Formulario - fisica generale 1

Grandezze fisiche e moto rettilineo

Note: Grandezze fisiche, unità di misura e dimensioniUna grandezza fisica è definita da come la si misura; ogni misura è numero più unità. Sistema Internazionale, prefissi, conversioni e analisi dimensionale per controllare le formule.Grandezze fisiche, unità di misura e dimensioni → · Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazioneIl moto lungo una retta è descritto dalla legge oraria x(t); la velocità è la sua derivata, l'accelerazione la derivata della velocità. Integrando si torna indietro: v e x si ricavano da a e dalle condizioni iniziali.Moto rettilineo - posizione, velocità e accelerazione → · Moto rettilineo uniforme e uniformemente acceleratoVelocità costante: x = x0 + v t, diagramma orario rettilineo. Accelerazione costante: v = v0 + a t, x = x0 + v0 t + a t²/2 e v² = v0² + 2a(x − x0), diagramma orario parabolico.Moto rettilineo uniforme e uniformemente accelerato → · Moto verticale dei graviSenza aria ogni corpo vicino al suolo cade con la stessa accelerazione g = 9,81 m/s² verso il basso: è un moto uniformemente accelerato. Tempo di salita v0/g, quota massima v0²/2g, velocità d'arrivo sqrt(2gh).Moto verticale dei gravi → · Moto smorzato esponenzialmenteSe l'accelerazione è proporzionale alla velocità e opposta (a = −v/τ), la velocità decresce come v0·e^(−t/τ): dopo un tempo τ si riduce al 37%. Il corpo si ferma solo asintoticamente, dopo aver percorso lo spazio finito v0·τ.Moto smorzato esponenzialmente → · Moto armonico sempliceMoto rettilineo con legge oraria x = A·sin(ωt + φ): oscilla tra −A e A con periodo T = 2π/ω. È caratterizzato da a = −ω²x, l'equazione differenziale dell'oscillatore armonico; ampiezza e fase si ricavano dalle condizioni iniziali.Moto armonico semplice →

• Dimensioni: $[v]=[L][T]^{-1}$, $[a]=[L][T]^{-2}$, $[F]=[M][L][T]^{-2}$, $[E]=[M][L]^2[T]^{-2}$ (controllo delle formule); $90\ \mathrm{km/h}=25\ \mathrm{m/s}$.
• $v=\frac{dx}{dt}$, $a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}=v\frac{dv}{dx}$; $v(t)=v_0+\int a\,dt'$, $x(t)=x_0+\int v\,dt'$.
• Uniforme: $x=x_0+vt$. Accelerazione costante: $v=v_0+at$, $x=x_0+v_0t+\frac12at^2$, $v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$, $\bar v=\frac{v_0+v}2$.
• Gravi ($g\approx9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$): $v=v_0-gt$, $y=y_0+v_0t-\frac12gt^2$; salita $t_s=\frac{v_0}g$, quota massima $h_{max}=\frac{v_0^2}{2g}$, ritorno $t_v=\frac{2v_0}g$; caduta da $h$: $t_c=\sqrt{\frac{2h}g}$, $|v|=\sqrt{2gh}$.
• Smorzato $a=-v/\tau$: $v=v_0e^{-t/\tau}$, $x=x_0+v_0\tau(1-e^{-t/\tau})$, spazio totale $v_0\tau$.
• Armonico: $x=A\sin(\omega t+\varphi)$, $T=\frac{2\pi}\omega$, $\nu=\frac1T$, $a=-\omega^2x$; $A=\sqrt{x_0^2+(v_0/\omega)^2}$, $v=\pm\omega\sqrt{A^2-x^2}$.

Vettori

Note: Vettori - componenti, somma e moduloUn vettore ha modulo, direzione e verso. In un riferimento cartesiano si scrive con le sue componenti lungo i versori i, j, k: somma, differenza e prodotto per un numero si fanno componente per componente, il modulo con Pitagora.Vettori - componenti, somma e modulo → · Prodotto scalare e prodotto vettorialeIl prodotto scalare a·b = ab cosθ è un numero, massimo per vettori paralleli e nullo per vettori perpendicolari; serve per proiezioni e lavoro. Il prodotto vettoriale a×b è un vettore perpendicolare ad entrambi, di modulo ab sinθ, verso con la mano destra; serve per momenti e rotazioni.Prodotto scalare e prodotto vettoriale → · Derivata e integrale di un vettoreUn vettore che dipende dal tempo si deriva e si integra componente per componente. La derivata di un versore è perpendicolare al versore e vale dφ/dt per il versore normale: per questo la derivata di un vettore ha una parte parallela (cambia il modulo) e una perpendicolare (cambia la direzione).Derivata e integrale di un vettore →

• $\vec a=(a_x,a_y,a_z)$, $a_x=a\cos\theta$, $a_y=a\sin\theta$, $|\vec a|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$, $\tan\theta=\frac{a_y}{a_x}$ (attenzione al quadrante); versore $\hat a=\frac{\vec a}{|\vec a|}$; disuguaglianza triangolare $\big||\vec a|-|\vec b|\big|\le|\vec a+\vec b|\le|\vec a|+|\vec b|$.
• $\vec a\cdot\vec b=ab\cos\theta=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$ (nullo se perpendicolari). $\vec a\times\vec b$: perpendicolare a entrambi, modulo $ab\sin\theta$ (area del parallelogramma), regola della mano destra; $\vec a\times\vec b=(a_yb_z-a_zb_y,\ a_zb_x-a_xb_z,\ a_xb_y-a_yb_x)$.
• Si deriva e si integra componente per componente. $|\vec a|$ costante $\Rightarrow\vec a\perp\frac{d\vec a}{dt}$. $\frac{d\hat u}{dt}=\frac{d\varphi}{dt}\,\hat n$.

Cinematica nel piano

Note: Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazioneNel piano la posizione è il vettore r(t); la velocità v = dr/dt è sempre tangente alla traiettoria, con modulo ds/dt. L'accelerazione a = dv/dt si scompone in tangenziale dv/dt (cambia la rapidità) e normale v²/R verso il centro di curvatura (cambia la direzione).Moto nel piano - posizione, velocità e accelerazione → · Moto parabolicoUn corpo lanciato vicino al suolo, trascurando l'aria, ha accelerazione costante g verso il basso: moto uniforme in orizzontale, uniformemente accelerato in verticale. Traiettoria parabolica, quota massima v0y²/2g, gittata v0² sin2θ/g (massima a 45°); lancio da un'altezza h con un'equazione di secondo grado.Moto parabolico → · Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare →

• $\vec v=\frac{d\vec r}{dt}$ (tangente alla traiettoria, $v=\frac{ds}{dt}$); $\vec a=\frac{dv}{dt}\hat u_T+\frac{v^2}R\hat u_N$, $a_T=\frac{dv}{dt}$, $a_N=\frac{v^2}R$, $|\vec a|=\sqrt{a_T^2+a_N^2}$. Con $\vec a$ costante: $\vec v=\vec v_0+\vec at$, $\vec r=\vec r_0+\vec v_0t+\frac12\vec at^2$.
• Parabolico ($a_x=0$, $a_y=-g$): $y=x\tan\theta-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}x^2$; $t_H=\frac{v_0\sin\theta}g$, $H=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$, $t_v=2t_H$, gittata $x_G=\frac{v_0^2\sin2\theta}g$ (massima a $45^\circ$). Da quota $h$: $\frac12gt^2-v_0\sin\theta\,t-h=0$.
• Circolare: $s=R\theta$, $v=\omega R$, $\omega=\frac{d\theta}{dt}$, $T=\frac{2\pi}\omega$, $f=\frac1T$; $a_N=\frac{v^2}R=\omega^2R$, $a_T=\alpha R$ con $\alpha=\frac{d\omega}{dt}$, $|\vec a|=R\sqrt{\alpha^2+\omega^4}$; $\vec v=\vec\omega\times\vec r$.

Dinamica del punto materiale

Note: Leggi di NewtonLe tre leggi della dinamica: un corpo senza forze mantiene la sua velocità (nei sistemi inerziali), F = m a, e a ogni azione corrisponde una reazione uguale e opposta. Metodo per risolvere i problemi: diagramma di corpo libero, assi, proiezioni.Leggi di Newton → · Quantità di moto e impulsoLa quantità di moto è p = m v; la seconda legge si scrive F = dp/dt. L'impulso di una forza è il suo integrale nel tempo e uguaglia la variazione della quantità di moto (teorema dell'impulso): serve per gli urti e le forze brevi e intense.Quantità di moto e impulso → · Reazioni vincolari, forza peso e peso apparenteLa forza peso è m g, verso il basso. Un vincolo (piano, guida) esercita una reazione che si ricava da F = m a: la componente normale può solo spingere, e si annulla quando il corpo si stacca. Il peso apparente è la reazione del pavimento, diversa da m g se si accelera (ascensore).Reazioni vincolari, forza peso e peso apparente → · Forze di attrito radenteL'attrito radente è la componente della reazione vincolare parallela alla superficie. Statico: impedisce lo scivolamento e vale quanto serve, fino a μs N. Dinamico: agisce durante lo strisciamento, vale μd N ed è opposto alla velocità relativa.Forze di attrito radente → · Piano inclinatoSul piano inclinato si prendono gli assi lungo il piano e perpendicolare: il peso si scompone in mg sinθ (lungo il piano) e mg cosθ (contro il piano), N = mg cosθ. Senza attrito a = g sinθ; con attrito dinamico a = g(sinθ − μ cosθ) in discesa, −g(sinθ + μ cosθ) in salita; resta fermo se tanθ ≤ μs.Piano inclinato → · Attrito viscosoUn corpo che si muove lentamente in un fluido subisce una forza F = −b v, opposta e proporzionale alla velocità. In caduta la velocità tende esponenzialmente alla velocità limite mg/b con costante di tempo τ = m/b.Attrito viscoso → · Forza elasticaUna molla ideale esercita F = −k Δx, opposta alla deformazione (legge di Hooke). Una massa attaccata a una molla compie un moto armonico con ω = √(k/m); ampiezza e fase vengono dalle condizioni iniziali, e v² = ω²(A² − x²). Una forza costante in più sposta solo la posizione di equilibrio.Forza elastica → · Forza centripeta nel moto curvilineoIn un moto curvilineo l'accelerazione ha una componente normale v²/R verso il centro di curvatura, quindi la risultante delle forze lungo la normale deve valere m v²/R. La "forza centripeta" non è una forza nuova: è il ruolo che giocano attrito, normale, tensione o peso.Forza centripeta nel moto curvilineo → · Tensione dei fili e carrucoleUn filo ideale (massa nulla, inestensibile) tira con la stessa tensione T in tutti i suoi punti, anche passando su una carrucola ideale, e impone ai corpi collegati accelerazioni di uguale modulo. Si scrive F = m a per ogni corpo e si risolve il sistema in a e T (macchina di Atwood, blocco sul tavolo con massa appesa).Tensione dei fili e carrucole → · Pendolo semplicePunto materiale appeso a un filo: lungo la tangente m l θ'' = −m g sinθ, lungo il filo T − m g cosθ = m v²/l. Per piccole oscillazioni sinθ ≈ θ e il moto è armonico con periodo T = 2π√(l/g), indipendente da massa e ampiezza.Pendolo semplice →

• Nei riferimenti inerziali: $\vec F=m\vec a$; $\vec F_{BA}=-\vec F_{AB}$. $\vec p=m\vec v$, $\vec F=\frac{d\vec p}{dt}$; impulso $\vec J=\int\vec F\,dt=\Delta\vec p$.
• Peso $m\vec g$; piano orizzontale $N=mg$; ascensore con accelerazione verso l'alto $a$: $N=m(g+a)$.
• Attrito statico $F_s\le\mu_sN$; dinamico $F_d=\mu_dN$ (opposto alla velocità relativa). Piano inclinato $\theta$: $N=mg\cos\theta$, liscio $a=g\sin\theta$; discesa con attrito $a=g(\sin\theta-\mu_d\cos\theta)$; salita $a=-g(\sin\theta+\mu_d\cos\theta)$; fermo se $\tan\theta\le\mu_s$.
• Viscoso $\vec F=-b\vec v$: $\tau=\frac mb$, $v=v_0e^{-t/\tau}$; in caduta $v_{lim}=\frac{mg}b=g\tau$, $v=v_{lim}(1-e^{-t/\tau})$.
• Elastica $F=-k\Delta x$: $\omega=\sqrt{\frac km}$. Curva: $F_N=m\frac{v^2}R$, $F_T=m\frac{dv}{dt}$; curva piana $v\le\sqrt{\mu_sgR}$; sopraelevata $\tan\theta=\frac{v^2}{gR}$; giro della morte $v_{alto}\ge\sqrt{gR}$.
• Filo ideale: stessa tensione $T$; Atwood $a=\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}g$, $T=\frac{2m_1m_2}{m_1+m_2}g$; blocco sul tavolo con massa appesa $a=\frac{m_2-\mu_dm_1}{m_1+m_2}g$.
• Pendolo semplice: $\ddot\theta=-\frac g\ell\sin\theta$, $T-mg\cos\theta=m\frac{v^2}\ell$; piccole oscillazioni $\ddot\theta+\frac g\ell\theta=0$, $T_{per}=2\pi\sqrt{\frac\ell g}$ (indipendente da massa e ampiezza).

Lavoro ed energia

Note: Lavoro e potenzaIl lavoro di una forza lungo uno spostamento è il prodotto scalare F·Δr (forza costante) o l'integrale di linea di F·dr (caso generale); si misura in joule e può essere positivo, negativo o nullo. La potenza è il lavoro per unità di tempo, P = F·v.Lavoro e potenza → · Energia cinetica e teorema dell'energia cineticaL'energia cinetica di un punto è K = mv²/2. Il teorema dell'energia cinetica dice che il lavoro di tutte le forze agenti tra due posizioni è uguale alla variazione di K: W_tot = K_B − K_A. Dà la velocità in un punto senza passare dal tempo.Energia cinetica e teorema dell'energia cinetica → · Forze conservative ed energia potenzialeUna forza è conservativa se il suo lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale (non dal percorso). Allora esiste un'energia potenziale U con W = −ΔU e F = −dU/dx: peso mgy, molla k(Δl)²/2. L'attrito non è conservativo. I minimi di U sono equilibri stabili.Forze conservative ed energia potenziale → · Conservazione dell'energia meccanicaL'energia meccanica E = K + U resta costante se compiono lavoro solo forze conservative. Se lavorano anche forze non conservative (attrito), la variazione di E è uguale al loro lavoro: W_nc = E_B − E_A. Il grafico di U(x) con la retta E mostra dove il moto è possibile e i punti di inversione.Conservazione dell'energia meccanica →

• $W=\vec F\cdot\Delta\vec r$ (forza costante); in generale $W_{A\to B}=\int_A^B\vec F\cdot d\vec r$. Peso $W=mg(y_A-y_B)$; molla $W=\frac12kx_A^2-\frac12kx_B^2$. Potenza $P=\frac{dW}{dt}=\vec F\cdot\vec v$.
• $K=\frac12mv^2$; teorema dell'energia cinetica: $W_{tot}=K_B-K_A$ (lavoro di tutte le forze).
• Forza conservativa: $W_{A\to B}=U(A)-U(B)=-\Delta U$, $F_x=-\frac{dU}{dx}$; $U_{peso}=mgy$, $U_{el}=\frac12k(\ell-\ell_0)^2$. Equilibrio: $U'(x_0)=0$, stabile se minimo; $\omega=\sqrt{\frac{U''(x_0)}m}$.
• $E=K+U$; $W_{nc}=E_B-E_A$; se $W_{nc}=0$ allora $E_A=E_B$. Il moto è possibile dove $U(x)\le E$. Giro della morte da quota $h$: $h\ge\frac52R$.

Moti relativi

Note: Moti relativi - velocità e accelerazione di trascinamentoLo stesso moto visto da due riferimenti, uno fisso e uno mobile: la velocità assoluta è velocità relativa più velocità di trascinamento; l'accelerazione assoluta è relativa più trascinamento più Coriolis (2ω×v'). Se il riferimento mobile trasla a velocità costante si hanno le trasformazioni di Galileo e le accelerazioni coincidono.Moti relativi - velocità e accelerazione di trascinamento → · Sistemi di riferimento non inerziali e forze apparentiIn un riferimento accelerato o rotante la legge di Newton vale solo aggiungendo forze apparenti: −m·a_t (trascinamento, con la centrifuga) e −2m·ω×v' (Coriolis). Non sono interazioni tra corpi e non hanno reazione. Esempi: ascensore, pendolo su un vagone, blocco su una piattaforma, giostra, Terra.Sistemi di riferimento non inerziali e forze apparenti →

• Riferimento mobile che trasla: $\vec v=\vec v'+\vec v_{O'}$, $\vec a=\vec a'+\vec a_{O'}$; Galileo (traslazione uniforme a velocità $V$): $x=x'+Vt$, $y=y'$, $z=z'$, $t=t'$.
• Riferimento rotante: $\vec v=\vec v'+\vec v_{O'}+\vec\omega\times\vec r'$; $\vec a=\vec a'+\vec a_t+\vec a_c$ con $\vec a_t=\vec a_{O'}+\frac{d\vec\omega}{dt}\times\vec r'+\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r')$ e CoriolisAccelerazione apparente che compare quando un punto si muove rispetto a un riferimento rotante. $\vec a_c=2\vec\omega\times\vec v'$.
• Forze apparenti (nessuna reazione): $m\vec a'=\vec F+\vec F_t+\vec F_c$, $\vec F_t=-m\vec a_t$, $\vec F_c=-2m\vec\omega\times\vec v'$.

Sistemi di punti materiali

Note: Sistemi di punti - forze interne ed esterneUn sistema è un insieme di punti materiali scelto da noi; le forze si dividono in interne (tra punti del sistema, a coppie opposte per il terzo principio) ed esterne. Le interne si annullano nella somma: il moto d'insieme dipende solo dalle esterne.Sistemi di punti - forze interne ed esterne → · Centro di massaIl centro di massa è la media delle posizioni pesata con le masse. La quantità di moto totale è M v_CM e il CM si muove come un punto di massa M soggetto alla sola risultante delle forze esterne. Nel riferimento del CM la quantità di moto totale è zero.Centro di massa → · Conservazione della quantità di motoSe la risultante delle forze esterne è nulla la quantità di moto totale di un sistema resta costante (anche solo lungo un asse, se lì la forza esterna è nulla). Nelle esplosioni e negli urti si conserva perché le forze esterne non impulsive sono trascurabili nel brevissimo intervallo.Conservazione della quantità di moto → · Momento angolare e momento di una forzaMomento di una forza M = r × F e momento angolare L = r × m v rispetto a un polo. Teorema del momento angolare: dL/dt = M (polo fisso o CM); per un sistema contano solo i momenti esterni. Con forze centrali o momento esterno nullo L si conserva.Momento angolare e momento di una forza → · Teoremi di König ed energia di un sistemaTeoremi di König: energia cinetica e momento angolare di un sistema si dividono in una parte del centro di massa (come un punto di massa M) e una parte del moto relativo al CM. Teorema dell'energia cinetica per i sistemi: ΔK = lavoro delle forze esterne + lavoro delle forze interne.Teoremi di König ed energia di un sistema →

• Forze interne a coppie opposte: $\vec R^{(I)}=\vec0$. Centro di massa $\vec r_{CM}=\frac{\sum m_i\vec r_i}M$; $\vec P=M\vec v_{CM}$; $M\vec a_{CM}=\vec R^{(E)}$ (cioè $\frac{d\vec P}{dt}=\vec R^{(E)}$). Nel riferimento del CM $\vec P'=\vec0$.
• $\vec R^{(E)}=\vec0\Rightarrow\vec P$ costante (anche solo lungo un asse); negli urti ed esplosioni $\vec P$ si conserva se le forze esterne non sono impulsive.
• $\vec M_O=\vec r\times\vec F$, $\vec L_O=\vec r\times m\vec v$; $\frac{d\vec L_O}{dt}=\vec M_O$ (sistema: $\vec M^{(E)}_O$, polo fisso o CM). Forze centrali: $\vec L$ costante, $\frac{dA}{dt}=\frac{L}{2m}$ (legge delle aree).
• König: $K=\frac12Mv_{CM}^2+K'$; due corpi $K'=\frac12\mu v_{rel}^2$, $\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$; $\vec L_O=\vec r_{CM}\times M\vec v_{CM}+\vec L'$. $\Delta K=W^{(E)}+W^{(I)}$.

Urti

Note: Urti tra punti materialiIn un urto due corpi si scambiano forze impulsive per un tempo brevissimo: la quantità di moto totale si conserva (se non ci sono vincoli impulsivi), l'energia cinetica solo negli urti elastici. Classificazione degli urti, coefficiente di restituzione, urti nel piano e impulso ricevuto.Urti tra punti materiali → · Urto elastico e urto completamente anelasticoI due casi estremi di urto in una dimensione. Elastico: si conservano quantità di moto ed energia cinetica, la velocità relativa si inverte; formule delle velocità finali e casi particolari. Completamente anelastico: i corpi restano uniti e viaggiano con v_CM; l'energia persa è (1/2) μ v_rel². Pendolo balistico.Urto elastico e urto completamente anelastico →

• Conservazione della quantità di moto: $m_1\vec v_{1i}+m_2\vec v_{2i}=m_1\vec v_{1f}+m_2\vec v_{2f}$; coefficiente di restituzioneRapporto tra la velocità relativa di allontanamento e quella di avvicinamento: 1 se l'urto è elastico, 0 se completamente anelastico. $e=-\frac{v_{1f}-v_{2f}}{v_{1i}-v_{2i}}$ ($e=1$ elastico). Impulso ricevuto $\vec J_1=m_1(\vec v_{1f}-\vec v_{1i})$.
• Elastico (1D): si conserva anche $K$ e $v_{1f}-v_{2f}=-(v_{1i}-v_{2i})$; $v_{1f}=\frac{(m_1-m_2)v_{1i}+2m_2v_{2i}}{m_1+m_2}$, $v_{2f}=\frac{(m_2-m_1)v_{2i}+2m_1v_{1i}}{m_1+m_2}$.
• Completamente anelastico: $V=v_{CM}=\frac{m_1v_{1i}+m_2v_{2i}}{m_1+m_2}$; energia dissipata $E_{diss}=\frac12\mu(v_{1i}-v_{2i})^2$, con bersaglio fermo $\frac{E_{diss}}{K_i}=\frac{m_2}{m_1+m_2}$. Pendolo balistico: $v=\frac{m+M}m\sqrt{2gh}$.

Gravitazione

Note: Legge di gravitazione universaleDue masse si attraggono con forza G m1 m2 / r² lungo la congiungente. Da qui l'accelerazione di gravità g = GM/R² e come cambia con la quota, l'uguaglianza tra massa inerziale e gravitazionale, le tre leggi di Keplero e le orbite circolari (v = √(GM/r), T² ∝ r³).Legge di gravitazione universale → · Energia potenziale gravitazionale e orbiteLa gravità è conservativa con energia potenziale U = −GMm/r (zero all'infinito), che vicino al suolo si riduce a mgh. Energia delle orbite (E = −GMm/2r per il cerchio), velocità di fuga √(2GM/R), orbite ellittiche con conservazione di energia e momento angolare tra apogeo e perigeo; campo e potenziale gravitazionale.Energia potenziale gravitazionale e orbite →

• $F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$, $G=6{,}67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$; $g=\frac{GM}{R^2}$, $g(h)=\frac{g_0}{(1+h/R)^2}$. Orbita circolare: $v=\sqrt{\frac{GM}r}$, $T^2=\frac{4\pi^2}{GM}r^3$ (terza legge di Keplero).
• $U(r)=-\frac{GMm}r$ (zero all'infinito); vicino al suolo $\Delta U\approx mgh$ per $h\ll R$. Orbita circolare $K=\frac{GMm}{2r}$, $E=-\frac{GMm}{2r}$. Velocità di fuga $v_f=\sqrt{\frac{2GM}R}=\sqrt{2gR}$.
• Orbita ellittica: si conservano $L$ ($v_Ar_A=v_Pr_P$) ed $E=\frac12mv^2-\frac{GMm}r$; $U_{eff}=\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{GMm}r$.

Corpo rigido

Note: Corpo rigido e suo centro di massaUn corpo rigido è un sistema di punti a distanze reciproche fisse. Il suo centro di massa si calcola con integrali sulla densità (e con le simmetrie); il moto più generale è una traslazione del centro di massa più una rotazione attorno a un asse.Corpo rigido e suo centro di massa → · Momento d'inerzia e teorema di Huygens-SteinerIl momento d'inerzia I = ∫ r² dm misura quanto è difficile far ruotare un corpo attorno a un asse. Calcolo per asta, anello, disco e sfera; il teorema di Huygens-Steiner I = I_CM + M d² dà I rispetto a qualunque asse parallelo a uno per il CM.Momento d'inerzia e teorema di Huygens-Steiner → · Rotazione attorno a un asse fissoPer un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso L_z = I ω e la seconda equazione cardinale diventa M_z = I α, l'analogo di F = ma. Se il momento esterno lungo l'asse è nullo, I ω si conserva. Le reazioni del vincolo si trovano con la prima equazione cardinale; carrucole con massa.Rotazione attorno a un asse fisso → · Energia cinetica e lavoro nella rotazioneUn corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso ha energia cinetica I ω²/2; il lavoro di un momento è ∫ M dθ e la potenza è M ω. Teorema dell'energia cinetica e conservazione dell'energia per i corpi rigidi, con König per i moti di rototraslazione.Energia cinetica e lavoro nella rotazione → · Pendolo compostoUn corpo rigido appeso a un asse orizzontale che non passa per il suo CM oscilla come un pendolo: per piccole oscillazioni il moto è armonico con periodo T = 2π √(I/(m g h)), uguale a quello di un pendolo semplice di lunghezza ridotta I/(m h). Impulso angolare e teorema del momento dell'impulso.Pendolo composto → · Moto di puro rotolamentoNel puro rotolamento il punto di contatto è fermo, quindi v_CM = ω R e a_CM = α R. Dinamica con le due equazioni cardinali (o con i momenti rispetto al punto di contatto, I_P = I_CM + m R²); su un piano inclinato a = g sinθ/(1 + I/(mR²)); l'attrito statico serve ma non compie lavoro, quindi l'energia si conserva.Moto di puro rotolamento → · Urti con corpi rigidiNegli urti con un corpo rigido imperniato si conserva il momento angolare rispetto al perno (la reazione impulsiva del perno ha momento nullo), non la quantità di moto; l'impulso del vincolo si ricava dalla variazione di quantità di moto. Per un corpo libero si conservano quantità di moto e momento angolare.Urti con corpi rigidi → · Statica del corpo rigidoUn corpo rigido fermo resta fermo se la somma delle forze esterne e la somma dei loro momenti (rispetto a un polo qualsiasi) sono nulle. Metodo: scegliere il polo dove passano le forze incognite; esempi della scala appoggiata, del gradino e del portacarichi.Statica del corpo rigido →

• $\vec r_{CM}=\frac1M\int\vec r\,dm$; equazioni cardinali $\vec F^{(e)}=M\vec a_{CM}$, $\vec M^{(e)}=\frac{d\vec L}{dt}$.
• $I=\int r^2dm=\sum m_ir_i^2$. Asta: $\frac1{12}M\ell^2$ (centro), $\frac13M\ell^2$ (estremo); anello $MR^2$; disco $\frac12MR^2$; sfera piena $\frac25MR^2$. Huygens-Steiner: $I_a=I_{CM}+Md^2$.
• Asse fisso: $L_z=I\omega$, $M_z^{(e)}=I\alpha$; $I\omega$ costante se $M_z=0$. Filo su carrucola: $a=\alpha R$, $(T_1-T_2)R=I\alpha$; blocco appeso a un disco $a=\frac m{m+M/2}g$.
• $K=\frac12I\omega^2$; rototraslazione $K=\frac12Mv_{CM}^2+\frac12I_{CM}\omega^2$; lavoro $W=\int M_z\,d\theta$, potenza $P=M_z\omega$; $W^{(e)}=\Delta K$.
• Pendolo composto ($h$ = distanza asse-CM): $\Omega=\sqrt{\frac{mgh}I}$, $T=2\pi\sqrt{\frac I{mgh}}$, lunghezza ridottaLunghezza del pendolo semplice che oscilla con lo stesso periodo del pendolo composto. $\ell_r=\frac I{mh}$.
• Puro rotolamento: $v_C=\omega R$, $a_C=\alpha R$, $K=\frac12I_P\omega^2$ con $I_P=I_C+mR^2$; su piano inclinato $a=\frac{g\sin\theta}{1+I_C/(mR^2)}$, $f_s=\frac{I_C}{R^2}a$; l'attrito statico non compie lavoro ($E$ si conserva); con $k=\frac{I_C}{mR^2}$: $\mu_s\ge\frac k{1+k}\tan\theta$.
• Urto con corpo imperniato: si conserva $L_O$ (non $\vec P$): $mvb+I\omega_i=(I+md^2)\omega_f$. Libero: si conservano $\vec P$ e $\vec L$.
• Statica: $\sum\vec F_i=0$ e $\sum\vec r_i\times\vec F_i=0$ (polo scelto dove passano le incognite).

Oscillazioni

Note: Piccole oscillazioni ed energia dell'oscillatoreNell'oscillatore armonico l'energia E = ½kA² resta costante e passa continuamente tra cinetica e potenziale. Attorno a ogni minimo di un'energia potenziale U(x) il moto, per piccoli spostamenti, è armonico con ω² = U''(x₀)/m: metodo unico per molla verticale, molle in serie e in parallelo, pendoli, guide circolari.Piccole oscillazioni ed energia dell'oscillatore → · Oscillatore armonico smorzatoMassa, molla e attrito viscoso: m x'' + b x' + k x = 0. Con γ = b/(2m) e ω₀ = √(k/m) ci sono tre regimi: sottosmorzato (γ < ω₀, oscillazioni con ampiezza che decade come e^(−γt) e pulsazione ω₁ = √(ω₀² − γ²)), critico (γ = ω₀, ritorno più rapido senza oscillare) e sovrasmorzato (γ > ω₀). L'energia decade come e^(−2γt); il fattore di qualità è Q = ω₀/(2γ).Oscillatore armonico smorzato → · Oscillazioni forzate e risonanzaUn oscillatore smorzato spinto da una forza F₀cos(Ωt), dopo un transitorio, oscilla alla pulsazione Ω della forza con ampiezza A(Ω) = (F₀/m)/√((ω₀² − Ω²)² + 4γ²Ω²) e sfasamento δ, con tan δ = 2γΩ/(ω₀² − Ω²). Vicino a Ω = ω₀ l'ampiezza e la potenza assorbita sono massime (risonanza); la larghezza della risonanza è 2γ e l'amplificazione vale Q. Lo stesso schema descrive il circuito RLC.Oscillazioni forzate e risonanza →

• $E=K+U=\frac12kA^2$ costante; molle: parallelo $k=k_1+k_2$, serie $\frac1k=\frac1{k_1}+\frac1{k_2}$. Intorno a un minimo di $U$: $\omega=\sqrt{\frac{U''(x_0)}m}$.
• Smorzato: $\ddot x+2\gamma\dot x+\omega_0^2x=0$, $\gamma=\frac b{2m}$, $\omega_0=\sqrt{\frac km}$, $\lambda=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}$. Sottosmorzato ($\gamma<\omega_0$): $x=A_0e^{-\gamma t}\sin(\omega_1t+\varphi)$, $\omega_1=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$; critico ($\gamma=\omega_0$): $(c_1+c_2t)e^{-\gamma t}$; sovrasmorzato: $c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}$. Energia $E\approx\frac12kA_0^2e^{-2\gamma t}$; fattore di qualitàMisura quanto è poco smorzato l'oscillatore: grande Q significa risonanza stretta e ampia. $Q=\frac{\omega_0}{2\gamma}$.
• Forzato $F_0\cos\Omega t$: $A(\Omega)=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\Omega^2)^2+4\gamma^2\Omega^2}}$, $\tan\delta=\frac{2\gamma\Omega}{\omega_0^2-\Omega^2}$; massimo in $\Omega_r=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}$; $\frac{A(\omega_0)}{A(0)}=Q$; $\langle P\rangle=\frac12b(A\Omega)^2$; larghezza $\Delta\Omega=2\gamma$. Circuito RLC: $L\ddot q+R\dot q+\frac qC=V_0\cos\Omega t$.

Fluidi

Note: Statica dei fluidi - pressione e legge di StevinoIn un fluido in quiete la forza sulle superfici è descritta dalla pressione p = F/S, uguale in tutte le direzioni. Con la gravità la pressione cresce con la profondità: p = p0 + ρgh (Stevino). Conseguenze: principio di Pascal, vasi comunicanti, barometro e manometro.Statica dei fluidi - pressione e legge di Stevino → · Principio di ArchimedeUn corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto uguale al peso del fluido spostato, F = ρ_fluido V_imm g. Il corpo galleggia se è meno denso del fluido, e la frazione immersa è il rapporto tra le densità.Principio di Archimede → · Dinamica dei fluidi - continuità e BernoulliPer un fluido ideale in moto stazionario la portata S·v è la stessa in ogni sezione del tubo (continuità), e lungo il tubo p + ρv²/2 + ρgz resta costante (Bernoulli, che è la conservazione dell'energia). Applicazioni: Torricelli e tubo di Venturi.Dinamica dei fluidi - continuità e Bernoulli →

• $\rho=\frac mV$; $p=\frac{dF}{dS}$; Stevino $p(h)=p_0+\rho gh$; Pascal $\frac{F_1}{S_1}=\frac{F_2}{S_2}$; vasi comunicanti $\rho_1h_1=\rho_2h_2$; $p_{atm}=\rho_{Hg}gh$ ($h\approx0{,}76$ m).
• Archimede $F_A=\rho_fV_{imm}g$; peso apparente $(\rho_c-\rho_f)Vg$; galleggiamento $\frac{V_{imm}}V=\frac{\rho_c}{\rho_f}$.
• Fluido ideale stazionario: continuità $S_1v_1=S_2v_2$; Bernoulli $p+\frac12\rho v^2+\rho gz=\text{costante}$; Torricelli $v=\sqrt{2gh}$.

Primo principio della termodinamica

Note: Temperatura ed equilibrio termicoUn sistema termodinamico si descrive con poche variabili di stato (p, V, T, n), che hanno senso solo all'equilibrio. Due sistemi a contatto attraverso una parete diatermica raggiungono l'equilibrio termico; il principio zero permette di definire la temperatura e di misurarla con un termometro. Kelvin: T = t(°C) + 273,15.Temperatura ed equilibrio termico → · Lavoro termodinamicoUn gas che cambia volume compie lavoro W = ∫ p_est dV sull'ambiente; per una trasformazione quasistatica p_est = p e W è l'area sotto la curva nel piano p-V. Il lavoro dipende dal percorso, non solo dagli stati iniziale e finale; in un ciclo è l'area racchiusa.Lavoro termodinamico → · Primo principio della termodinamicaUn sistema scambia energia con l'ambiente come calore Q (assorbito: positivo) e come lavoro W (fatto dal sistema: positivo). La variazione di energia interna, che è una funzione di stato, è ΔU = Q − W. È la conservazione dell'energia estesa ai fenomeni termici.Primo principio della termodinamica → · Calore, calori specifici e cambiamenti di fasePer scaldare un corpo di massa m di ΔT serve il calore Q = m c ΔT (c calore specifico). Nei cambiamenti di fase la temperatura resta costante e serve Q = m λ (calore latente). In un calorimetro isolato la somma dei calori scambiati è zero: da qui la temperatura di equilibrio.Calore, calori specifici e cambiamenti di fase → · Gas ideali - equazione di statoUn gas abbastanza rarefatto obbedisce all'equazione di stato pV = nRT, con R = 8,31 J/(mol·K) e T in kelvin. Riassume le leggi di Boyle (isoterma), di Gay-Lussac (isobara e isocora) e di Avogadro. Per n fisso: pV/T è costante tra due stati qualsiasi.Gas ideali - equazione di stato → · Energia interna e calori specifici dei gas idealiL'energia interna di un gas ideale dipende solo dalla temperatura: ΔU = n c_V ΔT in qualunque trasformazione. I calori molari a volume e a pressione costante sono legati dalla relazione di Mayer c_p = c_V + R. Monoatomico: c_V = 3R/2; biatomico: c_V = 5R/2; γ = c_p/c_V.Energia interna e calori specifici dei gas ideali → · Trasformazioni dei gas idealiPer ogni trasformazione di un gas ideale si calcolano ΔU = n c_V ΔT, il lavoro W e il calore Q = ΔU + W. Isocora: W = 0. Isobara: W = nRΔT, Q = n c_p ΔT. Isoterma reversibile: ΔU = 0, Q = W = nRT ln(Vf/Vi). Adiabatica reversibile: Q = 0, pV^γ costante. Adiabatica irreversibile: n c_V ΔT = −p_est ΔV.Trasformazioni dei gas ideali → · Modello cinetico del gas perfettoModellando il gas come molecole puntiformi che urtano elasticamente le pareti si ricava pV = (2/3) N ⟨E_k⟩. Confrontando con pV = N k_B T, la temperatura misura l'energia cinetica media: ⟨E_k⟩ = (3/2) k_B T. Con l'equipartizione si spiegano c_V = 3R/2 (monoatomico) e 5R/2 (biatomico).Modello cinetico del gas perfetto →

• $T[\mathrm K]=t[^\circ\mathrm C]+273{,}15$; dilatazione $\Delta L=\alpha L_0\Delta T$.
• Lavoro del gas $W=\int p_{est}\,dV$ ($=\int p\,dV$ se quasistaticaCosì lenta da passare per stati di equilibrio, quindi la pressione esterna eguaglia quella del gas.): area sotto la curva nel piano $p$-$V$; dipende dal percorso; in un ciclo è l'area racchiusa. Con $p_{est}$ costante $W=p_{est}(V_f-V_i)$.
• Primo principio: $\Delta U=Q-W$ ($Q$ assorbito e $W$ compiuto dal sistema positivi); $1\ \mathrm{cal}=4{,}186\ \mathrm J$.
• $Q=mc\Delta T$; cambiamento di fase $Q=m\lambda$ (a $T$ costante); calorimetro $\sum Q_i=0$, $T_e=\frac{m_1c_1T_1+m_2c_2T_2}{m_1c_1+m_2c_2}$.
• Gas ideale: $pV=nRT=Nk_BT$, $R=8{,}31\ \mathrm{J/(mol\,K)}$, $k_B=\frac R{N_A}$; $\frac{p_AV_A}{T_A}=\frac{p_BV_B}{T_B}$.
• $\Delta U=nc_V\Delta T$ in ogni trasformazione; $c_p=c_V+R$ (Mayer); $\gamma=\frac{c_p}{c_V}$; monoatomico $c_V=\frac32R$, biatomico $\frac52R$; in generale $c_V=\frac f2R$, $\gamma=\frac{f+2}f$.
• Isocora $W=0$, $Q=nc_V\Delta T$. Isobara $W=nR\Delta T$, $Q=nc_p\Delta T$. Isoterma reversibile $\Delta U=0$, $Q=W=nRT\ln\frac{V_B}{V_A}$. Adiabatica reversibile $Q=0$: $TV^{\gamma-1}=\text{cost}$, $pV^\gamma=\text{cost}$, $W=nc_V(T_A-T_B)$. Adiabatica irreversibile: $nc_V\Delta T=-p_{est}\Delta V$.
• Cinetico: $pV=\frac23N\langle E_k\rangle$, $\langle E_k\rangle=\frac32k_BT$, $U=\frac32nRT$ (monoatomico), $v_{qm}=\sqrt{\frac{3k_BT}m}=\sqrt{\frac{3RT}M}$.

Secondo principio ed entropia

Note: Macchine termiche e frigorifereUna macchina termica ripete un ciclo: assorbe calore, ne cede una parte e trasforma il resto in lavoro, con rendimento η = W/Qass = 1 − |Qced|/Qass. Il frigorifero percorre il ciclo al contrario. Cicli di Stirling, Otto e Diesel.Macchine termiche e frigorifere → · Secondo principio della termodinamicaNon esiste una macchina ciclica che trasformi in lavoro tutto il calore preso da un solo serbatoio (Kelvin-Planck), né una che porti calore dal freddo al caldo senza lavoro (Clausius): i due enunciati sono equivalenti. Trasformazioni reversibili e irreversibili.Secondo principio della termodinamica → · Ciclo di Carnot e teorema di CarnotIl ciclo di Carnot (due isoterme e due adiabatiche reversibili) ha rendimento 1 − T1/T2. Teorema di Carnot: nessuna macchina tra due serbatoi fa meglio di una reversibile, e tutte le reversibili hanno lo stesso rendimento. Da qui la temperatura termodinamica assoluta.Ciclo di Carnot e teorema di Carnot → · Teorema di Clausius ed entropiaIn ogni ciclo la somma dei Q/T è ≤ 0, con l'uguale solo se il ciclo è reversibile (Clausius). Da qui l'entropia, funzione di stato con ΔS = ∫ dQrev/T. L'entropia dell'universo non diminuisce mai: resta costante nei processi reversibili, cresce in quelli irreversibili.Teorema di Clausius ed entropia → · Calcolo delle variazioni di entropiaLe formule di ΔS per i casi d'esame: serbatoio Q/T, corpo che cambia temperatura mc ln(T2/T1), cambiamento di fase mλ/T, gas ideale n cV ln(T2/T1) + nR ln(V2/V1). Per le trasformazioni irreversibili si integra lungo una reversibile con gli stessi estremi.Calcolo delle variazioni di entropia → · Gas realiI gas veri si comportano da gas ideali solo a bassa pressione e alta temperatura. Le isoterme di Andrews mostrano la liquefazione sotto la temperatura critica; l'equazione di Van der Waals corregge pV = nRT con il volume proprio delle molecole (b) e la loro attrazione (a).Gas reali →

• Macchina: $W=Q_{ass}+Q_{ced}$, $\eta=\frac W{Q_{ass}}=1-\frac{|Q_{ced}|}{Q_{ass}}$. Frigorifero $\xi=\frac{Q_{ass}}{|W|}$; pompa di calore $\xi_{pdc}=\xi+1$. Otto: $\eta=1-\frac1{r^{\gamma-1}}$.
• Secondo principio: impossibile trasformare in lavoro il calore di un solo serbatoio (Kelvin-Planck: $W_{ciclo}\le0$ per un ciclo monotermo) e far passare calore dal freddo al caldo come unico risultato (Clausius).
• Carnot (due isoterme, due adiabatiche): $\eta=1-\frac{T_1}{T_2}$; $\xi=\frac{T_1}{T_2-T_1}$, $\xi_{pdc}=\frac{T_2}{T_2-T_1}$. Nessuna macchina tra due serbatoi supera una reversibile; le reversibili hanno tutte lo stesso rendimento.
• Clausius: $\sum\frac{Q_i}{T_i}\le0$, $\oint\frac{\delta Q}T\le0$ (uguale se reversibile). Entropia $S(B)-S(A)=\int_A^B\frac{\delta Q_{rev}}T$; irreversibile $\Delta S>\int\frac{\delta Q}T$; $\Delta S_{isolato}\ge0$; $\Delta S_{univ}=0$ (reversibile), $>0$ (irreversibile); energia inutilizzabile $E_{inut}=T_0\Delta S_{univ}$.
• Serbatoio $\Delta S=\frac{Q_{serb}}T$; corpo $\Delta S=mc\ln\frac{T_2}{T_1}$; fase $\Delta S=\frac{m\lambda}{T_{tr}}$; gas ideale $\Delta S=nc_V\ln\frac{T_B}{T_A}+nR\ln\frac{V_B}{V_A}=nc_p\ln\frac{T_B}{T_A}-nR\ln\frac{p_B}{p_A}$.
• Van der Waals: $\big(p+\frac{an^2}{V^2}\big)(V-nb)=nRT$; punto critico $V_c=3nb$, $p_c=\frac a{27b^2}$, $T_c=\frac{8a}{27Rb}$.

Laboratorio: elaborazione dei dati

Note: Elaborazione dei dati sperimentaliOgni misura ha un'incertezza: errori sistematici e casuali, media e deviazione standard, errore della media, distribuzione normale, media pesata, propagazione degli errori e fit lineare con i minimi quadrati. Serve per le esperienze e il test di laboratorio.Elaborazione dei dati sperimentali →

• Misura $x=x_{best}\pm\delta x$. Media $\bar x=\frac1N\sum x_i$; deviazione standard $\sigma_x=\sqrt{\frac1{N-1}\sum(x_i-\bar x)^2}$; errore della media $\sigma_{\bar x}=\frac{\sigma_x}{\sqrt N}$. Intervalli normali: $\pm\sigma$ $68{,}3\%$, $\pm2\sigma$ $95{,}4\%$, $\pm3\sigma$ $99{,}7\%$. Gli errori sistematici non si riducono ripetendo la misura.
• Media pesata (pesi $w_i=\frac1{\sigma_i^2}$): $\bar x_w=\frac{\sum w_ix_i}{\sum w_i}$, $\sigma_{\bar x_w}=\frac1{\sqrt{\sum w_i}}$.
• Propagazione: $q=x\pm y$: $\sigma_q=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}$; $q=xy$ o $\frac xy$: $\frac{\sigma_q}{|q|}=\sqrt{(\frac{\sigma_x}x)^2+(\frac{\sigma_y}y)^2}$; $q=cx^n$: $\frac{\sigma_q}{|q|}=|n|\frac{\sigma_x}{|x|}$; in generale $\sigma_q=\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x}\sigma_x)^2+(\frac{\partial f}{\partial y}\sigma_y)^2}$.
• Fit lineare $y=a+bx$: $b=\frac{N\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i}{N\sum x_i^2-(\sum x_i)^2}$, $a=\bar y-b\bar x$.