Formulario - algebra lineare e geometria

Spazi vettoriali

Note: CampiUn campo è un insieme di numeri con somma e prodotto che rispettano le regole usuali (associativa, commutativa, neutri, opposti, inversi, distributiva): è ciò che serve per risolvere le equazioni di primo grado. Esempi: Q, R, C e i campi finiti.Campi → · Spazi vettorialiUno spazio vettoriale su un campo K è un insieme con una somma di vettori e un prodotto per scalari che rispettano 7 proprietà. Esempi fondamentali: K^n (somma componente per componente), le funzioni da R in R, i polinomi.Spazi vettoriali → · Combinazioni lineari e dipendenza lineareUna combinazione lineare è una somma di vettori moltiplicati per scalari. I vettori sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli; altrimenti sono dipendenti, e allora uno di essi è combinazione lineare degli altri.Combinazioni lineari e dipendenza lineare → · Sottospazi vettorialiUn sottospazio vettoriale è un sottoinsieme che è spazio vettoriale con le stesse operazioni: basta che sia chiuso per somma e per prodotto per scalari. Deve contenere il vettore nullo. In R^2 i sottospazi sono {0}, le rette per l'origine e tutto R^2.Sottospazi vettoriali → · Intersezione, somma e sottospazio generatoL'intersezione di due sottospazi è un sottospazio, l'unione in generale no. Al suo posto si usa la somma U + W = {u + w}, il più piccolo sottospazio che contiene entrambi. Il sottospazio generato da un insieme S è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S.Intersezione, somma e sottospazio generato → · Generatori e basiDei vettori generano V se ogni vettore di V è loro combinazione lineare; una base è un insieme di generatori linearmente indipendenti, e allora ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione dei vettori di base. Lemma dello scambio: i vettori indipendenti non sono mai più dei generatori.Generatori e basi → · DimensioneTutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori, la dimensione (dim K^n = n). Da ogni sistema di generatori si estrae una base, ogni insieme di vettori indipendenti si completa a una base, e in dimensione n bastano n vettori indipendenti (o n generatori) per avere una base.Dimensione → · Formula di Grassmann e somma direttaFormula di Grassmann: dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W), come contare gli elementi di un'unione senza contare due volte quelli comuni. Se U ∩ W = {0} la somma è diretta, U ⊕ W, e ogni vettore si scrive in modo unico come u + w.Formula di Grassmann e somma diretta → · Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospaziProcedura da esame per i sottospazi di K^n: base da generatori (riduzione a scala delle righe), base da equazioni (incognite libere), equazioni cartesiane da una base (eliminare i parametri), intersezione (mettere a sistema), somma (unire i generatori) e Grassmann come controllo.Metodo - basi, equazioni cartesiane, intersezione e somma di sottospazi →

• Campo: somma e prodotto associativi e commutativi con neutri $0\ne1$, opposti, inversi degli elementi non nulli e distributiva (esempi: $\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$). Spazio vettoriale su $K$: somma di vettori e prodotto per scalari con le 7 proprietà; in $K^n$ si opera componente per componente.
• $v_1,\dots,v_r$ sono indipendenti se $a_1v_1+\dots+a_rv_r=\vec0\Rightarrow a_1=\dots=a_r=0$; altrimenti uno è combinazione degli altri.
• $W\subseteq V$ è sottospazio se $\vec0\in W$ ed è chiuso per somma e prodotto per scalari. $U\cap W$ è un sottospazio, $U\cup W$ in generale no; $U+W=\{u+w\}$ è il più piccolo sottospazio che li contiene; $\langle S\rangle$ = insieme delle combinazioni lineari di $S$.
• Base = generatori indipendenti: ogni $v$ si scrive in modo unico come combinazione. Se $v_1,\dots,v_n$ generano e $w_1,\dots,w_r$ sono indipendenti, $r\le n$. Tutte le basi hanno $\dim V$ elementi ($\dim K^n=n$); in dimensione $n$ bastano $n$ vettori indipendenti (o $n$ generatori).
• Grassmann: $\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)$. Somma diretta $U\oplus W$ se $U\cap W=\{\vec0\}$ (e allora $\dim(U\oplus W)=\dim U+\dim W$, scrittura unica $u+w$).

Funzioni lineari e matrici

Note: Funzioni lineari e isomorfismiUna funzione tra spazi vettoriali è lineare se rispetta somma e prodotto per uno scalare; manda 0 in 0, è determinata dalle immagini di una base e si chiama isomorfismo quando è anche biiettiva.Funzioni lineari e isomorfismi → · Coordinate rispetto a una baseFissata una base, ogni vettore ha una e una sola lista di coordinate; la funzione vettore → coordinate è un isomorfismo con K^n, quindi ogni spazio di dimensione n si comporta come K^n (ma l'isomorfismo dipende dalla base).Coordinate rispetto a una base → · Nucleo e immagineIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine → · Matrice associata a una funzione lineareFissate una base del dominio e una del codominio, una funzione lineare si codifica in una matrice m×n la cui colonna j contiene le coordinate di f(v_j); le coordinate di f(v) si ottengono moltiplicando la matrice per le coordinate di v, e il rango di f è il numero di colonne indipendenti.Matrice associata a una funzione lineare → · Operazioni tra matriciLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici → · Cambiamenti di baseLa matrice di cambiamento di base è la matrice dell'identità rispetto a due basi diverse: trasforma le coordinate in una base nelle coordinate nell'altra ed è invertibile; la matrice di f in nuove basi è M(id)·A·M(id), e per un endomorfismo A' = P⁻¹AP (matrici simili).Cambiamenti di base →

• $f$ lineare: $f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)$ e $f(\lambda v)=\lambda f(v)$; è determinata dalle immagini di una base. Isomorfismo = lineare e biiettiva; ogni spazio di dimensione $n$ è isomorfo a $K^n$ tramite le coordinate $[v]_{\mathcal B}$.
• $\operatorname{Ker}f=\{v:\ f(v)=\vec0\}$, $\operatorname{Im}f=\{f(v)\}$; $f$ iniettiva $\iff\operatorname{Ker}f=\{0\}$. Teorema della dimensione: $\dim\operatorname{Ker}f+\dim\operatorname{Im}f=\dim V$. Antimmagine: $f^{-1}(w)=v_0+\operatorname{Ker}f$ con $f(v_0)=w$.
• $M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f)$: la colonna $j$ contiene le coordinate in $\mathcal C$ di $f(v_j)$; $[f(v)]_{\mathcal C}=A\,[v]_{\mathcal B}$. Composizione: $M^{\mathcal B}_{\mathcal D}(g\circ f)=M^{\mathcal C}_{\mathcal D}(g)\,M^{\mathcal B}_{\mathcal C}(f)$.
• Prodotto righe per colonne: $c_{hj}=\sum_ib_{hi}a_{ij}$, definito se colonne di $B$ = righe di $A$; associativo, non commutativo; $(AB)^T=B^TA^T$.
• Cambio di base: $P=M^{\mathcal B}_{\mathcal B'}(\mathrm{id})$ (colonna $i$ = coordinate di $v_i$ in $\mathcal B'$), invertibile con inversa $M^{\mathcal B'}_{\mathcal B}(\mathrm{id})$. Per un endomorfismo $A'=P^{-1}AP$ (matrici similiMatrici dello stesso endomorfismo in basi diverse: hanno lo stesso rango, determinante e autovalori.).

Sistemi lineari

Note: Sistemi lineari e teorema di Rouché-CapelliUn sistema lineare si scrive AX = B; ha soluzioni se e solo se B sta nell'immagine di A, cioè se rango(A) = rango(A|B) (Rouché-Capelli); le soluzioni sono una soluzione particolare più il nucleo e dipendono da n − r parametri.Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli → · Eliminazione di GaussCon tre operazioni elementari sulle righe (scambio, moltiplicazione per uno scalare non nullo, somma di un multiplo di un'altra riga) ogni matrice si riduce a scala senza cambiare il rango; serve a calcolare ranghi, risolvere sistemi, trovare relazioni di dipendenza e matrici che riducono a scala.Eliminazione di Gauss → · Matrice inversaL'inversa di una matrice quadrata A è la matrice A⁻¹ con A A⁻¹ = A⁻¹ A = I; esiste se e solo se rango(A) = n e si calcola con Gauss-Jordan riducendo (A | I) fino a (I | A⁻¹).Matrice inversa →

• Rouché-Capelli: $AX=B$ ($A\in M_{m\times n}$) ha soluzioni $\iff\operatorname{rango}(A)=\operatorname{rango}(A\,|\,B)=r$; se $r=n$ la soluzione è unica, se $r<n$ ci sono $\infty^{n-r}$ soluzioni. Le soluzioni sono una soluzione particolare più $\operatorname{Ker}A$.
• Gauss: operazioni sulle righe (scambio, moltiplicazione per $\lambda\ne0$, somma di un multiplo di un'altra riga) non cambiano rango e soluzioni; il rango di una matrice a scala è il numero di righe non nulle (pivot).
• $A\in M_n$ è invertibile ($AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$) $\iff\operatorname{rango}A=n\iff AX=0$ ha solo $X=0\iff$ le colonne sono indipendenti; si calcola riducendo $(A\,|\,I)$ a $(I\,|\,A^{-1})$ con sole operazioni sulle righe.

Determinante

Note: Permutazioni e definizione di determinanteIl determinante di una matrice quadrata è la somma, su tutte le n! permutazioni, dei prodotti di n elementi presi uno per riga e uno per colonna, con segno + o − secondo la parità della permutazione; per 2×2 è ad − bc, per 3×3 c'è la regola di Sarrus, per le triangolari è il prodotto della diagonale.Permutazioni e definizione di determinante → · Proprietà del determinante, Binet e LaplaceIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace → · Matrice aggiunta e teorema di CramerLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer →

• $\displaystyle\det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\,a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}$; $2\times2$: $ad-bc$ e $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$; Sarrus solo per $3\times3$; triangolari: prodotto della diagonale.
• Lineare in ogni riga; cambia segno scambiando due righe; non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra. Binet: $\det(AB)=\det A\det B$.
• Laplace (riga $i$ o colonna $j$ fissata): $\displaystyle\det A=\sum_j(-1)^{i+j}a_{ij}\det A_{ij}=\sum_i(-1)^{i+j}a_{ij}\det A_{ij}$.
• Aggiunta $A^*$ = trasposta dei complementi algebrici: $AA^*=\det A\cdot I$, quindi $A$ invertibile $\iff\det A\ne0$ e $A^{-1}=\frac{A^*}{\det A}$. Cramer ($\det A\ne0$): $x_i=\frac{\Delta_i}{\Delta}$, con $\Delta_i$ = determinante con la colonna $i$ sostituita dai termini noti. Matrici simili hanno lo stesso determinante.

Autovalori e diagonalizzazione

Note: Autovalori e autovettoriUn autovettore è un vettore non nullo che una funzione lineare manda in un suo multiplo; si trovano gli autovalori come radici del polinomio caratteristico det(A − λI) e gli autovettori come nucleo di A − λI. Matrici simili hanno gli stessi autovalori.Autovalori e autovettori → · DiagonalizzazioneUna matrice è diagonalizzabile se è simile a una diagonale, cioè se esiste una base di autovettori: allora A = S D S⁻¹ con gli autovettori nelle colonne di S e gli autovalori in D. Criterio: tutti gli autovalori nel campo e molteplicità geometrica uguale a quella algebrica. Le matrici simmetriche reali hanno autovalori reali.Diagonalizzazione → · Esponenziale di una matrice e sistemi differenziali lineariIl sistema di equazioni differenziali y' = Ay ha soluzione y(x) = e^{Ax} ȳ. L'esponenziale di una matrice si definisce con la serie di e^x; per una matrice diagonalizzabile A = S D S⁻¹ vale e^{Ax} = S e^{Dx} S⁻¹, e e^{Dx} ha sulla diagonale gli esponenziali e^{λx} degli autovalori.Esponenziale di una matrice e sistemi differenziali lineari → · Forma canonica di JordanUna matrice non diagonalizzabile (con autovalori nel campo) è simile a una matrice di Jordan: diagonale a blocchi, con l'autovalore sulla diagonale di ogni blocco e degli 1 subito sopra. Il numero di blocchi di λ è la molteplicità geometrica, la somma delle loro dimensioni quella algebrica; la base si costruisce con catene di autovettori generalizzati.Forma canonica di Jordan →

• $v\ne\vec0$ è autovettore di autovalore $\lambda$ se $Av=\lambda v$. Polinomio caratteristico $p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)$ (si sottrae $\lambda$ solo sulla diagonale); gli autovalori sono le sue radici in $K$; matrici simili hanno lo stesso $p_A$.
• Autospazio $V_\lambda=\operatorname{Ker}(A-\lambda I)$; $m_a(\lambda)$ = esponente di $(\lambda-a)$ in $p_A$; $m_g(\lambda)=\dim V_\lambda=n-\operatorname{rango}(A-\lambda I)$; sempre $1\le m_g\le m_a$.
• Diagonalizzabile $\iff$ esiste una base di autovettori: $A=SDS^{-1}$ con gli autovettori nelle colonne di $S$ e gli autovalori in $D$ (stesso ordine). Criterio: $\sum m_a=n$ in $K$ e $m_g=m_a$ per ogni autovalore. $n$ autovalori distinti in $K$ $\Rightarrow$ diagonalizzabile; autovettori di autovalori distinti sono indipendenti. Le simmetriche reali hanno $n$ autovalori reali e sono diagonalizzabili.
• $\displaystyle e^A=\sum_{k\ge0}\frac{A^k}{k!}$; se $A=SDS^{-1}$: $e^{Ax}=S\,\mathrm{diag}(e^{\lambda_1x},\dots,e^{\lambda_nx})\,S^{-1}$. Il sistema $y'=Ay$, $y(0)=\bar y$ ha soluzione $y(x)=e^{Ax}\bar y$.
• Jordan (autovalori in $K$): $P^{-1}AP=J$, matrice diagonale a blocchi $J_k(\lambda)$ con $\lambda$ sulla diagonale e $1$ subito sopra; il numero di blocchi di $\lambda$ è $m_g(\lambda)$, la somma delle loro dimensioni è $m_a(\lambda)$.

Prodotto scalare e ortogonalità

Note: Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli → · Complemento ortogonale e proiezioni ortogonaliL'ortogonale U⊥ di un sottospazio è un sottospazio di dimensione n − dim U, e R^n = U ⊕ U⊥; ogni vettore si scompone in proiezione su U più componente ortogonale; la proiezione è il punto di U più vicino e si calcola con un sistema o con la matrice di proiezione A(AᵀA)⁻¹Aᵀ.Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali → · Metodo dei minimi quadratiQuando un sistema AX = b non ha soluzioni si cerca X che rende minima la norma di AX − b: AX è la proiezione ortogonale di b su Im A, e X si trova risolvendo le equazioni normali AᵀA X = Aᵀb; applicazione alla retta di regressione.Metodo dei minimi quadrati → · Basi ortonormali e Gram-SchmidtUna base ortonormale è fatta di vettori di norma 1 a due a due ortogonali: le coordinate si calcolano con prodotti scalari e le proiezioni con una formula diretta. Il procedimento di Gram-Schmidt trasforma una base qualsiasi in una base ortogonale (e poi ortonormale) dello stesso sottospazio.Basi ortonormali e Gram-Schmidt →

• $v\cdot w=\sum a_ib_i=v^Tw$, $\|v\|=\sqrt{v\cdot v}$. Cauchy-Schwarz: $|v\cdot w|\le\|v\|\|w\|$ (uguaglianza $\iff$ proporzionali). Angolo: $\cos\alpha=\frac{v\cdot w}{\|v\|\|w\|}$; ortogonali se $v\cdot w=0$.
• Proiezione di $w$ sulla retta $\langle u\rangle$: $\displaystyle w'=\frac{w\cdot u}{u\cdot u}\,u$. Area del parallelogramma $\mathcal A^2=(v\cdot v)(w\cdot w)-(v\cdot w)^2$; volume $\mathcal V^2=\det$ della matrice dei prodotti scalari.
• $U^\perp=\{v:\ v\cdot u=0\ \forall u\in U\}$ (basta su una base di $U$): $\dim U^\perp=n-\dim U$, $\mathbb R^n=U\oplus U^\perp$, $(U^\perp)^\perp=U$.
• Proiezione ortogonale su $U$ con base ortogonale $u_1,\dots,u_r$: $p_U(v)=\sum\frac{v\cdot u_i}{u_i\cdot u_i}u_i$; in generale $p_U(v)=Pv$, $P=A(A^TA)^{-1}A^T$ ($A$ con le colonne = base di $U$). Migliore approssimazione: $\|v-p_U(v)\|\le\|v-u\|\ \forall u\in U$, distanza $=\|p_{U^\perp}(v)\|$.
• Minimi quadrati per $AX=b$: $\hat X$ minimizza $\|AX-b\|$ $\iff A^TA\hat X=A^Tb$ (equazioni normali); colonne indipendenti: $\hat X=(A^TA)^{-1}A^Tb$.
• Ortonormale: $v_i\cdot v_j=\delta_{ij}$; vettori non nulli a due a due ortogonali sono indipendenti; in base ortonormale $v=\sum(v\cdot f_i)f_i$.
• Gram-Schmidt: $v_1'=v_1$, $\displaystyle v_k'=v_k-\sum_{i<k}\frac{v_k\cdot v_i'}{v_i'\cdot v_i'}v_i'$; si divide per le norme per l'ortonormale.

Forme bilineari e teorema spettrale

Note: Forme bilineari simmetricheUna forma bilineare simmetrica generalizza il prodotto scalare: si rappresenta con una matrice simmetrica, che cambiando base diventa PᵀAP (matrici congruenti); può essere degenere o no, definita positiva, negativa o indefinita; le definite positive sono i prodotti scalari e per esse vale Gram-Schmidt.Forme bilineari simmetriche → · Segno di una forma bilineare simmetricaPer capire se una forma bilineare simmetrica è definita positiva, negativa, semidefinita o indefinita si usano quattro metodi: segni degli autovalori, regola di Cartesio sul polinomio caratteristico, minori principali di nord-ovest, completamento dei quadrati. Il teorema di Sylvester dice che il numero di segni + e − in una forma diagonale non dipende dalla base.Segno di una forma bilineare simmetrica → · Teorema spettrale e forme quadraticheUna funzione lineare è simmetrica se f(v)·w = v·f(w); in una base ortonormale ha matrice simmetrica. Teorema spettrale: f è simmetrica se e solo se esiste una base ortonormale di autovettori, cioè A simmetrica ⇔ PᵀAP diagonale con P ortogonale. Applicato alle forme quadratiche, permette di scriverle come somma di quadrati con gli autovalori come coefficienti.Teorema spettrale e forme quadratiche →

• Forma bilineare simmetrica $\varphi$: $\varphi(v,w)=X^TAY$ con $a_{ij}=\varphi(v_i,v_j)$; cambiando base $A'=P^TAP$ (congruentiDue matrici A e A' legate da A' = P^T A P con P invertibile.). Nucleo $\{v:\ \varphi(v,w)=0\ \forall w\}$; degenere se $\ne\{0\}$. Prodotto scalare = forma simmetrica definita positiva.
• Definita positiva se $\varphi(v,v)>0\ \forall v\ne0$; semidefinita se $\ge0$; negativa con i segni opposti; indefinita se assume entrambi i segni.
• Sylvester: esiste una base con matrice $\operatorname{diag}(1,\dots,1,-1,\dots,-1,0,\dots,0)$ con $p$ segni $+$ e $r$ segni $-$, indipendenti dalla base ($p$, $r$ = numero di autovalori positivi, negativi); segnatura $(p,r)$, rango $p+r$.
• Per riconoscere il segno: autovalori; regola di Cartesio (radici tutte reali: radici positive = variazioni di segno dei coefficienti); minori principali di nord-ovest $D_k$: definita positiva $\iff D_1,\dots,D_n>0$, definita negativa $\iff(-1)^kD_k>0$; se $\det A\ne0$ e nessuno dei due casi, indefinita.
• Teorema spettrale: $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ è simmetrica ($f(v)\cdot w=v\cdot f(w)$) $\iff$ esiste una base ortonormale di autovettori; $A$ simmetrica $\iff\exists P$ ortogonale ($P^TP=I$) con $P^TAP=D$ diagonale.
• Forma quadratica $q(x)=x^TAx$ ($A$ simmetrica): con una rotazione degli assi diventa $\sum\lambda_iy_i^2$ (autovalori di $A$ come coefficienti, assi = autovettori). $\varphi(v,w)=\frac12\big(q(v+w)-q(v)-q(w)\big)$.

Geometria affine

Note: Spazi affini, rette e pianiNello spazio affine Aⁿ si distinguono punti e vettori (Q − P è il vettore da P a Q). Un sottospazio affine è L = P + W, un punto più un sottospazio vettoriale (lo spazio direttore): si descrive con equazioni parametriche X = P + t₁w₁ + … oppure cartesiane AX = B. Rette e piani di A³, passaggio tra i due tipi di equazioni, posizione reciproca: incidenti, paralleli, sghembi.Spazi affini, rette e piani → · Distanze e angoli nello spazio affineLa distanza tra due punti è la norma del vettore che li unisce. La distanza di un punto Q da un sottospazio affine L si misura dal piede della perpendicolare H, l'unico punto di L con Q − H ortogonale allo spazio direttore. Per un iperpiano a·x = b vale la formula |a·Q − b|/‖a‖. Rette sghembe: perpendicolare comune. Angoli tra rette e piani dai vettori direttori e normali.Distanze e angoli nello spazio affine → · Fasci di pianiI piani che contengono una retta r = {f₁ = 0, f₂ = 0} sono tutti e soli i piani λf₁ + μf₂ = 0, con (λ, μ) ≠ (0, 0): è il fascio di piani di asse r. Serve a trovare in un colpo il piano per r che passa per un punto, è parallelo a una direzione o è ortogonale a un altro piano. Varianti: fascio di piani paralleli, stella di piani per un punto.Fasci di piani → · Prodotto vettoriale e prodotto mistoIl prodotto vettoriale v × w di due vettori di R³ è ortogonale a entrambi, ha norma uguale all'area del parallelogramma che formano e verso dato dalla regola della mano destra; si calcola con un determinante simbolico. Il prodotto misto u · (v × w) = det(u, v, w) è il volume (con segno) del parallelepipedo. Applicazioni: normale a un piano per tre punti, direzione di una retta intersezione di due piani, aree, volumi, distanza tra rette sghembe.Prodotto vettoriale e prodotto misto → · Coniche e quadricheUna conica è l'insieme dei punti del piano che annullano un polinomio di grado 2 in x, y. Con una traslazione (che elimina i termini di primo grado) e una rotazione data dal teorema spettrale (che elimina il termine xy) diventa una forma canonica: ellisse, iperbole o parabola, oppure un caso degenere. Il tipo si legge dai determinanti della matrice 3×3 completa e della parte quadratica 2×2. Circonferenze e sfere; cenni alle quadriche.Coniche e quadriche →

• Sottospazio affine $L=P+W$ ($W$ spazio direttore, $\dim L=\dim W$). Le soluzioni di $AX=B$ compatibile sono un sottospazio affine con direttore $\operatorname{Ker}A$ e dimensione $n-\operatorname{rango}A$. In $a_1x_1+\dots+a_nx_n=b$ il vettore $a=(a_1,\dots,a_n)$ è normale all'iperpiano; stessi coefficienti e termini noti diversi $\Rightarrow$ paralleli.
• Distanza di $Q$ da $L=P+W$: $d(Q,L)=\|Q-H\|$ con $H\in L$ unico tale che $Q-H\in W^\perp$. Per $\pi:\ a\cdot x=b$: $\displaystyle d(Q,\pi)=\frac{|a\cdot Q-b|}{\|a\|}$, $\displaystyle H=Q-\frac{a\cdot Q-b}{\|a\|^2}\,a$.
• Rette sghembe $r=P+\langle v\rangle$, $s=Q+\langle w\rangle$: $\displaystyle d(r,s)=\frac{|(Q-P)\cdot(v\times w)|}{\|v\times w\|}$. Angolo tra rette: $\cos\theta=\frac{|v\cdot w|}{\|v\|\|w\|}$; tra retta e piano: $\sin\varphi=\frac{|v\cdot n|}{\|v\|\|n\|}$.
• Fascio di piani di asse $r=\{f_1=0,\ f_2=0\}$: $\lambda f_1+\mu f_2=0$, $(\lambda,\mu)\ne(0,0)$.
• Prodotto vettoriale in $\mathbb R^3$: $v\times w$ ortogonale a $v$ e $w$, $\|v\times w\|=\|v\|\|w\|\sin\theta$ (area del parallelogramma), terna $\{v,w,v\times w\}$ destrorsa; $=\vec0$ se $v,w$ dipendenti. Prodotto misto $u\cdot(v\times w)=\det(u,v,w)$ (volume con segno del parallelepipedo).
• Conica: $a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$, $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}$, $\tilde A$ = matrice $3\times3$ completa. Forme canoniche: ellisse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, iperbole $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (asintoti $y=\pm\frac bax$), parabola $y=cx^2$. Il centro risolve $a_{11}x+a_{12}y+a_{13}=0$, $a_{12}x+a_{22}y+a_{23}=0$.