 6$ hanno probabilità $\frac1{12}$ ciascuna, le facce $2, 4, 5$ probabilità $\frac14$ (la somma è $\frac3{12} + \frac34 = 1$ ✓). Esce un numero pari: qual è la probabilità che sia il $2$ o il $6$ ? $P(\text{pari}) = P(2) + P(4) + P(6) = \frac14 + \frac14 + \frac1{12} = \frac7{12}, \qquad P(\{2, 6\} \cap \text{pari}) = \frac14 + \frac1{12} = \frac13$ $P(\{2, 6\} \mid \text{pari}) = \frac{1/3}{7/12} = \frac47$

Proposizione. Se $P(F) \ne 0$ , la funzione $E \mapsto P(E \mid F)$ è una probabilità (su $F$ , e anche su tutto $\Omega$ ).

Proposizione (il caso uniforme). Se $P$ è uniforme su $\Omega$ finito e $F \ne \emptyset$ , allora $P(\cdot \mid F)$ è la probabilità uniforme su $F$ .

Proposizione. Se $P(F) \ne 0$ : $\quad P(E \cap F) = P(E \mid F)\,P(F)$ .

Esempio del prof (il radar). Se un aereo è presente, il radar lo rileva con probabilità $0.99$ ; se non c'è, segnala comunque la presenza con probabilità $0.1$ . Un aereo è presente con probabilità $0.05$ .

Falso allarme (non c'è l'aereo e il radar segnala): $P(\text{segnale} \cap \text{assente}) = P(\text{segnale} \mid \text{assente})P(\text{assente}) = 0.1\cdot 0.95 = 0.095$ .
Mancata rilevazione (c'è l'aereo e il radar non segnala): $P(\text{non segnale} \mid \text{presente})P(\text{presente}) = 0.01\cdot 0.05 = 0.0005$ .

Proposizione. Se $P(A_1A_2\cdots A_{n-1}) > 0$ , $P(A_1A_2\cdots A_n) = P(A_1)\,P(A_2 \mid A_1)\,P(A_3 \mid A_1A_2)\cdots P(A_n \mid A_1\cdots A_{n-1})$

Esempio del prof. Tre carte estratte senza reimmissione da un mazzo di $52$ : probabilità che nessuna sia di cuori.

Con la probabilità uniforme: $\frac{\binom{39}3}{\binom{52}3} = \frac{9139}{22100} \approx 0.414$ .
Con la formula del prodotto, $A_i$ = "l' $i$ -esima non è di cuori": $P(A_1) = \frac{39}{52}$ ; sapendo che la prima non era di cuori, restano $51$ carte di cui $38$ non di cuori: $P(A_2 \mid A_1) = \frac{38}{51}$ ; poi $P(A_3 \mid A_1A_2) = \frac{37}{50}$ . Prodotto: $\frac{39\cdot 38\cdot 37}{52\cdot 51\cdot 50} \approx 0.414$ ✓.

Formula della partizione e formula di Bayes

Proposizione (inversione). Se $P(E), P(F) > 0$ : $P(F \mid E) = \frac{P(E \mid F)\,P(F)}{P(E)}$

Teorema (formula della partizione o delle probabilità totali). Sia $\{F_1, \dots, F_n\}$ una partizione di $\Omega$ (eventi a due a due disgiunti con unione $\Omega$ ) con $P(F_i) > 0$ . Per ogni evento $E$ : $P(E) = P(E \mid F_1)P(F_1) + \cdots + P(E \mid F_n)P(F_n)$ Vale lo stesso per una partizione numerabile.

Esempio del prof (il bus). Piove con probabilità $0.6$ ( $F_1$ ), non piove con $0.4$ ( $F_2 = F_1^c$ ). Se piove il bus è in ritardo con probabilità $0.8$ , altrimenti $0.3$ . $P(\text{ritardo}) = 0.8\cdot 0.6 + 0.3\cdot 0.4 = 0.48 + 0.12 = 0.6$

Teorema (Bayes). Sia $\{F_1, \dots, F_n\}$ una partizione di $\Omega$ con $P(F_i) > 0$ , e $E$ con $P(E) > 0$ . Allora $P(F_j \mid E) = \frac{P(E \mid F_j)\,P(F_j)}{P(E \mid F_1)P(F_1) + \cdots + P(E \mid F_n)P(F_n)}$

Eventi indipendenti e indipendenza condizionata

Definizione. Gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti (per $(\Omega, P)$ ) se $P(AB) = P(A)\,P(B)$

Esempio del prof. Dado equilibrato, $A$ = "pari" $= \{2, 4, 6\}$ , $B$ = " $\ge 4$ " $= \{4, 5, 6\}$ . $P(AB) = P(\{4, 6\}) = \frac13$ , mentre $P(A)P(B) = \frac14$ : non indipendenti (sapere che è uscito un numero alto rende più probabile il pari: $P(A \mid B) = \frac23$ ).

Proprietà. Se $A$ e $B$ sono indipendenti, lo sono anche $A$ e $B^c$ (e quindi $A^c$ e $B$ , $A^c$ e $B^c$ ).

Esempio del prof (con o senza reimmissione). Urna con $10$ rosse e $4$ nere, due estrazioni; $A$ = "la prima è rossa", $B$ = "la seconda è rossa". Si ha $P(A) = P(B) = \frac{10}{14} = \frac57$ in entrambi i casi.

Con reimmissione: $P(AB) = \left(\frac{10}{14}\right)^2 = P(A)P(B)$ : indipendenti (l'urna torna com'era).
Senza reimmissione: $P(AB) = \frac{10}{14}\cdot\frac{9}{13} = \frac{45}{91} \approx 0.495 \ne \frac{25}{49} \approx 0.510$ : non indipendenti (se la prima è rossa, resta una rossa in meno).

Definizione. $A$ , $B$ , $C$ sono indipendenti se

lo sono a due a due: $P(AB) = P(A)P(B)$ , $P(AC) = P(A)P(C)$ , $P(BC) = P(B)P(C)$ ;

e inoltre $P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$ .

Definizione. Una famiglia di eventi $\{A_i : i \in I\}$ è indipendente se per ogni scelta di indici distinti $i_1, \dots, i_n$ : $P(A_{i_1}\cdots A_{i_n}) = P(A_{i_1})\cdots P(A_{i_n})$

Definizione. Se $P(F) \ne 0$ , gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti condizionatamente a $F$ se lo sono per la probabilità $P(\cdot \mid F)$ : $P(AB \mid F) = P(A \mid F)\,P(B \mid F)$

14. Variabili aleatorie discrete

Variabili aleatorie discrete e funzione di distribuzione

Definizione. Una variabile aleatoria (v.a.) su $\Omega$ è una funzione $X : \Omega \to \mathbb{R}$ .

Definizione. $X$ è discreta se la sua immagine è un insieme finito o numerabile $\{x_0, x_1, x_2, \dots\}$ . La densità discreta di $X$ è la funzione $p_X : \mathbb{R} \to [0, 1]$ , $p_X(x) = P(X = x)$ .

Proprietà. Se $X$ è discreta con valori $x_0, x_1, \dots$ : $\sum_k p_X(x_k) = 1, \qquad P(X \in A) = \sum_{k : x_k \in A}p_X(x_k)$

Esempio del prof. Tre lanci di una moneta, $\Omega$ = terne di $\{T, C\}$ . $X_1$ = numero di teste: $\{X_1 = 1\} = \{(T, C, C), (C, T, C), (C, C, T)\}$ . $X_2$ = $1$ se due lanci danno lo stesso risultato, $0$ altrimenti: con tre lanci e due sole facce due risultati coincidono sempre, quindi $\{X_2 = 0\} = \emptyset$ .

Definizione. $X$ è di Bernoulli di parametro $p$ , e si scrive $X \sim \operatorname{Be}(p)$ , se $\operatorname{Im}X = \{0, 1\}$ con $p_X(1) = p, \qquad p_X(0) = 1 - p$

Esempio del prof. Due carte estratte insieme da un mazzo di $52$ ; $X = 1$ se c'è almeno una figura ( $12$ figure), $0$ altrimenti. $P(X = 0) = \frac{\binom{40}2}{\binom{52}2} = \frac{780}{1326} = \frac{130}{221} \approx 0.588$ , quindi $X \sim \operatorname{Be}\left(\frac{91}{221}\right)$ .

Definizione. La funzione di distribuzione (o di ripartizione) di una v.a. $X$ è $F_X : \mathbb{R} \to [0, 1], \qquad F_X(x) = P(X \le x)$

Esempio (Bernoulli di parametro $\frac13$ ): $F(x) = 0$ per $x < 0$ , $F(x) = \frac23$ per $0 \le x < 1$ , $F(x) = 1$ per $x \ge 1$ .

Proprietà della funzione di distribuzione.

$F_X$ è crescente (non decrescente);

$\lim_{x \to -\infty}F_X(x) = 0$ , $\lim_{x \to +\infty}F_X(x) = 1$ ;

$F_X$ è continua a destra;

$P(X < a) = F_X(a^-) := \lim_{x \to a^-}F_X(x)$ ;

$P(X = a) = F_X(a) - F_X(a^-)$ (il salto in $a$ ).

Corollario. Variabili con la stessa funzione di distribuzione hanno la stessa legge: $P(X \in A) = P(Y \in A)$ per ogni $A$ .

Esempio del prof. $F_X(x) = \begin{cases} \frac14e^x & x < 0 \\ \frac14x^2 + \frac14 & 0 \le x < 1 \\ \frac34 + \frac{x - 1}{8} & 1 \le x < 2 \\ 1 & x \ge 2 \end{cases}$

$P(X = 0) = F(0) - F(0^-) = \frac14 - \frac14 = 0$ (nessun salto in $0$ );
$P(X = 1) = F(1) - F(1^-) = \frac34 - \left(\frac14 + \frac14\right) = \frac14$ ;
$P(X = 2) = F(2) - F(2^-) = 1 - \left(\frac34 + \frac18\right) = \frac18$ ;
$P(X < 1) = F(1^-) = \frac12$ .

Grafico interattivo: La distribuzione dell'esempio: salti in x = 1 (ampiezza 1/4) e in x = 2 (ampiezza 1/8)

Variabili binomiale e geometrica

Definizione. $X$ è binomiale di parametri $(n, p)$ , $X \sim B(n, p)$ , se $\operatorname{Im}X = \{0, 1, \dots, n\}$ e $p_X(k) = \binom nk p^k(1 - p)^{n-k}, \qquad k = 0, 1, \dots, n$

Definizione. Le variabili $\{X_i : i \in I\}$ sono indipendenti se, comunque si scelgano $A_i \subseteq \mathbb{R}$ , gli eventi $\{X_i \in A_i\}$ sono indipendenti.

Proposizione. Se $X_1, \dots, X_n \sim \operatorname{Be}(p)$ sono indipendenti, allora $X := X_1 + \cdots + X_n \sim B(n, p)$ .

Definizione. $X$ è geometrica di parametro $p \in\, ]0, 1[$ , $X \sim \operatorname{Ge}(p)$ , se $\operatorname{Im}X = \mathbb{N}_{\ge 1}$ e $p_X(k) = p\,(1 - p)^{k-1}, \qquad k = 1, 2, \dots$

Esempio del prof. Lanciando un dado, servono $7$ o più lanci per il primo $6$ con probabilità $P(X \ge 7) = P(X > 6) = \left(\frac56\right)^6 \approx 0.335$ : una volta su tre!

Grafico interattivo: Densità di Ge(1/4): P(X = k) = (1/4)(3/4)^(k−1), decrescente

Proposizione. Se $X \sim \operatorname{Ge}(p)$ , per ogni $k, m \in \mathbb{N}$ : $P(X > k + m \mid X > k) = P(X > m)$

Esempio del prof (la zia e il lotto). In ogni estrazione del lotto escono $5$ numeri su $90$ ; il $90$ esce con probabilità $p = \frac{5}{90} = \frac1{18}$ . Il $90$ non esce da $30$ settimane: probabilità che esca alla $31$ -esima? Per l'assenza di memoria è ancora $\frac1{18}$ , non più alta: il numero "ritardatario" non è favorito. Probabilità che si debba aspettare almeno fino alla $35$ -esima settimana (che non esca nelle settimane $31$ - $34$ ): $P(X > 34 \mid X > 30) = P(X > 4) = \left(\frac{17}{18}\right)^4 \approx 0.80$ .

15. La variabile di Poisson

Variabile di Poisson e approssimazione della binomiale

Definizione. $X$ è di Poisson di parametro $\lambda > 0$ , $X \sim \operatorname{Po}(\lambda)$ , se $\operatorname{Im}X = \mathbb{N}$ e $p_X(k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}, \qquad k = 0, 1, 2, \dots$

Esempio del prof. Le telefonate a un centralino in un'ora sono $\operatorname{Po}(30)$ . Probabilità di esattamente $28$ telefonate: $e^{-30}\frac{30^{28}}{28!} \approx 0.070$ (calcolata con i logaritmi in Python: i singoli fattori sono enormi o minuscoli).

Proposizione. Se $X_n \sim B\left(n, \frac\lambda n\right)$ , allora per ogni $k$ : $\displaystyle\lim_{n \to \infty}P(X_n = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ .

Somma di Poisson indipendenti e processo di Poisson

Proposizione. Se $X \sim \operatorname{Po}(\lambda)$ e $Y \sim \operatorname{Po}(\mu)$ sono indipendenti, allora $X + Y \sim \operatorname{Po}(\lambda + \mu)$ .

Definizione. Un processo di Poisson di intensità $\lambda$ è una famiglia di variabili aleatorie $\{X_t : t > 0\}$ ( $X_t$ = numero di eventi nell'intervallo $[0, t]$ ) tale che:

per ogni $t > 0$ , $X_t \sim \operatorname{Po}(\lambda t)$ ;

per ogni $t, \tau > 0$ , $X_{t+\tau} - X_t \sim \operatorname{Po}(\lambda\tau)$ (gli eventi in un intervallo di lunghezza $\tau$ , ovunque sia collocato);

per ogni $t_0 < t_1 < \cdots < t_n$ , gli incrementi $X_{t_1} - X_{t_0}, \dots, X_{t_n} - X_{t_{n-1}}$ sono indipendenti.

Grafico interattivo: Centralino con λ = 30 telefonate/ora = 0.5 al minuto: probabilità di nessuna chiamata in t minuti, e^(−0.5 t)

16. Valore atteso e varianza

Valore atteso di variabili discrete

Definizione. Se $X$ è discreta con valori $\{x_i : i \in I\}$ ( $I$ finito o $\mathbb{N}$ ), $X$ ha valore atteso finito se $\sum_i|x_i|\,p_X(x_i) < +\infty$ , e in tal caso il valore atteso (o media, o speranza) è $E[X] := \sum_{i \in I}x_i\,p_X(x_i) = \sum_i x_i\,P(X = x_i)$

Esempio del prof. $X$ con valori $-1, 0, 1$ e probabilità $\frac13, \frac16, \frac12$ : $E[X] = -1\cdot\frac13 + 0\cdot\frac16 + 1\cdot\frac12 = \frac16$ Il valore atteso può non essere uno dei valori assunti.

Proposizione. Se $X$ è discreta e $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , allora $g(X) = g \circ X$ è una v.a. discreta e, se $\sum_x|g(x)|p_X(x) < +\infty$ , $E[g(X)] = \sum_{x \in \operatorname{Im}X}g(x)\,p_X(x)$

Esempio del prof. Con la $X$ di prima, $E[X^2]$ :

con la definizione: $X^2$ vale $1$ (se $X = \pm1$ , probabilità $\frac13 + \frac12 = \frac56$ ) o $0$ (probabilità $\frac16$ ), quindi $E[X^2] = \frac56$ ;
con la proposizione: $(-1)^2\frac13 + 0^2\frac16 + 1^2\frac12 = \frac56$ ✓.

Corollario (linearità per le funzioni affini). $E[aX + b] = a\,E[X] + b$ .

Esempio del prof (l'assicurazione). Una compagnia incassa il premio $c$ e paga $s$ euro se un evento $E$ (di probabilità $p$ ) si verifica entro l'anno. Con $X = 1$ se $E$ si verifica ( $X \sim \operatorname{Be}(p)$ ), il profitto è $c - sX$ , e $E[\text{profitto}] = c - s\,p$ Perché il profitto atteso sia il $10\%$ di $s$ : $c - sp = 0.1\,s$ , cioè $c = s(p + 0.1)$ .

Proposizione. Se $X_1, \dots, X_m$ hanno valore atteso finito, $E[X_1 + \cdots + X_m] = E[X_1] + \cdots + E[X_m]$ senza bisogno di indipendenza.

Corollario. Se $X \sim B(n, p)$ , $E[X] = np$ .

Proposizione. Se $X$ , $Y$ sono discrete e $g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ (con la serie assolutamente convergente), $E[g(X, Y)] = \sum_{x, y}g(x, y)\,P(X = x, Y = y)$ In particolare $E[XY] = \sum_{x, y}xy\,P(X = x, Y = y)$ , e se $X$ , $Y$ sono indipendenti $E[XY] = E[X]\,E[Y]$ .

Varianza e covarianza di variabili discrete

Definizione. Se $E[X]$ ed $E[X^2]$ sono finiti, la varianza di $X$ è $\operatorname{Var}[X] := E\left[(X - \mu_X)^2\right], \qquad \mu_X := E[X]$ e la deviazione standard è $\sigma_X := \sqrt{\operatorname{Var}[X]}$ .

Proposizione (formula alternativa). $\operatorname{Var}[X] = E[X^2] - \mu_X^2$ .

Esempio del prof. $X = -2$ con probabilità $\frac14$ , $X = 1$ con probabilità $\frac34$ .

$E[X] = -\frac24 + \frac34 = \frac14$ .
Con la definizione: $\operatorname{Var}[X] = \left(-2 - \frac14\right)^2\frac14 + \left(1 - \frac14\right)^2\frac34 = \frac{81}{64} + \frac{27}{64} = \frac{27}{16}$ .
Con la formula alternativa: $E[X^2] = 4\cdot\frac14 + 1\cdot\frac34 = \frac74$ , e $\frac74 - \frac1{16} = \frac{27}{16}$ ✓.

Proposizione.

$\operatorname{Var}[\text{costante}] = 0$ ;

$\operatorname{Var}[aX + b] = a^2\operatorname{Var}[X]$ ;

se $X \sim \operatorname{Be}(p)$ : $\operatorname{Var}[X] = p(1 - p)$ .

Definizione. La covarianza di $X$ e $Y$ (con varianze finite) è $\operatorname{Cov}[X, Y] := E\left[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)\right]$ Formula alternativa: $\operatorname{Cov}[X, Y] = E[XY] - \mu_X\mu_Y$ .

Esempio del prof. Due palline estratte senza reimmissione da un'urna con $3$ rosse e $2$ nere; $X = 1$ se la prima è rossa, $Y = 1$ se la seconda è rossa. $E[X] = E[Y] = \frac35$ ; $E[XY] = P(\text{entrambe rosse}) = \frac35\cdot\frac24 = \frac3{10}$ . $\operatorname{Cov}[X, Y] = \frac3{10} - \frac9{25} = -\frac{3}{50}$ Negativa: se la prima è rossa resta una rossa in meno, e la seconda è meno probabilmente rossa.

Corollario. Se $X$ e $Y$ sono indipendenti, $\operatorname{Cov}[X, Y] = 0$ (perché $E[XY] = E[X]E[Y]$ ).

Proposizione. $\operatorname{Var}[X + Y] = \operatorname{Var}[X] + \operatorname{Var}[Y] + 2\operatorname{Cov}[X, Y]$ e più in generale $\operatorname{Var}[X_1 + \cdots + X_m] = \sum_i\operatorname{Var}[X_i] + 2\sum_{i<j}\operatorname{Cov}[X_i, X_j]$ Se le $X_i$ sono indipendenti (basta a due a due), $\operatorname{Var}[X_1 + \cdots + X_m] = \operatorname{Var}[X_1] + \cdots + \operatorname{Var}[X_m]$ .

Corollario. Se $X \sim B(n, p)$ , $\operatorname{Var}[X] = np(1 - p)$ (somma di $n$ Bernoulli indipendenti, ciascuna di varianza $p(1-p)$ ).

17. Variabili aleatorie continue

Variabili aleatorie continue - uniforme ed esponenziale

Definizione. Una v.a. $X$ è continua se esiste una funzione integrabile $f_X : \mathbb{R} \to [0, +\infty[$ , la densità di $X$ , tale che $P(X \in (a, b)) = \int_a^b f_X(x)\,dx$ per ogni intervallo $(a, b) \subseteq \mathbb{R}$ (aperto, chiuso o misto, anche illimitato).

Proposizione. $X$ è continua se e solo se esiste $f_X \ge 0$ con $\int_a^b f_X = F_X(b) - F_X(a)$ per ogni $a \le b$ ; in tal caso $F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(t)\,dt$

Esempio del prof. $X$ con densità $f_X(x) = C(1 + x^2)$ su $[0, 3]$ e $0$ altrove.

Normalizzazione: $\int_0^3 C(1 + x^2)\,dx = C\left(3 + 9\right) = 12C = 1$ , quindi $C = \frac1{12}$ .
$P(X \in [1, 4]) = \int_1^3\frac{1 + x^2}{12}\,dx = \frac1{12}\left(2 + \frac{27 - 1}{3}\right) = \frac1{12}\cdot\frac{32}{3} = \frac89$ (fuori da $[0, 3]$ la densità è nulla, quindi l'intervallo si "taglia" a $[1, 3]$ ).
$F_X(x) = 0$ per $x < 0$ , $F_X(x) = \frac{1}{12}\left(x + \frac{x^3}{3}\right)$ per $0 \le x \le 3$ , $F_X(x) = 1$ per $x > 3$ .

Definizione. $X$ è uniforme sull'intervallo $(a, b)$ , $X \sim U(a, b)$ , se $F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < a \\ \frac{x - a}{b - a} & a \le x < b \\ 1 & x \ge b \end{cases}, \qquad f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{b - a} & a < x < b \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}$ Quindi $P(X \in [c, d]) = \frac{d - c}{b - a}$ per $[c, d] \subseteq [a, b]$ : la probabilità è proporzionale alla lunghezza.

Esempio del prof (la SIM). Su una SIM ricaricata con $5$ euro il credito residuo è $X \sim U(0, 5)$ . Per scaricare un video servono $2$ euro: $P(X \ge 2) = \frac{5 - 2}{5} = \frac35$ . Se ci si riesce, probabilità di scaricarne un altro: $P(X \ge 4 \mid X \ge 2) = \frac{P(X \ge 4)}{P(X \ge 2)} = \frac{1/5}{3/5} = \frac13$ . (Condizionata a $X \ge 2$ , la variabile è uniforme su $[2, 5]$ .)

Grafico interattivo: Il credito residuo X ~ U(0, 5): densità 1/5 su [0, 5]; P(X ≥ 2) è l'area da 2 a 5, 3 · 1/5 = 3/5; condizionata a X ≥ 2 la variabile è uniforme su [2, 5]

Definizione. $T$ è esponenziale di parametro $\lambda > 0$ , $T \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$ , se $f_T(t) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} & t > 0 \\ 0 & t < 0 \end{cases}, \qquad P(T > t) = e^{-\lambda t} \ (t \ge 0)$

Grafico interattivo: Densità di Exp(1/4) (attesa del primo cliente, in minuti): (1/4) e^(−t/4) per t > 0

Proposizione (assenza di memoria). Se $T \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$ , per ogni $s, t > 0$ : $P(T > t + s \mid T > s) = P(T > t)$

Grafico interattivo: Attesa del primo cliente T ~ Exp(1/4): densità (1/4)e^(−t/4) per t ≥ 0; P(4 ≤ T ≤ 5) = e^(−1) − e^(−5/4) ≈ 0,081 è la sottile area colorata tra t = 4 e t = 5

Valore atteso e varianza di variabili continue

Definizione. Se $X$ è continua con densità $f_X$ e $|x|f_X(x)$ è integrabile in senso generalizzato, il valore atteso di $X$ è $E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty}x\,f_X(x)\,dx$

Proprietà (come per le discrete). Se $X$ , $Y$ hanno valore atteso finito:

monotonia: se $X \le Y$ allora $E[X] \le E[Y]$ ;

$E[aX + b] = aE[X] + b$ ;

linearità: $E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]$ (anche se una è discreta e l'altra continua).

Proposizione. Se $X$ è continua con densità $f_X$ e $|g(x)|f_X(x)$ è integrabile in senso generalizzato, allora $E[g(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\,f_X(x)\,dx$ In particolare $E[X^2] = \int x^2f_X(x)\,dx$ .

Esempio del prof (la potenza dissipata). La corrente in una resistenza è $I \sim U(0, 2)$ ampère, la potenza (con resistenza unitaria) è $X = I^2$ . Non serve trovare la legge di $X$ : $E[X] = E[I^2] = \int_0^2 i^2\cdot\frac12\,di = \frac12\cdot\frac83 = \frac43$ mentre $(E[I])^2 = 1$ : di nuovo $E[g(X)] \ne g(E[X])$ .

Definizione. $\operatorname{Var}[X] := E\left[(X - E[X])^2\right] = \int(x - E[X])^2f_X(x)\,dx$ , e vale la formula $\operatorname{Var}[X] = E[X^2] - E[X]^2$ . Proprietà. $\operatorname{Var}[aX + b] = a^2\operatorname{Var}[X]$ ; se $X$ , $Y$ sono indipendenti $\operatorname{Var}[X + Y] = \operatorname{Var}[X] + \operatorname{Var}[Y]$ (anche se una è discreta e l'altra continua); variabili con la stessa distribuzione hanno la stessa varianza.

Esempio del prof. $f_X(x) = ax^2$ su $[0, 1]$ .

$\int_0^1 ax^2 = \frac a3 = 1$ , quindi $a = 3$ .
$P\left(X > \frac12\right) = \int_{1/2}^1 3x^2\,dx = 1 - \frac18 = \frac78$ .
$E[X] = \int_0^1 3x^3 = \frac34$ , $E[X^2] = \int_0^1 3x^4 = \frac35$ , $\operatorname{Var}[X] = \frac35 - \frac9{16} = \frac{3}{80}$ .

18. Normale e teorema centrale del limite

Variabili aleatorie normali (gaussiane)

Definizione. $Z$ è normale standard, $Z \sim N(0, 1)$ , se è continua con densità $f_Z(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}, \qquad x \in \mathbb{R}$ La sua funzione di distribuzione si indica con $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x f_Z(t)\,dt$ .

Grafico interattivo: La densità della normale standard: e^(−x²/2)/√(2π), simmetrica, con flessi in ±1

Proposizione. Se $Z \sim N(0, 1)$ : $E[Z] = 0$ e $\operatorname{Var}[Z] = 1$ .

Definizione. Siano $\mu \in \mathbb{R}$ , $\sigma > 0$ . $X$ è normale (o gaussiana) di parametri $(\mu, \sigma^2)$ , $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ , se $Z := \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1), \qquad \text{cioè} \quad X = \mu + \sigma Z$ Allora $E[X] = \mu$ e $\operatorname{Var}[X] = \sigma^2$ .

Teorema centrale del limite e correzione di continuità

Definizione. $X$ e $Y$ sono identicamente distribuite se $F_X = F_Y$ . In tal caso hanno la stessa media e (se finita) la stessa varianza.

Teorema centrale del limite (TCL). Siano $X_1, X_2, \dots$ i.i.d. con $E[X_i] = \mu$ e $\operatorname{Var}[X_i] = \sigma^2$ finita. Per ogni $a \in \mathbb{R}$ : $P\left(\frac{X_1 + \cdots + X_n - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \le a\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \Phi(a)$ (convergenza in distribuzione alla normale standard).

Corollario (uso pratico). Per $n$ grande, $S_n$ ha approssimativamente la legge della normale con la sua stessa media e varianza: $P(X_1 + \cdots + X_n \le a) \approx P\big(N(n\mu, n\sigma^2) \le a\big) = \Phi\left(\frac{a - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}\right)$

19. Variabili aleatorie congiunte

Variabili aleatorie congiunte discrete

Definizione. Una variabile congiunta discreta su $(\Omega, P)$ è una coppia $(X, Y)$ di variabili discrete: $\omega \mapsto (X(\omega), Y(\omega)) \in \mathbb{R}^2$ . La densità congiunta è $p_{X,Y}(a, b) = P(X = a, Y = b), \qquad (a, b) \in \mathbb{R}^2$ e le densità $p_X$ e $p_Y$ si dicono marginali.

Esempio del prof. Si sceglie a caso uno dei $5$ punti $(\pm1, 1)$ , $(\pm1, -1)$ , $(0, 0)$ ; $(X, Y)$ sono le coordinate. Ogni punto ha probabilità $\frac15$ . $X$ vale $-1$ (due punti), $0$ (un punto), $1$ (due punti): $p_X(\pm1) = \frac25$ , $p_X(0) = \frac15$ ; per simmetria lo stesso per $Y$ .

Proposizione. Le marginali si ottengono sommando la congiunta sui valori dell'altra variabile: $p_X(a) = \sum_{y \in \operatorname{Im}Y}p_{X,Y}(a, y), \qquad p_Y(b) = \sum_{x \in \operatorname{Im}X}p_{X,Y}(x, b)$

Esempio del prof. $p_{X,Y}(0, 3) = 0.05$ , $p_{X,Y}(0, 4) = 0.2$ , $p_{X,Y}(1, 2) = 0.05$ , $p_{X,Y}(1, 4) = 0.1$ , $p_{X,Y}(2, 2) = 0.2$ , $p_{X,Y}(2, 3) = 0.1$ , $p_{X,Y}(2, 4) = 0.3$ .

Proposizione. $E[g(X, Y)] = \sum_{x, y}g(x, y)\,p_{X,Y}(x, y)$ (se la serie converge assolutamente).

Proposizione. $X$ e $Y$ discrete sono indipendenti se e solo se $p_{X,Y}(a, b) = p_X(a)\,p_Y(b) \qquad \text{per ogni } (a, b)$

Esempio del prof. $p(0,0) = \frac1{12}$ , $p(0,1) = \frac3{12}$ , $p(0,2) = \frac3{12}$ , $p(1,0) = \frac2{12}$ , $p(1,1) = \frac1{12}$ , $p(1,2) = \frac2{12}$ .

Marginali: $p_X(0) = \frac7{12}$ , $p_X(1) = \frac5{12}$ ; $p_Y(0) = \frac3{12}$ , $p_Y(1) = \frac4{12}$ , $p_Y(2) = \frac5{12}$ .
$p(0, 0) = \frac1{12} = \frac{12}{144}$ , mentre $p_X(0)p_Y(0) = \frac{21}{144}$ : non indipendenti.
$E[X] = \frac5{12}$ , $E[Y] = \frac4{12} + \frac{10}{12} = \frac76$ , $E[XY] = 1\cdot 1\cdot\frac1{12} + 1\cdot 2\cdot\frac2{12} = \frac5{12}$ .
$\operatorname{Cov}[X, Y] = \frac5{12} - \frac5{12}\cdot\frac76 = -\frac{5}{72}$ .

Variabili aleatorie congiunte continue

Definizione. $(X, Y)$ è una variabile congiunta continua se esiste $f_{X,Y} : \mathbb{R}^2 \to [0, +\infty[$ , la densità congiunta, tale che $P((X, Y) \in A) = \iint_A f_{X,Y}(x, y)\,dx\,dy \qquad \text{per ogni } A \subseteq \mathbb{R}^2$ In particolare $f_{X,Y} \ge 0$ e $\iint_{\mathbb{R}^2}f_{X,Y} = 1$ .

Esempio del prof. $f_c(x, y) = c$ per $0 \le y \le x \le 1$ (il triangolo sotto la bisettrice), $0$ altrove.

Il triangolo ha area $\frac12$ , quindi $c = 2$ .
$P(X^2 + Y^2 \le \frac14)$ : il quarto di cerchio di raggio $\frac12$ intersecato con il triangolo è il settore di angolo $\frac\pi4$ (tra l'asse $x$ e la bisettrice), di area $\frac12\cdot\frac14\cdot\frac\pi4 = \frac{\pi}{32}$ . Quindi $P = 2\cdot\frac\pi{32} = \frac\pi{16}$ .

Grafico interattivo: Densità costante 2 sul triangolo 0 ≤ y ≤ x ≤ 1; l'evento X² + Y² ≤ 1/4 è il settore di angolo π/4 e raggio 1/2 (area π/32), con probabilità 2 · π/32 = π/16

Proposizione. Se $(X, Y)$ è congiunta continua, $X$ e $Y$ sono continue con densità (marginali) $f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y}(x, y)\,dy, \qquad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_{X,Y}(x, y)\,dx$

Esempio del prof. $f_{X,Y}(x, y) = cx^2y$ su $[0, 1]^2$ . $\int_0^1\int_0^1 cx^2y = c\cdot\frac13\cdot\frac12 = 1$ , quindi $c = 6$ , e $f_X(x) = \int_0^1 6x^2y\,dy = 3x^2, \qquad f_Y(y) = \int_0^1 6x^2y\,dx = 2y \qquad \text{(su } [0, 1]\text{)}$

Grafico interattivo: Uniforme sull'ellisse x²/4 + y² ≤ 1 (area 2π, densità 1/(2π)): la fetta verticale in x = 1 va da −√3/2 a √3/2, quella orizzontale in y = 1/2 da −√3 a √3; le fette più lunghe sono al centro, per questo le marginali non sono uniformi

Proposizione. Se $g$ è continua e $\iint|g|f_{X,Y} < +\infty$ : $\displaystyle E[g(X, Y)] = \iint_{\mathbb{R}^2}g(x, y)\,f_{X,Y}(x, y)\,dx\,dy$ . In particolare $E[XY] = \iint xy\,f_{X,Y}$ , e $\operatorname{Cov}[X, Y] = E[XY] - E[X]E[Y]$ .

Esempio del prof (uniforme sul disco unitario). Per simmetria $E[X] = E[Y] = 0$ ed $E[XY] = 0$ ( $xy$ è dispari in $x$ e il disco è simmetrico). Quindi $\operatorname{Cov}[X, Y] = 0$ , ma $X$ e $Y$ non sono indipendenti (vedi sotto): se $X$ è vicino a $1$ , $Y$ deve essere vicino a $0$ .

Proposizione. $X$ e $Y$ continue sono indipendenti se e solo se $f_{X,Y}(x, y) = f_X(x)\,f_Y(y) \qquad \text{per ogni } (x, y)$

Criterio del sostegno. Se $X$ e $Y$ sono indipendenti, il sostegno è un prodotto cartesiano: $S = \{f_X \ne 0\}\times\{f_Y \ne 0\}$ (un rettangolo, se i due insiemi sono intervalli).

Esempio del prof (terremoti). L'istante del prossimo forte terremoto è $G \sim \operatorname{Exp}\left(\frac1{10}\right)$ giorni in Grecia e $C \sim \operatorname{Exp}\left(\frac15\right)$ in California, indipendenti. Probabilità che quello in California arrivi almeno un giorno dopo quello in Grecia: $P(C \ge G + 1) = \int_0^{+\infty}\frac{1}{10}e^{-g/10}\left(\int_{g+1}^{+\infty}\frac15e^{-c/5}\,dc\right)dg = \int_0^{+\infty}\frac1{10}e^{-g/10}e^{-(g+1)/5}\,dg = \frac{e^{-1/5}}{10}\cdot\frac{1}{\frac1{10} + \frac15} = \frac{e^{-1/5}}{3} \approx 0.27$

20. Leggi dei grandi numeri

Disuguaglianza di Chebyshev e legge dei grandi numeri

Proposizione (Markov). Se $X \ge 0$ ha valore atteso finito, per ogni $a > 0$ : $P(X \ge a) \le \frac{E[X]}{a}$

Proposizione (Chebyshev). Se $X$ ha media $\mu$ e varianza finita, per ogni $\varepsilon > 0$ : $P(|X - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{\operatorname{Var}[X]}{\varepsilon^2}$

Legge debole dei grandi numeri. Siano $X_1, X_2, \dots$ i.i.d. con media $\mu$ e varianza $\sigma^2$ finita. Per ogni $\varepsilon > 0$ : $P\left(|\bar X_n - \mu| \ge \varepsilon\right) \le \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$

Legge forte dei grandi numeri. Siano $X_1, X_2, \dots$ i.i.d. con $E[X_1] = \mu$ . Allora $P\left(\lim_{n \to \infty}\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n} = \mu\right) = 1$

FormularioFondamenti di Analisi Matematica e Probabilità: definizioni, teoremi e formule delle note, in ordine di capitolo