Formulario - teoria dei circuiti

Richiami di elettromagnetismo

Note: Carica e corrente elettricaLa corrente è la carica netta che attraversa una superficie orientata nell'unità di tempo (ampere = coulomb al secondo); la densità di corrente J è la sua versione locale, e la legge di continuità dice che in regime stazionario la corrente totale uscente da una superficie chiusa è nulla.Carica e corrente elettrica → · Tensione elettrica e potenzialeLa tensione è l'integrale del campo elettrico lungo una linea orientata (in volt) ed è il lavoro elettrico per unità di carica; quando il campo è solo coulombiano, come in regime stazionario, non dipende dal percorso ed è una differenza di potenziale, e lungo un percorso chiuso vale zero.Tensione elettrica e potenziale →

• Corrente: $i=\frac{dq}{dt}=\int_S\mathbf J\cdot\mathbf n\,dS$, con $i=\pm JS$ se $\mathbf J$ è uniforme e ortogonale alla sezione. Continuità: $i_{usc}=-\frac{dq_{int}}{dt}$; in regime stazionario $\sum i_{usc}=0$ su ogni superficie chiusa.
• Tensione: $v_{AB}=\int_A^B\mathbf E\cdot\mathbf t\,d\ell=\frac{d\mathcal L_e}{dq}$ (V). Con il solo campo coulombiano $\mathbf E_c$ non dipende dal percorso: $v_{AB}=U(A)-U(B)$ e $\oint\mathbf E_c\cdot\mathbf t\,d\ell=0$.

Componenti, porte e potenza

Note: Componenti elettrici e modello a parametri concentratiUn componente è una regione di spazio chiusa da una superficie limite da cui escono terminali; in regime stazionario o quasi stazionario la corrente totale uscente da un componente è nulla e ogni tensione tra morsetti è una differenza di potenziale, e il circuito si descrive senza più dipendenza dallo spazio (parametri concentrati).Componenti elettrici e modello a parametri concentrati → · Bipoli, n-poli e porte elettricheUn n-polo ha n terminali: le sue correnti uscenti sommano a zero e le sue tensioni sono differenze di potenziale, quindi bastano n−1 correnti e n−1 tensioni per descriverlo. Una porta è una coppia di morsetti in cui la corrente che entra da uno esce dall'altro; un m-bipolo ha m porte e ogni n-polo si può vedere come (n−1)-bipolo.Bipoli, n-poli e porte elettriche → · Convenzioni, potenza e lavoro elettricoCon la convenzione dell'utilizzatore (corrente entrante dal +) il prodotto p = v·i è la potenza assorbita, con quella del generatore (corrente uscente dal +) è la potenza erogata; il senso fisico non dipende dalla convenzione. Il lavoro è l'integrale della potenza nel tempo; un componente attivo può erogare lavoro senza limite, uno passivo no.Convenzioni, potenza e lavoro elettrico →

• Parametri concentrati: $\sum_k i_{usc,k}=0$ e $v_{hk}=u_h-u_k$. Un $n$-polo è descritto da $n-1$ correnti e $n-1$ tensioni.
• Potenza assorbita con la convenzione dell'utilizzatore (corrente entrante dal $+$): $p=v\,i$; con la convenzione del generatore $p=vi$ è la potenza erogata. Lavoro $\mathcal L=\int_{\Delta t}p\,dt$ (J).
• Passivo: $\mathcal L_u(t_0,t)\le w(t_0)-w(t)$; attivo: lavoro erogabile senza limiti.

Resistori e generatori

Note: Resistore e legge di OhmPer molti materiali V = R I (legge di Ohm), con R = ρℓ/S per un cilindro; la potenza assorbita R I² diventa calore (effetto Joule), quindi il resistore con R > 0 è passivo. Il resistore ideale è il bipolo v = R i: lineare, tempo-invariante, bilaterale; i casi limite sono il cortocircuito (R = 0) e il circuito aperto (R = ∞).Resistore e legge di Ohm → · Generatori elettrici, GIT e GATUn generatore contiene un campo non conservativo che spinge le cariche; a vuoto la sua tensione è uguale alla forza elettromotrice, a carico cala di Ri·I. Il GIT (v = e per ogni i) è il modello senza perdite, il GAT (V = E − Ri I) aggiunge la resistenza interna; collegando un carico si trova il punto di lavoro.Generatori elettrici, GIT e GAT →

• Ohm: $V=RI$, $I=GV$, $G=\frac1R$ ($R>0$ passivo); $R=\rho\frac\ell S$, $G=\gamma\frac S\ell$; $\rho=\rho_0(1+\alpha(T-T_0))$.
• Effetto Joule: $P=VI=RI^2=\frac{V^2}R=GV^2$; locale $p=\mathbf E\cdot\mathbf J=\rho J^2$.
• GIT: $v=e$ per ogni $i$, con $e=v_0$ (tensione a vuoto). GAT: $V=E-R_iI$ (a carico la tensione cala di $R_iI$); il punto di lavoro è l'incrocio con la caratteristica del carico.

Leggi di Kirchhoff e reti di bipoli

Note: Leggi di Kirchhoff (LKC e LKT)LKC: in ogni istante la somma algebrica delle correnti che attraversano una superficie chiusa (per esempio attorno a un nodo) è zero. LKT: in ogni istante la somma algebrica delle tensioni lungo un percorso chiuso che tocca solo nodi (per esempio una maglia) è zero. Dipendono solo da come sono collegati i componenti.Leggi di Kirchhoff (LKC e LKT) → · Grafo di una rete ed equazioni indipendentiIl grafo di una rete tiene solo i collegamenti (nodi e lati). Scelto un albero (n−1 lati, connesso, senza maglie), ogni lato di coalbero dà una LKT indipendente e ogni lato d'albero una LKC indipendente: in totale ℓ − n + 1 LKT e n − 1 LKC, che con le ℓ equazioni dei bipoli fanno 2ℓ equazioni per 2ℓ incognite.Grafo di una rete ed equazioni indipendenti → · Teorema di TellegenCon la stessa convenzione su tutti i bipoli, la somma dei prodotti v_h·i_h su tutti i bipoli di una rete è zero, se le tensioni rispettano le LKT e le correnti le LKC. Dipende solo dalla topologia; preso tutto allo stesso istante dà la conservazione della potenza: la potenza erogata dai generatori è uguale a quella assorbita dagli altri bipoli.Teorema di Tellegen →

• LKC: $\sum_k\pm i_k=0$ su una superficie chiusa (nodo); LKT: $\sum_k\pm v_k=0$ su un percorso chiuso (maglia).
• Grafo con $\ell$ lati e $n$ nodi: LKC indipendenti $n-1$, LKT indipendenti $\ell-n+1$; con le $\ell$ relazioni dei bipoli sono $2\ell$ equazioni in $2\ell$ incognite.
• Tellegenvale per qualunque rete con gli stessi nodi e lati, anche con componenti diversi (stessa convenzione su tutti i bipoli): $\sum_{h=1}^{\ell}v_hi_h=0$, cioè $\sum p_h=0$: potenza erogata $=$ potenza assorbita. Dipende solo dalla topologia.

Bipoli adinamici, serie e parallelo

Note: Bipoli adinamici, GIC e diodo idealeUn bipolo adinamico lega solo i valori istantanei di tensione e corrente, f(v,i) = 0, e si rappresenta con una curva nel piano v-i (caratteristica esterna). Oltre a resistore, cortocircuito, circuito aperto e GIT ci sono il GIC (i = j per ogni v), l'interruttore (aperto o chiuso a seconda dell'istante) e il diodo ideale (circuito aperto per v < 0, cortocircuito per i > 0). Un bipolo è controllato in corrente se v si può scrivere come funzione di i, controllato in tensione se i si può scrivere come funzione di v.Bipoli adinamici, GIC e diodo ideale → · Serie e parallelo di bipoliDue bipoli sono in serie se hanno un nodo in comune a cui non è collegato nient'altro: stessa corrente, le tensioni si sommano. Sono in parallelo se sono collegati alla stessa coppia di nodi: stessa tensione, le correnti si sommano. Resistori in serie: R_s = somma delle R; in parallelo: G_p = somma delle G (per due, R1R2/(R1+R2)). GIT in serie e GIC in parallelo si sommano algebricamente; GIC in serie a qualunque cosa resta un GIC, GIT in parallelo a qualunque cosa resta un GIT.Serie e parallelo di bipoli → · Partitori di tensione e di correnteIn una serie di resistori la tensione totale si divide in proporzione alle resistenze: v_k = R_k/R_s · v_s (per due: v_1 = R_1/(R_1+R_2) · v_s). In un parallelo la corrente totale si divide in proporzione alle conduttanze: i_k = G_k/G_p · i_p (per due: i_1 = R_2/(R_1+R_2) · i_p, con la resistenza dell'altro ramo al numeratore). Le formule valgono con i riferimenti "naturali": se il riferimento chiesto è opposto, si cambia segno.Partitori di tensione e di corrente → · Equivalenza tra generatore reale di tensione e di correnteUn GIT e in serie a un resistore R_s ha la stessa caratteristica di un GIC j in parallelo a una conduttanza G_p se G_p = 1/R_s e j = e/R_s (viceversa e = j/G_p = j·R). Il verso conta: la freccia del GIC punta verso il morsetto + del GIT. L'equivalenza vale solo verso l'esterno e non esiste per il GIT da solo (R_s = 0) né per il GIC da solo (G_p = 0).Equivalenza tra generatore reale di tensione e di corrente → · Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangoloUna rete di soli resistori passivi vista da due morsetti A e B equivale a un unico resistore R_eq. Si calcola riducendo la rete con serie e parallelo, partendo dalla parte più lontana dai morsetti. Quando serie e parallelo non bastano (ponti), si usa la trasformazione triangolo→stella (R_A = R_AB·R_CA / somma) o stella→triangolo (R_AB = (R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A)/R_C). Con tre resistori uguali R_Δ = 3 R_Y.Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo →

• Bipolo adinamico: $f(v,i)=0$. GIC: $i=j$ per ogni $v$. Diodo ideale: $i=0$ per $v\le0$ (interdetto), $v=0$ per $i\ge0$ (in conduzione). Diodo a giunzione: $i=I_S\big(e^{v/(\eta V_T)}-1\big)$.

• Serie: stessa $i$, $v_s=\sum v_k$, $R_s=\sum R_k$. Parallelo: stessa $v$, $i_p=\sum i_k$, $G_p=\sum G_k$ (due resistori: $\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$).
• Partitore di tensione: $v_k=\frac{R_k}{\sum R}\,v_s$ (due: $v_1=\frac{R_1}{R_1+R_2}v_s$). Partitore di corrente: $i_k=\frac{G_k}{\sum G}\,i_p$ (due: $i_1=\frac{R_2}{R_1+R_2}i_p$). Con riferimento opposto si cambia segno.
• Generatore reale: $v=e-R_si\iff i=j-G_pv$ con $j=\frac e{R_s}$, $G_p=\frac1{R_s}$ (la freccia del GIC punta al $+$ del GIT).
• Triangolo $\to$ stella: $R_A=\frac{R_{AB}R_{CA}}{R_{AB}+R_{BC}+R_{CA}}$ (e cicliche). Stella $\to$ triangolo: $R_{AB}=\frac{R_AR_B+R_BR_C+R_CR_A}{R_C}$ (e cicliche). Tre resistori uguali: $R_\Delta=3R_Y$.

Metodi di analisi delle reti

Note: Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi)Si sceglie un nodo di riferimento (potenziale zero) e si prendono come incognite gli n−1 potenziali degli altri nodi; ogni tensione è una differenza di potenziali, quindi le LKT sono automatiche. Si scrive la LKC su ogni nodo non di riferimento, per ispezione: autoconduttanza × potenziale del nodo − Σ mutue conduttanze × potenziali vicini = somma delle correnti dei GIC entranti. Ogni GIT senza resistore in serie aggiunge un'incognita (la sua corrente) e un'equazione (u_+ − u_− = e): è l'analisi nodale modificata (MNA).Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi) → · Metodo delle correnti di anelloPer reti piane: si associa a ogni anello (finestra del disegno) una corrente fittizia che lo percorre tutto, tutte nello stesso verso. Le correnti di lato sono somme algebriche delle correnti di anello, quindi le LKC sono automatiche; si scrivono le ℓ−n+1 LKT sugli anelli, per ispezione: autoresistenza × corrente dell'anello − Σ mutue resistenze × correnti degli anelli vicini = somma delle f.e.m. dei GIT percorsi dal − al +. Ogni GIC senza resistore in parallelo aggiunge come incognita la sua tensione e come equazione il legame tra la sua corrente e le correnti di anello (metodo modificato).Metodo delle correnti di anello →

• Nodi: $G_{hh}u_h-\sum_{k\ne h}G_{hk}u_k=j_h$ ($G_{hh}$ somma delle conduttanze al nodo, $j_h$ correnti dei GIC entranti). Un GIT senza resistore in serie aggiunge l'incognita $i_e$ e l'equazione $u_+-u_-=e$ (MNAanalisi nodale modificata). Millman: $V=\frac{\sum E_k/R_k+\sum J_k}{\sum1/R_k}$.
• Anelli (reti piane): $R_{hh}i_{Ah}-\sum_{k\ne h}R_{hk}i_{Ak}=e_h$ ($e_h$ f.e.m. dei GIT percorsi dal $-$ al $+$). Un GIC senza resistore in parallelo aggiunge l'incognita $v$ del GIC.

Teoremi delle reti

Note: Principio di sovrapposizione degli effettiIn una rete lineare (resistori, GIT, GIC) ogni tensione e ogni corrente è combinazione lineare delle impresse dei generatori. Quindi si può calcolarla facendo agire un generatore alla volta, con gli altri spenti (GIT spento = cortocircuito, GIC spento = circuito aperto), e sommando i contributi. Vale per tensioni e correnti, non per le potenze.Principio di sovrapposizione degli effetti → · Teorema di sostituzioneSe in una rete con soluzione unica si conosce la corrente i_h (o la tensione v_h) di un bipolo, lo si può sostituire con un GIC di corrente i_h (o con un GIT di tensione v_h), con lo stesso riferimento, senza cambiare le altre tensioni e correnti, purché anche la rete modificata abbia soluzione unica. Utile per semplificare: un ramo con corrente nota diventa un GIC, un resistore con corrente nulla diventa un circuito aperto.Teorema di sostituzione → · Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton → · Teorema del massimo trasferimento di potenzaUna rete con equivalente di Thévenin (e_eq, R_i) cede a un carico resistivo R_u la potenza P = R_u e_eq² / (R_i + R_u)². Al variare di R_u questa potenza è massima per R_u = R_i (carico adattato) e vale P_max = e_eq² / (4 R_i). In quella condizione il rendimento è solo del 50%.Teorema del massimo trasferimento di potenza →

• Sovrapposizione (rete lineare): un generatore alla volta, gli altri spenti (GIT $\to$ cortocircuito, GIC $\to$ circuito aperto); vale per $v,i$, non per le potenze.
• Sostituzione: un bipolo con $i_h$ (o $v_h$) nota si sostituisce con un GIC (o GIT) con lo stesso riferimento, se la rete ha soluzione unica.
• Thévenin: $v=v_0-R_{eq}\,i$; Norton: $i=i_{cc}-G_{eq}\,v$; $R_{eq}=\frac{v_0}{i_{cc}}$, con $R_{eq}$ la resistenza a generatori indipendenti spenti.
• Massimo trasferimento: $P(R_u)=\frac{R_u\,e_{eq}^2}{(R_i+R_u)^2}$, massima per $R_u=R_i$: $P_{max}=\frac{e_{eq}^2}{4R_i}$ (rendimento 50%).

Doppi bipoli e generatori pilotati

Note: Doppi bipoli e loro rappresentazioniUn doppio bipolo ha due porte e quattro grandezze (v1, i1, v2, i2) legate da due equazioni. Se è lineare e senza generatori interni (ideale inerte) le equazioni sono lineari omogenee: scegliendo quali due grandezze sono indipendenti si hanno sei rappresentazioni (matrici R, G, h, g, T, T'). Ogni parametro si calcola mettendo una porta a vuoto (corrente nulla) o in cortocircuito (tensione nulla). Reciproco: R12 = R21 (oppure det T = 1); simmetrico: anche R11 = R22. Serie di doppi bipoli: si sommano le R; parallelo: si sommano le G; cascata: si moltiplicano le T. Un doppio bipolo resistivo si sintetizza con tre resistori a T o a Π.Doppi bipoli e loro rappresentazioni → · Generatori pilotati e trasformatore idealeUn generatore pilotato impone una tensione o una corrente (lato 2) proporzionale a una tensione o corrente di un altro lato della rete (lato 1, che è un circuito aperto se pilota una tensione, un cortocircuito se pilota una corrente). Quattro tipi: GTPT (v2 = α v1), GTPC (v2 = r i1), GCPT (i2 = g v1), GCPC (i2 = β i1). Il trasformatore ideale ha v1 = n v2 e i1 = -i2/n: assorbe potenza nulla, può amplificare tensioni o correnti e vista dalla porta 1 trasforma una resistenza R2 in n² R2.Generatori pilotati e trasformatore ideale → · Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →

• Sei rappresentazioni: $[R]$ ($v=Ri$), $[G]=[R]^{-1}$, $[h]$, $[g]=[h]^{-1}$, $[T]$ ($v_1,i_1$ in funzione di $v_2,-i_2$), $[T']=[T]^{-1}$. Parametri con una porta a vuoto o in corto: $R_{11}=\frac{v_1}{i_1}\big|_{i_2=0}$, $G_{11}=\frac{i_1}{v_1}\big|_{v_2=0}$, $A=\frac{v_1}{v_2}\big|_{i_2=0}$, $B=\frac{v_1}{-i_2}\big|_{v_2=0}$.
• Reciprocoil doppio bipolo non cambia risposta scambiando le porte: $R_{12}=R_{21}$ (o $\det T=1$); simmetrico: anche $R_{11}=R_{22}$. Collegamenti: serie $\to$ si sommano le $R$; parallelo $\to$ si sommano le $G$; cascata $\to$ si moltiplicano le $T$.
• Equivalente a T: $R_a=R_{11}-R_{12}$, $R_b=R_{22}-R_{21}$, $R_c=R_{12}=R_{21}$. Equivalente a $\pi$: $G_a=G_{11}+G_{12}$, $G_b=G_{22}+G_{21}$, $G_c=-G_{12}=-G_{21}$.
• Pilotati: GTPT $v_2=\alpha v_1$, GTPC $v_2=r\,i_1$, GCPT $i_2=g\,v_1$, GCPC $i_2=\beta\,i_1$. Trasformatore ideale: $v_1=n\,v_2$, $i_1=-\frac1ni_2$, $p=0$, $R_{1eq}=n^2R_2$, $[T]=\begin{bmatrix}n&0\\0&\frac1n\end{bmatrix}$.
• Con i pilotati: un'equazione in più per la grandezza di controllo; nella sovrapposizione si spengono solo gli indipendenti; $R_{eq}=\frac{V^*}{I^*}$ (generatore di prova) oppure $\frac{v_0}{i_{cc}}$, anche negativa.

Componenti dinamici

Note: CondensatoreIl condensatore ideale ha q = C v e quindi, in convenzione dell'utilizzatore, i = C dv/dt (C in farad). È un bipolo dinamico con memoria: v(t) = v(t0) + (1/C) ∫ i dt. Con corrente limitata la tensione è continua (non può saltare). Immagazzina l'energia W_C = ½ C v², senza dissiparla: è passivo e la sua variabile di stato è la tensione. In regime stazionario è un circuito aperto. Serie: 1/C_s = Σ 1/C_k; parallelo: C_p = Σ C_k (al contrario dei resistori).Condensatore → · InduttoreL'induttore ideale ha flusso concatenato φ = L i e quindi, in convenzione dell'utilizzatore, v = L di/dt (L in henry). È il duale del condensatore: ha memoria, i(t) = i(t0) + (1/L) ∫ v dt; con tensione limitata la corrente è continua; immagazzina l'energia W_L = ½ L i² (variabile di stato: la corrente). In regime stazionario è un cortocircuito. Serie: L_s = Σ L_k; parallelo: 1/L_p = Σ 1/L_k (come i resistori).Induttore →

Transitori del primo ordine

Note: Regime variabile, istanti critici e condizioni inizialiIn regime variabile le reti contengono condensatori, induttori e interruttori o deviatori che commutano in un istante critico (t = 0). Se all'istante critico tutte le grandezze restano limitate, valgono vC(0+) = vC(0-) e iL(0+) = iL(0-): le variabili di stato sono continue, le altre grandezze possono saltare. L'analisi si divide in t < 0 (di solito regime stazionario: C aperto, L in corto, da cui vC(0-) e iL(0-)), t = 0 (continuità) e t > 0 (equazione differenziale). Le eccezioni sono le maglie capacitive e gli insiemi di taglio induttivi, dove compaiono impulsi di Dirac.Regime variabile, istanti critici e condizioni iniziali → · Circuiti del primo ordine (RC e RL)Una rete con un solo condensatore o un solo induttore è del primo ordine: la variabile di stato x(t) soddisfa dx/dt + x/T = b(t). Con generatori costanti la soluzione è x(t) = x∞ + [x(0) - x∞] e^(-t/T): valore finale (regime stazionario per t > 0) più un transitorio esponenziale. La costante di tempo è T = R C per il condensatore e T = L / R per l'induttore, dove R è la resistenza di Thévenin vista dal componente dinamico. Dopo 4-5 costanti di tempo il transitorio è esaurito. Carica RC: vC = E(1 - e^(-t/RC)); scarica: vC = V0 e^(-t/RC); duali per RL.Circuiti del primo ordine (RC e RL) →

• Continuità (grandezze limitate): $v_C(0^+)=v_C(0^-)$, $i_L(0^+)=i_L(0^-)$; le altre grandezze possono saltare. Due condensatori collegati: $v(0^+)=\frac{C_1V_1+C_2V_2}{C_1+C_2}$ (impulso in $i_C$).
• Generatori costanti: $x(t)=x_\infty+[x(0^+)-x_\infty]\,e^{-t/T}$, con $T=R_{eq}C$ oppure $T=\frac L{R_{eq}}$ ($R_{eq}$ di Thévenin a generatori spenti, rete per $t>0$).
• Carica RC: $v_C=E(1-e^{-t/RC})$, $i=\frac ER e^{-t/RC}$; scarica: $v_C=V_0e^{-t/RC}$. Carica RL: $i_L=\frac ER(1-e^{-tR/L})$, $v_L=Ee^{-tR/L}$; scarica: $i_L=I_0e^{-tR/L}$.
• Generatore sinusoidale: $x(t)=x_p(t)+[x(0^+)-x_p(0^+)]e^{-t/T}$. Dopo $4$–$5\,T$ il transitorio è esaurito ($1-e^{-1}=0{,}632$, $e^{-1}=0{,}368$).

Transitori del secondo ordine e oltre

Note: Circuiti del secondo ordine (RLC)Un circuito con un condensatore e un induttore (RLC serie o parallelo) è del secondo ordine: d²x/dt² + 2α dx/dt + ω0² x = u(t), con ω0 = 1/√(LC) e α = R/(2L) (serie) oppure α = G/(2C) = 1/(2RC) (parallelo). Le radici s = -α ± √(α² - ω0²) danno tre casi: sovrasmorzato (α > ω0, due esponenziali reali), critico (α = ω0, e^(-αt)(A1 + A2 t)), sottosmorzato (α < ω0, oscillazioni smorzate con pulsazione ωs = √(ω0² - α²)). Servono due condizioni iniziali: x(0+) e dx/dt(0+), che si ricavano da vC(0+) e iL(0+).Circuiti del secondo ordine (RLC) → · Equazioni di stato e circuiti di ordine superioreUn circuito con n componenti dinamici (condensatori e induttori "indipendenti") è di ordine n. Si descrive con n equazioni di stato del primo ordine, dx/dt = A x + B u, nelle tensioni dei condensatori e correnti degli induttori. Per scriverle si risolve il circuito resistivo associato (ogni C sostituito da un GIT di valore vC, ogni L da un GIC di valore iL) e si ricavano iC e vL. Gli autovalori di A sono le frequenze naturali: la soluzione libera è una somma di modi e^(s t). Il circuito è assolutamente stabile se tutti gli autovalori hanno parte reale negativa. Le equazioni si risolvono bene per via numerica (Eulero, SPICE).Equazioni di stato e circuiti di ordine superiore →

• $\ddot x+2\alpha\dot x+\omega_0^2x=\omega_0^2X$, con $\omega_0=\frac1{\sqrt{LC}}$ e smorzamento$\alpha$: più è grande, più in fretta si spegne il transitorio $\alpha=\frac R{2L}$ (serie), $\frac1{2RC}$ (parallelo). Radici $s_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}$.
• $\alpha>\omega_0$ sovrasmorzato: $A_1e^{s_1t}+A_2e^{s_2t}$. $\alpha=\omega_0$ critico: $e^{-\alpha t}(A_1+A_2t)$. $\alpha<\omega_0$ sottosmorzato: $e^{-\alpha t}(A_1\cos\omega_st+A_2\sin\omega_st)$, $\omega_s=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}$. A queste si somma la soluzione di regime.
• Condizioni iniziali: $v_C(0^+)$ e $\dot v_C(0^+)=\frac{i_C(0^+)}C=\frac{i_L(0^+)}C$.
• Ordine $n$: $\dot{\mathbf x}=[A]\mathbf x+[B]\mathbf u$ nelle $v_C$ e $i_L$; frequenze naturali = autovalori, $\det([A]-s[I])=0$; $\mathbf x=\sum K_i\mathbf U_ie^{s_it}$; assolutamente stabile se $\mathrm{Re}\,s_i<0$. Eulero: $\mathbf x_{k+1}=\mathbf x_k+\Delta t([A]\mathbf x_k+[B]\mathbf u_k)$.

Regime sinusoidale e fasori

Note: Sinusoidi e fasoriUna rete è in regime sinusoidale se tutte le tensioni e correnti sono sinusoidi della stessa pulsazione ω. Una sinusoide a(t) = √2 A cos(ωt + φ) è individuata da due numeri, il valore efficace A = A_M/√2 e la fase φ, e quindi dal fasore Ā = A e^(jφ), un numero complesso. Si torna alla sinusoide con a(t) = Re[√2 Ā e^(jωt)]. Somme di sinusoidi diventano somme di fasori, la derivata diventa moltiplicazione per jω: le equazioni differenziali della rete diventano equazioni algebriche complesse (metodo simbolico).Sinusoidi e fasori → · Impedenza e ammettenzaIn regime sinusoidale, con i fasori e la convenzione dell'utilizzatore: resistore V̄ = R Ī (in fase), induttore V̄ = jωL Ī (tensione in anticipo di π/2), condensatore Ī = jωC V̄ (corrente in anticipo di π/2). In generale V̄ = Ż Ī: l'impedenza Ż = R + jX (resistenza e reattanza, in ohm) e l'ammettenza Ẏ = 1/Ż = G + jB (conduttanza e suscettanza, in siemens). X_L = ωL > 0, X_C = -1/(ωC) < 0. Un bipolo passivo ha Re(Ż) ≥ 0, cioè -π/2 ≤ φ ≤ π/2. Le leggi di Kirchhoff valgono sui fasori.Impedenza e ammettenza →

• $a(t)=\sqrt2A\cos(\omega t+\varphi_a)\leftrightarrow\bar A=Ae^{j\varphi_a}$, con $A=\frac{A_M}{\sqrt2}\approx0{,}707A_M$ valore efficace; $a(t)=\mathrm{Re}[\sqrt2\bar Ae^{j\omega t}]$. La derivata diventa $\times j\omega$.
• Impedenza $\dot Z=\frac{\bar V}{\bar I}=Ze^{j\varphi}=R+jX$, ammettenza $\dot Y=\frac1{\dot Z}=G+jB$ con $G=\frac R{R^2+X^2}$, $B=\frac{-X}{R^2+X^2}$. Passivo: $\mathrm{Re}\,\dot Z\ge0$.
• Resistore $\bar V=R\bar I$; induttore $\bar V=j\omega L\,\bar I$ ($X_L=\omega L$, $v$ in anticipo di $\frac\pi2$); condensatore $\bar I=j\omega C\,\bar V$ ($X_C=-\frac1{\omega C}$, $i$ in anticipo di $\frac\pi2$).

Potenze in regime sinusoidale

Note: Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale →

• $p(t)=VI\cos\varphi+VI\cos(2\omega t+\varphi_v+\varphi_i)$, con $\varphi=\varphi_v-\varphi_i$: oscilla a $2\omega$.
• $\dot S=\bar V\bar I^*=VIe^{j\varphi}=P+jQ$: $P=VI\cos\varphi$ (W), $Q=VI\sin\varphi$ (VAR), $S=|\dot S|=VI=\sqrt{P^2+Q^2}$ (VA), $\cos\varphi=\frac PS$.
• Con un'impedenza: $P=RI^2$, $Q=XI^2$; $Q_L=\omega LI^2>0$, $Q_C=-\omega CV^2<0$. Boucherot: si conservano $\dot S$, $P$, $Q$ (non $S$).

Reti in regime sinusoidale

Note: Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) → · Risonanza serie e paralleloIn un RLC serie l'impedenza Ż = R + j(ωL - 1/ωC) ha modulo minimo, pari a R, alla pulsazione di risonanza ω0 = 1/√(LC), dove le reattanze di L e C si annullano: la serie LC equivale a un cortocircuito e su L e C compaiono tensioni Q volte quella applicata (Q = ω0 L / R). Nel parallelo RLC l'ammettenza è minima (G) a ω0: il parallelo LC equivale a un circuito aperto e le correnti in L e C sono Q volte quella totale (Q = ω0 R C). Usati come filtri passa banda: banda B = ω2 - ω1 = ω0 / Q.Risonanza serie e parallelo → · Rifasamento e massimo trasferimento di potenza attivaRifasare un carico ohmico-induttivo (P, cos φ) vuol dire mettergli in parallelo un condensatore che fornisca parte della sua potenza reattiva: P resta uguale, Q e la corrente di linea diminuiscono. Per portare il fattore di potenza da cos φ a cos φ': C = P (tan φ - tan φ') / (ω V²); rifasamento completo con tan φ' = 0. Massimo trasferimento di potenza attiva: un carico Ż collegato a un equivalente di Thévenin (Ē_eq, Ż_eq) riceve la massima potenza attiva quando Ż = Ż_eq* (impedenza coniugata), e allora P_max = E_eq² / (4 R_eq).Rifasamento e massimo trasferimento di potenza attiva →

• Metodo simbolico: tutto in coseno, $R\to R$, $L\to j\omega L$, $C\to\frac1{j\omega C}$; serie $\dot Z_s=\sum\dot Z_k$, parallelo $\dot Y_p=\sum\dot Y_k$; partitori $\bar V_k=\bar V\frac{\dot Z_k}{\sum\dot Z}$, $\bar I_k=\bar I\frac{\dot Y_k}{\sum\dot Y}$.
• Risonanza RLC serie: $\omega_0=\frac1{\sqrt{LC}}$, $\dot Z=R+j(\omega L-\frac1{\omega C})$ minima ($=R$) in $\omega_0$; fattore di merito$Q$: $2\pi$ volte energia immagazzinata su energia dissipata in un periodo $Q=\frac{\omega_0L}R=\frac1{\omega_0RC}$, tensioni su $L$ e $C$ pari a $Q$ volte quella applicata. Parallelo: $Q=\omega_0RC$, ammettenza minima. Passa banda: $B=\omega_2-\omega_1=\frac{\omega_0}Q$, $\dot H=\frac1{1+jQ(\frac\omega{\omega_0}-\frac{\omega_0}\omega)}$.
• Rifasamento da $\cos\varphi$ a $\cos\varphi'$: $C=\frac{P(\tan\varphi-\tan\varphi')}{\omega V^2}$, $P$ invariata, $I'=I\frac{\cos\varphi}{\cos\varphi'}$.
• Massima potenza attiva: $\dot Z=\dot Z_{eq}^*$ (carico coniugato), $P_{max}=\frac{E_{eq}^2}{4R_{eq}}$.