FormularioAlgebra Lineare e Geometria: definizioni, teoremi e formule delle note, in ordine di capitolo

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1. Spazi vettoriali

Campi

Definizione (campo). Un campo è un insieme non vuoto $K$ con due operazioni, la somma $+$ e il prodotto $\cdot$ , tali che per ogni $a, b, c \in K$ :

$(a + b) + c = a + (b + c)$ (associativa della somma);

$a + b = b + a$ (commutativa della somma);

esiste un elemento $0 \in K$ con $0 + a = a$ per ogni $a$ (elemento neutro della somma);

per ogni $a$ esiste $-a \in K$ con $a + (-a) = 0$ (opposto);

$(a b) c = a (b c)$ (associativa del prodotto);

$a b = b a$ (commutativa del prodotto);

esiste un elemento $1 \in K$ , con $1 \ne 0$ , tale che $1 \cdot a = a$ per ogni $a$ (elemento neutro del prodotto);

per ogni $a \ne 0$ esiste $a^{-1} = \frac1a \in K$ con $a \cdot a^{-1} = 1$ (inverso);

$(a + b) c = a c + b c$ e $c (a + b) = c a + c b$ (distributive).

Esempio. $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ e $\mathbb{C}$ sono campi. $\mathbb{Z}$ non lo è: $2$ non ha inverso moltiplicativo in $\mathbb{Z}$ . L'insieme $\mathbb{Z}_2 = \{0, 1\}$ , con somma e prodotto modulo $2$ , è un campo.

Spazi vettoriali

Definizione (spazio vettoriale). Sia $K$ un campo. Uno spazio vettoriale su $K$ è un insieme non vuoto $V$ con due operazioni:

la somma di vettori: a $v, w \in V$ associa $v + w \in V$ ;

il prodotto per uno scalare: a $\alpha \in K$ e $v \in V$ associa $\alpha v \in V$ ;

tali che per ogni $u, v, w \in V$ e $\alpha, \beta \in K$ :

$(u + v) + w = u + (v + w)$ (associativa);

$u + v = v + u$ (commutativa);

esiste un vettore $\vec 0 \in V$ , il vettore nullo, con $\vec 0 + v = v$ per ogni $v$ ;

per ogni $v$ esiste $-v \in V$ , l'opposto, con $v + (-v) = \vec 0$ ;

$(\alpha \beta) v = \alpha (\beta v)$ ;

$(\alpha + \beta) v = \alpha v + \beta v$ e $\alpha (v + w) = \alpha v + \alpha w$ (distributive);

$1 \cdot v = v$ .

Gli elementi di $V$ si chiamano vettori, quelli di $K$ scalari.

Esempio. $\mathbb{R}^2$ con somma e prodotto per scalari per componenti è uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$ ; lo è anche l'insieme dei polinomi di grado al più $2$ .

Definizione (lo spazio Kⁿ). $K^n = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) : a_i \in K\}$ con $(a_1, \dots, a_n) + (b_1, \dots, b_n) = (a_1 + b_1, \dots, a_n + b_n), \qquad \lambda (a_1, \dots, a_n) = (\lambda a_1, \dots, \lambda a_n).$

Esempio numerico in $\mathbb{R}^3$ : $(1, -2, 0) + 3 \cdot (2, 1, 4) = (1, -2, 0) + (6, 3, 12) = (7, 1, 12)$ .

Combinazioni lineari e dipendenza lineare

Definizione (combinazione lineare). Dati i vettori $v_1, \dots, v_r$ di uno spazio vettoriale $V$ su $K$ e gli scalari $a_1, \dots, a_r \in K$ , il vettore $a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_r v_r = \sum_{i=1}^r a_i v_i$ si chiama combinazione lineare di $v_1, \dots, v_r$ con coefficienti $a_1, \dots, a_r$ .

Esempio. In $\mathbb{R}^2$ , $2(1,0) - 3(0,1) = (2,-3)$ è una combinazione lineare di $e_1$ ed $e_2$ con coefficienti $2$ e $-3$ .

Grafico interattivo: La combinazione 2u − 3w con u = (1, 0) e w = (1, 1): si sommano i vettori 2u e −3w, uno in coda all'altro, e si arriva in (−1, −3)

Definizione (indipendenza e dipendenza lineare). I vettori $v_1, \dots, v_r$ sono linearmente indipendenti se $a_1 v_1 + \dots + a_r v_r = \vec 0 \quad \Longrightarrow \quad a_1 = a_2 = \dots = a_r = 0,$ cioè se l'unica combinazione lineare uguale al vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli.

Sono linearmente dipendenti se non sono indipendenti, cioè se esistono $a_1, \dots, a_r$ non tutti nulli (basta uno diverso da zero) con $a_1 v_1 + \dots + a_r v_r = \vec 0$ .

Esempio. In $\mathbb{R}^2$ , $(1,2)$ e $(2,4)$ sono dipendenti ( $2(1,2) - (2,4) = (0,0)$ ), mentre $(1,0)$ e $(0,1)$ sono indipendenti.

Teorema (dipendenza e combinazioni lineari). I vettori $v_1, \dots, v_n$ sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno di essi si può scrivere come combinazione lineare dei rimanenti.

Esempio. $v_1 = (1,0)$ , $v_2 = (0,1)$ , $v_3 = (2,3)$ sono dipendenti, perché $v_3 = 2v_1 + 3v_2$ .

Sottospazi vettoriali

Definizione (sottospazio vettoriale). Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ . Un sottoinsieme non vuoto $W \subseteq V$ è un sottospazio vettoriale di $V$ se è a sua volta uno spazio vettoriale con le stesse operazioni di $V$ . Questo equivale a chiedere che $W$ sia chiuso per le due operazioni:

$w_1, w_2 \in W \Longrightarrow w_1 + w_2 \in W$ (chiuso per la somma);

$\lambda \in K$ , $w \in W \Longrightarrow \lambda w \in W$ (chiuso per il prodotto per scalari).

Esempio. $W = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 3x - 2y = 0\}$ è un sottospazio di $\mathbb{R}^2$ ; $\{(x,y) : y = x^2\}$ non lo è, perché $(1,1) + (-1,1) = (0,2)$ non appartiene all'insieme.

Proprietà (test del vettore nullo). se $\vec 0 \notin W$ , allora $W$ non è un sottospazio.

Esempio. $W = \{(x,y) : x + y = 1\}$ non contiene $(0,0)$ (perché $0 + 0 \ne 1$ ): non è un sottospazio di $\mathbb{R}^2$ .

Intersezione, somma e sottospazio generato

Definizione (intersezione di sottospazi). $U \cap W = \{v \in V : v \in U \text{ e } v \in W\}$ .

Esempio. In $\mathbb{R}^2$ , $\{(a,0)\} \cap \{(0,b)\} = \{(0,0)\}$ (asse $x$ e asse $y$ ).

Teorema (l'intersezione di sottospazi è un sottospazio). Se $U$ e $W$ sono sottospazi di $V$ , anche $U \cap W$ è un sottospazio di $V$ .

Esempio. In $\mathbb{R}^3$ l'intersezione dei piani $x = 0$ e $y = 0$ è l'asse $z$ , che è un sottospazio.

Definizione (somma di sottospazi). La somma di $U$ e $W$ , indicata con $U + W$ , è il più piccolo sottospazio di $V$ che contiene $U \cup W$ .

Esempio. In $\mathbb{R}^3$ la somma delle rette $\langle e_1 \rangle$ e $\langle e_2 \rangle$ è il piano $\langle e_1, e_2 \rangle$ .

Teorema (descrizione della somma). $U + W = \{u + w : u \in U,\ w \in W\}$ , cioè la somma contiene esattamente tutte le somme di un vettore di $U$ con un vettore di $W$ (da qui il nome e il simbolo).

Esempio. Con $U = \langle (1,0) \rangle$ e $W = \langle (0,1) \rangle$ : $U + W = \{(a,0) + (0,b)\} = \mathbb{R}^2$ .

Definizione (sottospazio generato). Il sottospazio generato da $S$ , indicato con $\langle S \rangle$ (in alcuni testi $L(S)$ , "lineare generato"), è il più piccolo sottospazio di $V$ che contiene $S$ .

Esempio. $\langle (1,2) \rangle = \{\lambda (1,2) : \lambda \in \mathbb{R}\}$ è la retta per l'origine di direzione $(1,2)$ .

Teorema (il sottospazio generato è l'insieme delle combinazioni lineari). $\langle S \rangle$ è l'insieme di tutte le combinazioni lineari (finite) di vettori di $S$ :

$\langle S \rangle = \left\{ \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_r v_r : r \ge 1,\ \lambda_i \in K,\ v_i \in S \right\}.$

Esempio. $\langle (1,0,0), (0,1,0) \rangle = \{a(1,0,0) + b(0,1,0)\}$ è il piano $z = 0$ di $\mathbb{R}^3$ .

Generatori e basi

Definizione (sistema di generatori). I vettori $v_1, \dots, v_r \in V$ formano un sistema di generatori (o insieme di generatori) di $V$ se $\langle v_1, \dots, v_r \rangle = V$ , cioè se ogni vettore $v \in V$ si può scrivere come combinazione lineare $v = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_r v_r \quad \text{per qualche } \lambda_1, \dots, \lambda_r \in K.$

Esempio. $(1,0)$ e $(0,1)$ generano $\mathbb{R}^2$ , perché $(a,b) = a(1,0) + b(0,1)$ . Invece $(1,1)$ e $(2,2)$ generano solo la retta $y = x$ .

Definizione (base). Una base di $V$ è un insieme di vettori che

è un sistema di generatori di $V$ , e

è formato da vettori linearmente indipendenti (si dice anche che è un insieme libero).

Esempio. $(1,2)$ e $(2,-3)$ sono una base di $\mathbb{R}^2$ : $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} = -7 \ne 0$ .

Teorema (coordinate uniche rispetto a una base). Se $v_1, \dots, v_n$ è una base di $V$ , ogni vettore $v \in V$ si scrive in modo unico come combinazione lineare di $v_1, \dots, v_n$ .

Esempio. Nella base $\{(1,0), (1,1)\}$ di $\mathbb{R}^2$ il vettore $(3,2)$ si scrive in un solo modo: $1\cdot(1,0) + 2\cdot(1,1)$ .

Definizione (base canonica di Kⁿ). In $K^n$ i vettori $e_1 = (1, 0, \dots, 0), \quad e_2 = (0, 1, 0, \dots, 0), \quad \dots, \quad e_n = (0, \dots, 0, 1)$ formano la base canonica.

Esempio. In $\mathbb{R}^3$ la base canonica è $e_1 = (1,0,0)$ , $e_2 = (0,1,0)$ , $e_3 = (0,0,1)$ e $(4,-1,7) = 4e_1 - e_2 + 7e_3$ .

Definizione (spazio finitamente generato). $V$ è finitamente generato se ha un sistema di generatori formato da un numero finito di vettori.

Esempio. $\mathbb{R}^3$ è finitamente generato (bastano $3$ vettori); lo spazio $\mathbb{R}[x]$ di tutti i polinomi no.

Teorema (lemma dello scambio). Se $v_1, \dots, v_n$ generano $V$ e $w_1, \dots, w_r \in V$ sono linearmente indipendenti, allora $r \le n$ .

Esempio d'uso. In $\mathbb{R}^3$ la base canonica dà 3 generatori: quindi 4 vettori di $\mathbb{R}^3$ sono sempre dipendenti, e 2 vettori non possono mai generare $\mathbb{R}^3$ (altrimenti i 3 vettori indipendenti $e_1, e_2, e_3$ sarebbero più dei 2 generatori).

Dimensione

Teorema (tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori). Se $v_1, \dots, v_n$ e $w_1, \dots, w_r$ sono due basi di $V$ , allora $r = n$ .

Esempio. La base canonica di $\mathbb{R}^3$ ha $3$ vettori, e anche la base $\{(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)\}$ ne ha $3$ .

Definizione (dimensione). La dimensione di $V$ , indicata con $\dim V$ , è il numero di vettori di una qualsiasi base di $V$ . Per convenzione $\dim \{\vec 0\} = 0$ .

Esempio. $\dim \mathbb{R}^n = n$ , $\dim \{\vec 0\} = 0$ e il piano $\{x + y + z = 0\} \subseteq \mathbb{R}^3$ ha dimensione $2$ .

Teorema (estrarre una base da un sistema di generatori). Da ogni sistema di generatori si può estrarre una base, togliendo opportunamente alcuni vettori.

Esempio. Da $\{(1,0), (2,0), (0,1)\}$ si estrae la base $\{(1,0), (0,1)\}$ , togliendo $(2,0) = 2(1,0)$ .

Teorema (completare a una base). Ogni insieme di vettori indipendenti si può completare a una base di $V$ , aggiungendo opportuni vettori.

Esempio. L'insieme $\{(1,1,0)\}$ si completa a una base di $\mathbb{R}^3$ aggiungendo $(0,1,0)$ e $(0,0,1)$ .

Teorema (in dimensione n basta una sola verifica). Sia $\dim V = n$ e siano $v_1, \dots, v_n$ esattamente $n$ vettori. Allora:

se generano $V$ , sono anche indipendenti, quindi sono una base;

se sono indipendenti, generano anche $V$ , quindi sono una base.

Esempio. In $\mathbb{R}^2$ (dimensione $2$ ) i due vettori $(1,2)$ e $(2,-3)$ hanno $\det = -7 \ne 0$ : sono indipendenti, quindi formano una base.

Formula di Grassmann e somma diretta

Teorema (formula di Grassmann). Se $U$ e $W$ sono sottospazi di uno spazio vettoriale $V$ (finitamente generato),

$\dim(U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W).$

Esempio. Due piani distinti per l'origine in $\mathbb{R}^3$ : $\dim U = \dim W = 2$ e $\dim(U + W) = 3$ , quindi $\dim(U \cap W) = 2 + 2 - 3 = 1$ : si intersecano in una retta.

Definizione (somma diretta). Se $U \cap W = \{\vec 0\}$ , la somma $U + W$ si dice diretta e si scrive $U \oplus W$ .

Esempio. In $\mathbb{R}^2$ , $\langle e_1 \rangle \cap \langle e_2 \rangle = \{0\}$ : la somma è diretta e $\langle e_1 \rangle \oplus \langle e_2 \rangle = \mathbb{R}^2$ .

Teorema (scrittura unica nella somma diretta). Se la somma è diretta, ogni $v \in U \oplus W$ si scrive in modo unico come $v = u + w$ con $u \in U$ , $w \in W$ .

Esempio. In $\mathbb{R}^2$ , $\mathbb{R}^2 = \langle e_1 \rangle \oplus \langle e_2 \rangle$ : ogni $(a, b)$ si scrive in modo unico come $(a, 0) + (0, b)$ . In $\mathbb{R}^3$ , un piano per l'origine e una retta per l'origine non contenuta nel piano danno $\mathbb{R}^3$ in somma diretta.

2. Funzioni lineari e matrici

Funzioni lineari e isomorfismi

Definizione (funzione lineare). Una funzione $f : V \to W$ tra spazi vettoriali sul campo $K$ si dice lineare se

$f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2)$ per ogni $v_1, v_2 \in V$ (additività);

$f(\lambda v) = \lambda f(v)$ per ogni $\lambda \in K$ e ogni $v \in V$ (omogeneità).

Esempio. $f(x,y) = (2x + y,\ x - y)$ è lineare; $g(x) = x + 1$ non lo è, perché $g(0) = 1 \ne 0$ .

Proposizione (una funzione lineare manda 0 in 0). Se $f : V \to W$ è lineare, allora $f(\vec 0_V) = \vec 0_W$ .

Esempio. $f(x,y,z) = (x + 4,\ y)$ ha $f(0,0,0) = (4, 0) \ne (0,0)$ : non è lineare.

Teorema (una funzione lineare è determinata dalle immagini di una base). Sia $\{v_1, \dots, v_n\}$ una base di $V$ .

(Unicità) Una funzione lineare $f : V \to W$ è completamente determinata dai vettori $f(v_1), \dots, f(v_n)$ .

(Esistenza) Comunque si scelgano $n$ vettori $w_1, \dots, w_n \in W$ (anche uguali, anche nulli), esiste una e una sola funzione lineare $f : V \to W$ con $f(v_1) = w_1, \dots, f(v_n) = w_n$ .

Esempio. Esiste una funzione lineare $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ con $f(1, 0) = (1, 2, 0)$ e $f(0, 1) = (-1, 0, 3)$ ? Sì e una sola, perché $(1,0), (0,1)$ è una base. Per calcolarla in un vettore qualsiasi: $(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)$ , quindi $f(x, y) = x(1, 2, 0) + y(-1, 0, 3) = (x - y, \ 2x, \ 3y)$ Per esempio $f(2, 5) = (-3, 4, 15)$ .

Grafico interattivo: Esempio nel piano: la funzione lineare con f(1, 0) = (2, 1) e f(0, 1) = (−1, 1) è determinata da queste due immagini e manda il quadrato unitario nel parallelogramma di lati f(e₁) e f(e₂)

Coordinate rispetto a una base

Definizione (coordinate rispetto a una base). I numeri $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in K$ si chiamano coordinate (o componenti) di $v$ rispetto alla base $\mathcal B$ . Si scrivono in colonna: $[v]_{\mathcal B} = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix} \in K^n$

Esempio. In $\mathbb{R}^2$ , il vettore $v = (3,1)$ nella base $\{(1,1), (1,-1)\}$ ha coordinate $[v]_{\mathcal B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ , perché $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$ .

Teorema. Ogni spazio vettoriale di dimensione $n$ sul campo $K$ è isomorfo a $K^n$ .

Esempio. I polinomi $p_1 = 1 + x$ , $p_2 = x + x^2$ , $p_3 = 1 + 2x + x^2$ sono indipendenti? Le coordinate rispetto a $\{1, x, x^2\}$ sono $(1, 1, 0)$ , $(0, 1, 1)$ , $(1, 2, 1)$ ; la terza è la somma delle prime due, quindi le colonne sono dipendenti e anche i polinomi lo sono: infatti $p_3 = p_1 + p_2$ .

Nucleo e immagine

Definizione (nucleo e immagine). Nucleo di $f$ : l'insieme dei vettori del dominio che $f$ manda nel vettore nullo, $\operatorname{Ker} f = \{ v \in V : f(v) = \vec 0_W \} \subseteq V$ ("Ker" viene dall'inglese kernel; alcuni libri scrivono $N(f)$ .)

Immagine di $f$ : l'insieme dei vettori del codominio che sono immagine di qualche vettore del dominio, $\operatorname{Im} f = \{ w \in W : \exists\, v \in V \text{ con } f(v) = w \} = \{ f(v) : v \in V \} \subseteq W$

Esempio. $f(x,y,z) = (x, y)$ : $\operatorname{Ker} f = \{(0,0,z)\} = \langle (0,0,1) \rangle$ e $\operatorname{Im} f = \mathbb{R}^2$ .

Teorema (nucleo e immagine sono sottospazi). $\operatorname{Ker} f$ è un sottospazio di $V$ e $\operatorname{Im} f$ è un sottospazio di $W$ .

Esempio. Per $f(x,y) = x + y$ da $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$ : $\operatorname{Ker} f = \{y = -x\}$ è una retta (sottospazio di $\mathbb{R}^2$ ) e $\operatorname{Im} f = \mathbb{R}$ .

Teorema (nucleo e iniettività). $f$ è iniettiva $\iff$ $\operatorname{Ker} f = \{\vec 0\}$ .

Esempio. $f(x,y) = (x, x + y)$ ha $\operatorname{Ker} f = \{0\}$ : è iniettiva. $g(x,y) = x + y$ ha $(1,-1) \in \operatorname{Ker} g$ : non è iniettiva.

Proposizione (l'immagine è generata dalle immagini di una base). Se $\{v_1, \dots, v_n\}$ è una base di $V$ , allora $\operatorname{Im} f = \langle f(v_1), \dots, f(v_n) \rangle$ .

Esempio. $f(x,y) = (x + y,\ 2x + 2y)$ : $f(e_1) = f(e_2) = (1,2)$ , quindi $\operatorname{Im} f = \langle (1,2) \rangle$ .

Teorema. Se $f : V \to W$ è lineare e $V$ ha dimensione finita, $\dim \operatorname{Ker} f + \dim \operatorname{Im} f = \dim V$

Esempio. $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ , $f(x,y,z) = (x, y)$ : $\operatorname{Ker} f = \langle (0,0,1) \rangle$ ha dimensione $1$ , $\operatorname{Im} f = \mathbb{R}^2$ ha dimensione $2$ , e $1 + 2 = 3 = \dim \mathbb{R}^3$ .

Definizione (antimmagine di un vettore). L'antimmagine (o controimmagine) di $w \in W$ è $f^{-1}(w) = \{ v \in V : f(v) = w \}$ .

Esempio. Per $f(x,y) = x + y$ si ha $f^{-1}(2) = \{(x,y) : x + y = 2\}$ , una retta che non contiene l'origine (non è un sottospazio).

Teorema (struttura dell'antimmagine). Se $v_0$ è un vettore con $f(v_0) = w$ (una "soluzione particolare"), allora $f^{-1}(w) = v_0 + \operatorname{Ker} f = \{ v_0 + u : u \in \operatorname{Ker} f \}$

Esempio. Con la $f$ di prima, $f^{-1}(1, 2)$ : si risolve $3x_1 - x_2 + x_3 = 1$ , $-2x_1 + 4x_2 - x_3 = 2$ . Scegliendo $x_2 = 0$ (una scelta qualsiasi per trovare una soluzione): $3x_1 + x_3 = 1$ e $-2x_1 - x_3 = 2$ ; sommando $x_1 = 3$ , poi $x_3 = 1 - 9 = -8$ . Quindi $v_0 = (3, 0, -8)$ e $f^{-1}(1, 2) = (3, 0, -8) + \langle (-3, 1, 10) \rangle = \{ (3 - 3t, \ t, \ -8 + 10t) : t \in \mathbb{R} \}$ Geometricamente: una retta parallela al nucleo che non passa per l'origine (non è un sottospazio).

Grafico interattivo: f(x, y) = (x + 2y, 2x + 4y) da R² a R²: nucleo la retta x + 2y = 0, immagine la retta y = 2x generata da (1, 2); l'antimmagine di (1, 2) è la retta parallela al nucleo x + 2y = 1, che non passa per l'origine

Matrice associata a una funzione lineare

Definizione (matrice associata a una funzione lineare). La matrice associata a $f$ rispetto alla base $\mathcal B$ del dominio e alla base $\mathcal C$ del codominio è $M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$ La colonna $j$ contiene le coordinate di $f(v_j)$ rispetto alla base $\mathcal C$ .

Esempio. $f(x,y) = (x + y,\ 2x)$ nelle basi canoniche: $f(e_1) = (1,2)$ e $f(e_2) = (1,0)$ , quindi $M(f) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ .

Teorema (coordinate dell'immagine). Se $A = M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f)$ , allora per ogni $v \in V$

$[f(v)]_{\mathcal C} = A \, [v]_{\mathcal B}$

Esempio (lezione 13): giro lungo contro prodotto. Sia $A = M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ e $v$ il vettore di coordinate $(2, -3, 4)$ , cioè $v = 2v_1 - 3v_2 + 4v_3$ .

Proprietà (matrice di una somma e di un multiplo). $M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f + g) = M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f) + M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(g), \qquad M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(\lambda f) = \lambda \, M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f)$

Esempio. Se $M(f) = I_2$ e $M(g) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , allora $M(f + g) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ e $M(3f) = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ .

Operazioni tra matrici

Definizione (somma e prodotto per uno scalare). $A + B = (a_{ij} + b_{ij}), \qquad \lambda A = (\lambda a_{ij})$

Esempio. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 5 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -3 \\ 5 & 5 & 0 \end{pmatrix}$

Definizione (prodotto righe per colonne). $c_{hj} = \sum_{i=1}^m b_{hi} \, a_{ij} = b_{h1} a_{1j} + b_{h2} a_{2j} + \dots + b_{hm} a_{mj}$ La matrice $C = BA$ si chiama prodotto di $B$ per $A$ , e vale $M^{\mathcal B}_{\mathcal D}(g \circ f) = M^{\mathcal C}_{\mathcal D}(g) \cdot M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f)$

Esempio. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 3 + 2\cdot 4 \\ 0\cdot 3 + 1\cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 4 \end{pmatrix}$ .

Proprietà (dimensioni del prodotto). Il prodotto $BA$ è definito solo se il numero di colonne di $B$ è uguale al numero di righe di $A$ . Se $B$ è $r \times m$ e $A$ è $m \times n$ , allora $BA$ è $r \times n$ (righe di $B$ , colonne di $A$ ).

Esempio (lezione 12). $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}, \qquad A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 5 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$

Definizione (matrice trasposta). La trasposta di $A = (a_{ij}) \in M_{m \times n}(K)$ è la matrice $A^T \in M_{n \times m}(K)$ che ha al posto $(i, j)$ l'elemento $a_{ji}$ : le righe di $A$ diventano le colonne di $A^T$ .

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 4 \\ 3 & 5 & 1 & 0 \end{pmatrix} \ (2 \times 4), \qquad A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \\ -2 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \ (4 \times 2)$

Cambiamenti di base

Definizione (matrice di cambiamento di base). La matrice di cambiamento di base da $\mathcal B$ a $\mathcal B'$ è $P = M^{\mathcal B}_{\mathcal B'}(\mathrm{id}_V)$ la matrice della funzione identica $\mathrm{id}_V(v) = v$ , usando $\mathcal B$ nel dominio e $\mathcal B'$ nel codominio. La colonna $i$ contiene le coordinate di $v_i$ rispetto a $\mathcal B'$ .

Esempio. In $\mathbb{R}^2$ , con $\mathcal B = \{(1,1), (1,-1)\}$ e $\mathcal B' = \mathcal E$ (base canonica), la colonna $i$ è $v_i$ stesso: $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Teorema (le due matrici di cambiamento di base sono inverse). $QP = PQ = I_n$ , cioè $M^{\mathcal B'}_{\mathcal B}(\mathrm{id}_V) = \big(M^{\mathcal B}_{\mathcal B'}(\mathrm{id}_V)\big)^{-1}$ . In particolare ogni matrice di cambiamento di base è invertibile.

Esempio. Per $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ si ha $Q = P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ e $QP = I_2$ .

Teorema (formula di cambiamento di base). $\boxed{\ M^{\mathcal B'}_{\mathcal C'}(f) = M^{\mathcal C}_{\mathcal C'}(\mathrm{id}_W) \cdot M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f) \cdot M^{\mathcal B'}_{\mathcal B}(\mathrm{id}_V)\ }$

Esempio. $f(x,y) = (x + 2y,\ 2x + y)$ ha $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ ; con $\mathcal B' = \{(1,1), (1,-1)\}$ nel dominio e base canonica nel codominio, $M^{\mathcal B'}_{\mathcal E}(f) = A P = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ (colonne $f(1,1) = (3,3)$ e $f(1,-1) = (-1,1)$ ).

Definizione (matrici simili). Due matrici quadrate $A, A' \in M_n(K)$ si dicono simili se esiste una matrice invertibile $P$ tale che $A' = P^{-1} A P$ .

Esempio: una base in cui la matrice è diagonale. $f(x, y) = (x + 2y, \ 2x + y)$ , $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ nella base canonica. Con $\mathcal B' = \{(1, 1), (1, -1)\}$ : $f(1, 1) = (3, 3) = 3 \cdot (1, 1), \qquad f(1, -1) = (-1, 1) = -1 \cdot (1, -1)$ quindi, per la ricetta, $A' = M^{\mathcal B'}_{\mathcal B'}(f) = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ . Con la formula: $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ , $P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ , $P^{-1} A P = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ (dove $AP = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ ). La stessa funzione, che nella base canonica "mescola" $x$ e $y$ , nella base $\mathcal B'$ si limita a moltiplicare la prima coordinata per $3$ e la seconda per $-1$ . Trovare basi di questo tipo è il problema della Diagonalizzazione.

Grafico interattivo: f(x, y) = (x + 2y, 2x + y): la direzione b₁ = (1, 1) viene allungata di 3 volte, la direzione b₂ = (1, −1) viene ribaltata (fattore −1); nella base {b₁, b₂} la matrice è diag(3, −1)

3. Sistemi lineari

Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli

Formula (scrittura matriciale di un sistema lineare). $\boxed{AX = B}$

Esempio. Il sistema $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 4x - y = 1 \end{cases}$ si scrive $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Teorema (struttura delle soluzioni di un sistema lineare). Sia $\bar X$ una soluzione (detta soluzione particolare) del sistema $AX = B$ . Allora le soluzioni del sistema sono tutti e soli i vettori della forma

$X = \bar X + Y, \qquad Y \in \operatorname{Ker} f_A \ (\text{cioè } AY = 0).$

Esempio. $x + y = 2$ : $\bar X = (2, 0)$ è una soluzione e $\operatorname{Ker} f_A = \langle (1,-1) \rangle$ , quindi le soluzioni sono $(2,0) + t(1,-1)$ .

Teorema (Rouché-Capelli). Il sistema $AX = B$ , con $A \in M_{m \times n}(K)$ , ha soluzioni se e solo se $\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(A \,|\, B).$ In tal caso, detto $r$ questo rango comune:

se $r = n$ la soluzione è unica;

se $r < n$ le soluzioni sono infinite e dipendono da $n - r$ parametri liberi (si scrive $\infty^{n-r}$ soluzioni).

Esempio. $\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 2y = 4 \end{cases}$ ha $\operatorname{rango}(A) = \operatorname{rango}(A|B) = 1 < 2$ : infinite soluzioni ( $\infty^1$ ). Con termine noto $(2, 5)$ il rango di $(A|B)$ sarebbe $2 \ne 1$ : nessuna soluzione.

Eliminazione di Gauss

Definizione (forma a scala e pivot). Una matrice è in forma a scala (per righe) se, in ogni riga, il primo elemento non nullo sta strettamente più a destra del primo elemento non nullo della riga precedente; le eventuali righe nulle stanno in fondo.

Il primo elemento non nullo di ogni riga non nulla si chiama pivot.

Esempio. $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ è a scala, con pivot $1$ (prima riga) e $4$ (seconda riga).

Teorema (rango di una matrice a scala). Il rango di una matrice in forma a scala è il numero di righe non nulle (cioè il numero di pivot).

Esempio. La matrice a scala $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ha due righe non nulle, quindi rango $2$ .

Matrice inversa

Definizione (matrice invertibile e inversa). Una matrice quadrata $A \in M_n(K)$ si dice invertibile se esiste una matrice $A^{-1} \in M_n(K)$ tale che $A A^{-1} = A^{-1} A = I_n.$ $A^{-1}$ si chiama inversa di $A$ .

Esempio (lezione 15). Per $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ si ha $A^{-1} = \frac15 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ . Verifica (è la cosa più facile da fare quando qualcuno ci dà un'inversa): prima riga di $A^{-1}$ per prima colonna di $A$ : $\frac15(1 \cdot 2 + 1 \cdot 3) = 1$ ; prima riga per seconda colonna: $\frac15(1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1) = 0$ ; e così via: il prodotto è $I_2$ .

Proposizione (inversa sinistra e destra coincidono). Se $BA = I_n$ e $AC = I_n$ , allora $B = C$ . In particolare l'inversa, se esiste, è unica.

Esempio. Per $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ le matrici $B$ e $C$ con $BA = I$ e $AC = I$ sono entrambe $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Teorema. Per $A \in M_n(K)$ sono equivalenti:

$A$ è invertibile;

$\operatorname{rango}(A) = n$ (rango massimo);

$\operatorname{Ker} f_A = \{0\}$ , cioè il sistema $AX = 0$ ha solo la soluzione nulla;

le colonne (equivalentemente, le righe) di $A$ sono linearmente indipendenti.

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ha rango $2$ , $AX = 0$ ha solo $X = 0$ e le colonne sono indipendenti: è invertibile, con $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$ .

Formula (inversa di una matrice 2 × 2). $\boxed{A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}}$

Esempio. $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{2 \cdot 1 - (-1)\cdot 3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$ .

4. Determinante

Permutazioni e definizione di determinante

Definizione (permutazione). Una permutazione di $\{1, 2, \dots, n\}$ è una funzione biiettiva $\sigma : \{1, \dots, n\} \to \{1, \dots, n\}$ . L'insieme di tutte le permutazioni di $n$ elementi si indica con $S_n$ .

Esempio. $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ è una permutazione di $\{1,2,3\}$ ; in $S_3$ ce ne sono $3! = 6$ .

Definizione (determinante). Sia $A = (a_{ij}) \in M_n(K)$ . Il determinante di $A$ è il numero $\det A = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \, a_{1\sigma(1)} \, a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}.$

Esempio. $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 1\cdot 4 - 2\cdot 3 = -2$ .

Teorema (determinante di una matrice triangolare). Se $A$ è triangolare (superiore: tutti zeri sotto la diagonale; oppure inferiore: tutti zeri sopra), il determinante è il prodotto degli elementi della diagonale:

$\det \begin{pmatrix} a_{11} & * & \cdots & * \\ 0 & a_{22} & \cdots & * \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}.$

Esempio. $\det\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ .

Teorema (determinante della trasposta). $\det A^T = \det A$ .

Esempio. $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = -2 = \det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ .

Proprietà del determinante, Binet e Laplace

Teorema (Binet). Per $A, B \in M_n(K)$ : $\det(AB) = \det A \cdot \det B.$

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ hanno $\det A = 3$ e $\det B = 2$ ; $AB = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ ha $\det(AB) = 6 = 3 \cdot 2$ .

Teorema (Laplace). Per ogni riga $i$ fissata: $\det A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \det A_{ij} \qquad \text{(sviluppo lungo la riga } i\text{)},$ e per ogni colonna $j$ fissata: $\det A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \det A_{ij} \qquad \text{(sviluppo lungo la colonna } j\text{)}.$ Il risultato non dipende dalla riga o colonna scelta.

Esempio (lezione 21).

Matrice aggiunta e teorema di Cramer

Teorema. $A \cdot A^* = A^* \cdot A = \det A \cdot I_n$ .

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ha $A^* = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ e $A A^* = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = \det A \cdot I_2$ .

Teorema. Una matrice quadrata $A$ è invertibile se e solo se $\det A \ne 0$ .

( $\Rightarrow$ : Binet, $\det A \cdot \det A^{-1} = 1$ . $\Leftarrow$ : la formula qui sopra costruisce $A^{-1}$ .)

Esempio. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ ha $\det = -2 \ne 0$ ed è invertibile; $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ ha $\det = 0$ e non lo è.

Teorema (Cramer). Se $A \in M_n(K)$ ha $\det A \ne 0$ , il sistema $AX = B$ ha un'unica soluzione, data da $x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}, \qquad i = 1, \dots, n,$ dove $\Delta = \det A$ e $\Delta_i$ è il determinante della matrice ottenuta da $A$ sostituendo la colonna $i$ con la colonna $B$ dei termini noti.

Esempio. Con la stessa $A$ di prima e $B = (1, 4, -1)$ :

5. Autovalori e diagonalizzazione

Autovalori e autovettori

Definizione. Due matrici $A, B \in M_n(K)$ sono simili se esiste una matrice invertibile $P \in M_n(K)$ tale che $B = P^{-1} A P.$

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ sono simili con $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ : $P^{-1} A P = B$ .

Definizione. Sia $f : V \to V$ lineare. Un vettore $v \in V$ , $v \ne \vec 0$ , si dice autovettore di $f$ se esiste uno scalare $\lambda \in K$ tale che $f(v) = \lambda v .$ Lo scalare $\lambda$ si chiama autovalore di $f$ (relativo all'autovettore $v$ ).

Per una matrice $A \in M_n(K)$ si dice lo stesso con $A v = \lambda v$ ( $v$ vettore colonna non nullo).

Esempio immediato. Con $A = \begin{pmatrix} -7 & -9 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$ e $v = (-1, 1)$ :

Grafico interattivo: Con A = (−7 −9; 6 8): il vettore v = (−1, 1) viene mandato in Av = (−2, 2) = 2v, sulla sua stessa retta (autovettore); il vettore e₁ = (1, 0) va in Ae₁ = (−7, 6), che cambia direzione

Definizione. Il polinomio caratteristico di $A \in M_n(K)$ è $p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I),$ cioè il determinante della matrice che si ottiene sottraendo $\lambda$ solo agli elementi della diagonale di $A$ . L'equazione $p_A(\lambda) = 0$ si chiama equazione caratteristica.

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ : $p_A(\lambda) = (2 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3$ .

Teorema. Gli autovalori di $A$ sono esattamente le soluzioni (in $K$ ) dell'equazione caratteristica $\det(A - \lambda I) = 0$ .

Esempio. Per la stessa $A$ : $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$ dà gli autovalori $\lambda = 1$ e $\lambda = 3$ .

Definizione. Se nella scomposizione in fattori del polinomio caratteristico compare il fattore $(\lambda - a)^r$ , con $r$ massimo (cioè $(\lambda - a)^{r+1}$ non divide $p_A$ ), si dice che l'autovalore $a$ ha molteplicità algebrica $r$ . Si scrive $m_a(a) = r$ .

Esempio: se $p_A(\lambda) = -(\lambda - 1)^2 (\lambda + 3)$ , l'autovalore $1$ ha molteplicità algebrica $2$ e l'autovalore $-3$ ha molteplicità algebrica $1$ . Si chiama "algebrica" perché nasce solo dallo scomporre un polinomio; tra poco arriva quella "geometrica".

Teorema. Se $A$ e $B$ sono simili, allora $p_A(\lambda) = p_B(\lambda)$ . In particolare hanno gli stessi autovalori, con le stesse molteplicità algebriche.

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ e $B = \operatorname{diag}(1, 3)$ sono simili e hanno entrambe $p(\lambda) = (1 - \lambda)(3 - \lambda)$ .

Definizione. L'autospazio relativo all'autovalore $\lambda$ è $V_\lambda = \operatorname{Ker}(A - \lambda I) = \{ v \in K^n : A v = \lambda v \}.$ I suoi elementi non nulli sono esattamente gli autovettori relativi a $\lambda$ .

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ e $\lambda = 3$ : $A - 3I = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ , quindi $V_3 = \operatorname{Ker}(A - 3I) = \{(t, t)\} = \langle (1, 1) \rangle$ .

Definizione. La molteplicità geometrica di un autovalore $\lambda$ è la dimensione del suo autospazio: $m_g(\lambda) = \dim V_\lambda = n - \operatorname{rango}(A - \lambda I).$

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ e $\lambda = 2$ : $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ha rango $1$ , quindi $m_g(2) = 2 - 1 = 1$ , mentre $m_a(2) = 2$ .

Diagonalizzazione

Definizione. Una matrice $A \in M_n(K)$ si dice diagonalizzabile (su $K$ ) se è simile a una matrice diagonale, cioè se esistono $S$ invertibile e $D$ diagonale con $D = S^{-1} A S \qquad \text{(equivalentemente } A = S D S^{-1}\text{)}.$ Un endomorfismo $f : V \to V$ è diagonalizzabile se ha una matrice diagonale in qualche base.

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ con $S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ (autovettori $(1,1)$ e $(1,-1)$ ) e $D = \operatorname{diag}(3, 1)$ : $S^{-1} A S = D$ .

Teorema. $A$ è diagonalizzabile $\iff$ esiste una base di $K^n$ formata da autovettori di $A$ . In tal caso:

$D$ ha sulla diagonale gli autovalori $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ ;

$S$ ha nelle colonne gli autovettori $v_1, \dots, v_n$ corrispondenti, nello stesso ordine.

Esempio. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ ha la base di autovettori $(1,1)$ , $(1,-1)$ : è diagonalizzabile. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ ha solo gli autovettori $(t, 0)$ : nessuna base, non è diagonalizzabile.

Teorema. Siano $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ autovalori distinti di $A$ e $v_1, \dots, v_r$ autovettori corrispondenti ( $A v_i = \lambda_i v_i$ ). Allora $v_1, \dots, v_r$ sono linearmente indipendenti.

Esempio. Per $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ gli autovettori $(1,1)$ e $(1,-1)$ hanno autovalori distinti $3 \ne 1$ e sono indipendenti: $\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = -2 \ne 0$ .

Corollario. Se $A \in M_n(K)$ ha $n$ autovalori distinti in $K$ , allora è diagonalizzabile.

Esempio. $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ è triangolare con autovalori distinti $1$ e $3$ : è diagonalizzabile.

Teorema. Per ogni autovalore $\lambda$ di $A$ : $1 \le m_g(\lambda) \le m_a(\lambda).$

Esempio. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ ha $m_a(2) = 2$ e $m_g(2) = 1$ , quindi $1 \le m_g(2) \le m_a(2)$ con la seconda disuguaglianza stretta.

Teorema (criterio). $A \in M_n(K)$ è diagonalizzabile su $K$ se e solo se:

tutti gli autovalori stanno in $K$ , cioè la somma delle molteplicità algebriche degli autovalori in $K$ è $n$ : $m_a(\lambda_1) + \dots + m_a(\lambda_r) = n;$

per ogni autovalore $m_g(\lambda_i) = m_a(\lambda_i)$ .

Esempio. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ ha $m_a(2) = 2 \ne m_g(2) = 1$ : non è diagonalizzabile. La matrice $I_2$ ha $m_a(1) = m_g(1) = 2$ : è diagonalizzabile.

Definizione. $A \in M_n(\mathbb{R})$ è simmetrica se $A^T = A$ , cioè $a_{ij} = a_{ji}$ : ogni riga è uguale alla corrispondente colonna. È antisimmetrica se $A^T = -A$ ; in tal caso la diagonale è tutta nulla (un elemento diagonale non si sposta trasponendo, quindi deve essere uguale al suo opposto). Esempio di antisimmetrica: $\begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ -3 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Esempio. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$ è simmetrica; $\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 0 \end{pmatrix}$ è antisimmetrica (diagonale nulla e $a_{ji} = -a_{ij}$ ).

Teorema. Una matrice simmetrica reale $A$ di ordine $n$ ha $n$ autovalori reali (contati con molteplicità).

Esempio. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ ha $p(\lambda) = (1 - \lambda)^2 - 4$ , con autovalori reali $3$ e $-1$ . Una matrice non simmetrica può averli complessi: $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ha $\pm i$ .

Esponenziale di una matrice e sistemi differenziali lineari

Definizione. Per $A \in M_n(\mathbb{R})$ : $e^A = I + A + \frac{A^2}{2!} + \frac{A^3}{3!} + \dots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} .$

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ha $A^2 = 0$ , quindi la serie si ferma: $e^A = I + A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Formula. Se $A = S D S^{-1}$ con $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ , allora $e^{A} = S \begin{pmatrix} e^{\lambda_1} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n} \end{pmatrix} S^{-1}, \qquad e^{A x} = S \begin{pmatrix} e^{\lambda_1 x} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n x} \end{pmatrix} S^{-1}.$

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = S \operatorname{diag}(3, 1) S^{-1}$ con $S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ : $e^A = S \operatorname{diag}(e^3, e) S^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} e^3 + e & e^3 - e \\ e^3 - e & e^3 + e \end{pmatrix}$ .

Forma canonica di Jordan

Definizione. Il blocco di Jordan di ordine $k$ relativo a $\lambda$ è la matrice $k \times k$ $J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix}$ con $\lambda$ sulla diagonale, $1$ subito sopra la diagonale e $0$ altrove. Una matrice di Jordan è una matrice diagonale a blocchi i cui blocchi sono blocchi di Jordan.

Esempio. $J_2(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ e $J_3(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ : $\lambda$ sulla diagonale, $1$ subito sopra, $0$ altrove.

Teorema (forma canonica di Jordan). Sia $A \in M_n(K)$ con tutti gli autovalori in $K$ (sempre vero per $K = \mathbb{C}$ ). Allora $A$ è simile a una matrice di Jordan $J$ , unica a meno dell'ordine dei blocchi: $P^{-1} A P = J .$

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ non è diagonalizzabile, ma è già in forma di Jordan: un solo blocco $J_2(2)$ (uno solo perché $m_g(2) = 1$ ).

6. Prodotto scalare e ortogonalità

Prodotto scalare, norma e angoli

Definizione. Per $v = (a_1, \dots, a_n)$ e $w = (b_1, \dots, b_n)$ in $\mathbb{R}^n$ : $v \cdot w = \sum_{i=1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n, \qquad \|v\| = \sqrt{v \cdot v} = \sqrt{a_1^2 + \dots + a_n^2} .$

Esempio. $v = (1, 2, -1, 3)$ , $w = (2, 0, 4, 1)$ : $v \cdot w = 2 + 0 - 4 + 3 = 1$ ; $\|v\| = \sqrt{1 + 4 + 1 + 9} = \sqrt{15}$ .

Teorema (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz). Per ogni $v, w \in \mathbb{R}^n$ : $\lvert v \cdot w \rvert \le \|v\|\, \|w\| .$ Inoltre vale l'uguaglianza se e solo se $v$ e $w$ sono proporzionali.

Esempio. $v = (1,2)$ e $w = (3,1)$ : $|v \cdot w| = 5 \le \|v\|\,\|w\| = \sqrt{5}\sqrt{10} = \sqrt{50} \approx 7{,}07$ .

Definizione. L'angolo tra due vettori non nulli $v, w \in \mathbb{R}^n$ è l'unico $\alpha \in [0, \pi]$ tale che $\cos \alpha = \frac{v \cdot w}{\|v\|\, \|w\|}, \qquad \text{cioè} \quad \alpha = \arccos \frac{v \cdot w}{\|v\|\, \|w\|} .$

Esempio. $v = (1, 1, 1, 1)$ , $w = (1, 0, 1, 0)$ : $\cos \alpha = \frac{2}{2 \cdot \sqrt2} = \frac{1}{\sqrt 2}$ , quindi $\alpha = \frac{\pi}{4}$ . Dettagli nell'Esercizio 86 · angoli, aree e volumi con il prodotto scalare.

Definizione. Due vettori $v, w$ sono ortogonali (o perpendicolari), e si scrive $v \perp w$ , se $v \cdot w = 0$ .

Esempio. $(1,2) \cdot (2,-1) = 2 - 2 = 0$ : i due vettori sono ortogonali.

Definizione. Un vettore è normalizzato (un versore) se ha norma $1$ .

Esempio: $v = (3, 0, 4)$ , $\|v\| = 5$ , versore $\left(\frac35, 0, \frac45\right)$ .

Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali

Definizione. Sia $U \subseteq \mathbb{R}^n$ un sottospazio vettoriale. L'ortogonale di $U$ è $U^\perp = \{ v \in \mathbb{R}^n : v \cdot u = 0 \ \text{ per ogni } u \in U \},$ l'insieme dei vettori perpendicolari a tutti i vettori di $U$ .

Esempio. $U = \langle (1,1,0) \rangle \subseteq \mathbb{R}^3$ : $U^\perp = \{(x,y,z) : x + y = 0\} = \langle (1,-1,0), (0,0,1) \rangle$ .

Proposizione. Se $\{u_1, \dots, u_r\}$ è una base (o anche solo un insieme di generatori) di $U$ , allora $v \in U^\perp \iff v \cdot u_1 = 0, \ \ v \cdot u_2 = 0, \ \dots, \ v \cdot u_r = 0 .$

Esempio. $U = \langle (1, 2, 0, 1),\ (0, 1, 1, -1) \rangle \subset \mathbb{R}^4$ : $U^\perp: \begin{cases} x_1 + 2x_2 + x_4 = 0 \\ x_2 + x_3 - x_4 = 0 \end{cases}$

Teorema. Per ogni sottospazio $U \subseteq \mathbb{R}^n$ : $\dim U^\perp = n - \dim U .$

Esempio. $U = \langle (1,1,0) \rangle \subseteq \mathbb{R}^3$ ha $\dim U = 1$ , quindi $\dim U^\perp = 3 - 1 = 2$ (infatti $U^\perp = \langle (1,-1,0), (0,0,1) \rangle$ ).

Teorema. Per ogni sottospazio $U \subseteq \mathbb{R}^n$ :

$U \cap U^\perp = \{0\}$ ;

$\mathbb{R}^n = U \oplus U^\perp$ ;

$(U^\perp)^\perp = U$ .

Esempio. Con $U = \langle (1,1,0) \rangle$ e $U^\perp = \langle (1,-1,0), (0,0,1) \rangle$ si ha $U \cap U^\perp = \{0\}$ e $\mathbb{R}^3 = U \oplus U^\perp$ (dimensioni $1 + 2 = 3$ ).

Definizione. $v' = p_U(v)$ è la proiezione ortogonale di $v$ su $U$ ; $v'' = v - p_U(v) = p_{U^\perp}(v)$ è la proiezione su $U^\perp$ (la "componente ortogonale").

Esempio. $U = \langle (1,0) \rangle \subseteq \mathbb{R}^2$ e $v = (3,4)$ : $p_U(v) = (3,0)$ e $v - p_U(v) = (0,4) \in U^\perp$ .

Teorema (migliore approssimazione). Per ogni $u \in U$ : $\|v - p_U(v)\| \le \|v - u\|,$ con uguaglianza solo se $u = p_U(v)$ . Cioè $p_U(v)$ è il vettore di $U$ più vicino a $v$ , e la distanza di $v$ da $U$ è $\|v - p_U(v)\| = \|p_{U^\perp}(v)\|$ .

Esempio. $U = \langle (1,0) \rangle$ e $v = (3,4)$ : la distanza di $v$ da $U$ è $\|v - p_U(v)\| = \|(0,4)\| = 4$ ; per $u = (2,0)$ si ha $\|v - u\| = \sqrt{1 + 16} \approx 4{,}12 > 4$ .

Metodo dei minimi quadrati

Definizione. Una soluzione ai minimi quadrati di $AX = b$ è un vettore $\hat X \in \mathbb{R}^n$ che rende minima la norma $\|A X - b\|^2 = \sum_{i=1}^m \big( (AX)_i - b_i \big)^2 .$

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $b = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ (sistema incompatibile): $\|AX - b\|^2 = (x - 1)^2 + (x - 3)^2$ è minima per $\hat{x} = 2$ .

Teorema. $\hat X$ è una soluzione ai minimi quadrati di $AX = b$ se e solo se risolve le equazioni normali $A^T A\, \hat X = A^T b .$ Se le colonne di $A$ sono linearmente indipendenti, $A^T A$ è invertibile e la soluzione è unica: $\hat X = (A^T A)^{-1} A^T b .$

Esempio. Per lo stesso sistema $A^T A = (2)$ e $A^T b = (4)$ , quindi $\hat{x} = (A^T A)^{-1} A^T b = 2$ .

Basi ortonormali e Gram-Schmidt

Definizione. Un insieme di vettori $\{v_1, \dots, v_k\}$ è

ortogonale se $v_i \cdot v_j = 0$ per ogni $i \ne j$ ;

ortonormale se è ortogonale e inoltre $\|v_i\| = 1$ per ogni $i$ .

In formula, ortonormale significa $v_i \cdot v_j = \delta_{ij}$ , dove $\delta_{ij} = 1$ se $i = j$ e $0$ se $i \ne j$ ("delta di Kronecker").

Esempio. $\{(1,1), (1,-1)\}$ è ortogonale ( $1 - 1 = 0$ ) ma non ortonormale (ogni vettore ha norma $\sqrt{2}$ ); $\left\{\frac{(1,1)}{\sqrt{2}}, \frac{(1,-1)}{\sqrt{2}}\right\}$ è ortonormale.

Proposizione. Se $v_1, \dots, v_k$ sono non nulli e a due a due ortogonali, allora sono linearmente indipendenti.

Esempio. $v_1 = (1,1,0)$ , $v_2 = (1,-1,0)$ , $v_3 = (0,0,2)$ sono non nulli e a due a due ortogonali, quindi sono linearmente indipendenti.

7. Forme bilineari e teorema spettrale

Forme bilineari simmetriche

Definizione. Sia $V$ uno spazio vettoriale reale. Una forma bilineare su $V$ è una funzione $\varphi: V \times V \to \mathbb{R}$ lineare in ciascun argomento: $\varphi(\lambda u + \mu v, w) = \lambda \varphi(u, w) + \mu \varphi(v, w), \qquad \varphi(u, \lambda v + \mu w) = \lambda \varphi(u, v) + \mu \varphi(u, w)$ per ogni $u, v, w \in V$ , $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ . È simmetrica se $\varphi(v, w) = \varphi(w, v)$ per ogni $v, w$ .

Esempio. Su $\mathbb{R}^2$ , $\varphi(v, w) = v_1 w_1 + 2 v_2 w_2$ è bilineare e simmetrica; $\varphi((1,1), (2,3)) = 2 + 6 = 8$ .

Definizione. La matrice di $\varphi$ rispetto a $\mathcal B$ è $A = (a_{ij})$ con $a_{ij} = \varphi(v_i, v_j)$ . Indicando con $X$ e $Y$ le colonne delle coordinate di $v$ e $w$ : $\varphi(v, w) = X^T A\, Y .$

Esempio. $\varphi(v, w) = v_1 w_1 + 2 v_2 w_2$ ha nella base canonica la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ , e $\varphi(v, w) = X^T A Y$ .

Teorema. Se $A$ è la matrice di $\varphi$ rispetto a $\mathcal B$ , la matrice rispetto a $\mathcal B'$ è $A' = P^T A\, P .$ Due matrici $A, A'$ legate da $A' = P^T A P$ con $P$ invertibile si dicono congruenti.

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ e la nuova base $\{(1, 1), (1, -1)\}$ , cioè $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ :

Definizione. Il nucleo (o radicale) di $\varphi$ è $\operatorname{Ker} \varphi = \{ v \in V : \varphi(v, w) = 0 \ \text{ per ogni } w \in V \}.$ $\varphi$ è non degenere se $\operatorname{Ker} \varphi = \{0\}$ , degenere altrimenti.

Esempio. $\varphi(x, y) = x_1 y_1 + x_1 y_2 + x_2 y_1 + x_2 y_2 = (x_1 + x_2)(y_1 + y_2)$ ha matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ , $\det = 0$ : degenere, con nucleo $\langle (1, -1) \rangle$ .

Definizione. Una forma bilineare simmetrica $\varphi$ è

definita positiva se $\varphi(v, v) > 0$ per ogni $v \ne 0$ ;

semidefinita positiva se $\varphi(v, v) \ge 0$ per ogni $v$ (ma si annulla su qualche $v \ne 0$ );

definita negativa se $\varphi(v, v) < 0$ per ogni $v \ne 0$ ;

semidefinita negativa se $\varphi(v, v) \le 0$ per ogni $v$ (ma si annulla su qualche $v \ne 0$ );

indefinita se assume sia valori positivi sia valori negativi.

Esempio. Su $\mathbb{R}^2$ : $q = x^2 + y^2$ è definita positiva; $q = x^2$ è semidefinita positiva (si annulla su $(0,1)$ ); $q = x^2 - y^2$ è indefinita.

Grafico interattivo: Insiemi q = 1: x₁² + x₂² = 1 (definita positiva) è una circonferenza, x₁² − x₂² = 1 (indefinita) è un'iperbole; le rette x₂ = ±x₁ (q = 0) sono le direzioni isotrope, come (1, 1)

Segno di una forma bilineare simmetrica

Teorema (Sylvester). Per ogni forma bilineare simmetrica reale esiste una base in cui la matrice è $\operatorname{diag}(\underbrace{1, \dots, 1}_{p}, \underbrace{-1, \dots, -1}_{r}, \underbrace{0, \dots, 0}_{n - p - r}),$ e i numeri $p$ e $r$ sono gli stessi in qualunque base che renda la matrice diagonale.

Esempio. $q(x,y) = x^2 - y^2$ ha già matrice $\operatorname{diag}(1, -1)$ : la segnatura è $(p, r) = (1, 1)$ e il rango è $p + r = 2$ .

Criterio dei minori principali. Sia $A$ simmetrica.

$\varphi$ è definita positiva $\iff D_1 > 0, D_2 > 0, \dots, D_n > 0$ .

$\varphi$ è definita negativa $\iff D_1 < 0, D_2 > 0, D_3 < 0, \dots$ , cioè $(-1)^k D_k > 0$ per ogni $k$ (segni alterni, partendo da $-$ ).

Se $\det A \ne 0$ e non si è in nessuno dei due casi precedenti, $\varphi$ è indefinita.

Se $\det A = 0$ la forma è degenere e il criterio non basta: usare un altro metodo.

Esempio 1 (stessa matrice del metodo 2): $D_1 = 2$ , $D_2 = 4 - 1 = 3$ , $D_3 = 4$ . Tutti positivi: definita positiva ✓. I valori diagonali dopo Gram-Schmidt sono $d_1 = 2$ , $d_2 = \frac32$ , $d_3 = \frac43$ .

Teorema spettrale e forme quadratiche

Definizione. Una funzione lineare $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ è simmetrica se $f(v) \cdot w = v \cdot f(w) \qquad \text{per ogni } v, w \in \mathbb{R}^n .$

Esempio. $f(x,y) = (2x + y,\ x + 2y)$ è simmetrica: $f(v) \cdot w = 2v_1 w_1 + v_2 w_1 + v_1 w_2 + 2 v_2 w_2 = v \cdot f(w)$ .

Teorema spettrale. Sia $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ lineare. Sono equivalenti:

$f$ è simmetrica;

esiste una base ortonormale di $\mathbb{R}^n$ formata da autovettori di $f$ .

In termini di matrici: $A \in M_n(\mathbb{R})$ è simmetrica se e solo se esiste una matrice ortogonale $P$ ( $P^T P = I$ ) tale che $P^T A P = P^{-1} A P = D \quad \text{diagonale}.$

Esempio. $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ è simmetrica: $P = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ è ortogonale e $P^T A P = \operatorname{diag}(3, 1)$ .

Definizione. Una forma quadratica su $\mathbb{R}^n$ è un polinomio omogeneo di grado $2$ nelle variabili $x_1, \dots, x_n$ : $q(x) = \sum_{i \le j} c_{ij}\, x_i x_j .$

Esempio. $q(x,y) = x^2 + 4xy + 3y^2$ si scrive $x^T A x$ con $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ : il coefficiente $4$ del termine misto si divide a metà.

8. Geometria affine

Spazi affini, rette e piani

Definizione. Lo spazio affine reale $n$ -dimensionale $\mathbb{A}^n = \mathbb{A}^n_{\mathbb{R}}$ è l'insieme $\mathbb{R}^n$ i cui elementi si chiamano punti, insieme allo spazio vettoriale $\mathbb{R}^n$ e alle due operazioni:

punto più vettore: $P + v$ è il punto ottenuto spostando $P$ del vettore $v$ (componente per componente);

punto meno punto: $Q - P$ è l'unico vettore $v$ tale che $P + v = Q$ , cioè il vettore che va da $P$ a $Q$ , scritto anche $\overrightarrow{PQ}$ .

Esempio. $P = (1, 2, 0)$ , $Q = (4, 0, 1)$ : $\overrightarrow{PQ} = Q - P = (3, -2, 1)$ e infatti $P + (3, -2, 1) = (4, 0, 1) = Q$ .

Definizione. Un sottospazio affine di $\mathbb{A}^n$ è un insieme della forma $L = P + W = \{ P + w : w \in W \},$ con $P$ un punto e $W$ un sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^n$ , detto spazio direttore (o giacitura) di $L$ . La dimensione di $L$ è $\dim W$ .

Esempio. In $\mathbb{A}^2$ la retta $L = (1,0) + \langle (1,1) \rangle = \{(1 + t, t)\}$ ha spazio direttore $\langle (1,1) \rangle$ e dimensione $1$ .

Teorema. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare compatibile $AX = B$ in $n$ incognite è un sottospazio affine di $\mathbb{A}^n$ con spazio direttore $W = \operatorname{Ker} A$ e dimensione $n - \operatorname{rango}(A)$ . Viceversa ogni sottospazio affine si può descrivere così.

Esempio. $x + y = 2$ in $\mathbb{A}^2$ : le soluzioni sono $(1,1) + \langle (1,-1) \rangle$ , una retta affine con $W = \operatorname{Ker} A$ di dimensione $2 - 1 = 1$ .

Distanze e angoli nello spazio affine

Definizione. $d(Q, L) = \min\{ d(Q, X) : X \in L \}$ : la distanza dal punto di $L$ più vicino.

Esempio. $Q = (0,3)$ e $L$ la retta $y = 0$ di $\mathbb{A}^2$ : il punto di $L$ più vicino è $H = (0,0)$ e $d(Q, L) = 3$ .

Teorema. Sia $L = P + W$ . Esiste un unico punto $H \in L$ tale che $Q - H \in W^\perp$ (cioè $Q - H$ è ortogonale a tutte le direzioni di $L$ ). È il punto di $L$ più vicino a $Q$ , e $d(Q, L) = \|Q - H\|$ . $H$ si chiama proiezione ortogonale di $Q$ su $L$ (o piede della perpendicolare).

Esempio: punto e retta. $Q = (1, 2, 3)$ , $r: X = t(1, 1, 1)$ . Allora $Q - X = (1 - t, 2 - t, 3 - t)$ e

Teorema. Se $\pi: a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = b$ e $a = (a_1, \dots, a_n)$ , allora $d(Q, \pi) = \frac{|a \cdot Q - b|}{\|a\|}, \qquad H = Q - \frac{a \cdot Q - b}{\|a\|^2}\, a .$

Esempio. $Q = (1, 1, 1)$ , $\pi: x + 2y + 2z = 1$ :

Grafico interattivo: La stessa formula nel piano: Q = (3, 3) e la retta x + 2y = 2 hanno distanza |3 + 6 − 2|/√5 = 7/√5 e il piede della perpendicolare è H = (8/5, 1/5); il segno separa i due semipiani

Fasci di piani

Teorema. I piani che contengono $r$ sono tutti e soli i piani di equazione $\lambda f_1 + \mu f_2 = 0, \qquad (\lambda, \mu) \ne (0, 0),$ cioè $(\lambda a_1 + \mu a_2) x + (\lambda b_1 + \mu b_2) y + (\lambda c_1 + \mu c_2) z + (\lambda d_1 + \mu d_2) = 0$ . L'insieme di questi piani si chiama fascio di piani di asse (o sostegno) $r$ .

Esempio. La retta $r$ di equazioni $x = 0$ , $y = 0$ (l'asse $z$ ) ha il fascio $\lambda x + \mu y = 0$ : contiene $x = 0$ ( $\mu = 0$ ), $y = 0$ ( $\lambda = 0$ ) e $x + y = 0$ ( $\lambda = \mu = 1$ ).

Prodotto vettoriale e prodotto misto

Definizione. Se $v, w$ sono indipendenti, il prodotto vettoriale $v \times w$ è l'unico vettore tale che

$v \times w$ è ortogonale sia a $v$ sia a $w$ (direzione);

$\|v \times w\|$ è l'area del parallelogramma di lati $v$ e $w$ , cioè $\|v\|\,\|w\| \sin\theta$ con $\theta$ l'angolo tra $v$ e $w$ (lunghezza);

la matrice con colonne $v$ , $w$ , $v \times w$ ha determinante positivo, cioè $\{v, w, v \times w\}$ è orientata come $\{e_1, e_2, e_3\}$ (verso: regola della mano destra).

Se $v, w$ sono dipendenti si pone $v \times w = \vec 0$ (il parallelogramma è schiacciato e ha area $0$ ).

Esempio. $e_1 \times e_2 = e_3$ e $(1,2,3) \times (0,1,0) = (2\cdot 0 - 3\cdot 1,\ 3\cdot 0 - 1\cdot 0,\ 1\cdot 1 - 2\cdot 0) = (-3, 0, 1)$ .

Definizione. Il prodotto misto di $u, v, w \in \mathbb{R}^3$ è il numero $u \cdot (v \times w) = \det\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}.$

Esempio. $u = (1,0,0)$ , $v = (0,2,0)$ , $w = (0,0,3)$ : $u \cdot (v \times w) = \det\operatorname{diag}(1,2,3) = 6$ , il volume del parallelepipedo.

Coniche e quadriche

Definizione. Una conica del piano affine $\mathbb{A}^2$ è l'insieme dei punti $(x, y)$ che soddisfano un'equazione di secondo grado $a_{11} x^2 + 2a_{12} xy + a_{22} y^2 + 2a_{13} x + 2a_{23} y + a_{33} = 0,$ con $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ non tutti nulli.

Esempio. $x^2 + y^2 - 4 = 0$ è una conica (con $a_{11} = a_{22} = 1$ e $a_{33} = -4$ ): la circonferenza di centro l'origine e raggio $2$ .

Teorema. Ogni conica, con un cambio di coordinate fatto da una rotazione e una traslazione (che conservano distanze e angoli), si porta in una delle forme canoniche della tabella.

Esempio. L'equazione $xy = 1$ , con la rotazione di $45^\circ$ ( $x = \frac{x' - y'}{\sqrt{2}}$ , $y = \frac{x' + y'}{\sqrt{2}}$ ), diventa $\frac{x'^2}{2} - \frac{y'^2}{2} = 1$ : un'iperbole.