FormularioAnalisi Matematica 1: definizioni, teoremi e formule delle note, in ordine di capitolo

6. Successioni

Sottosuccessioni

Criterio di non esistenza del limite. Se due sottosuccessioni di $(a_n)$ hanno limiti diversi, allora $\lim_n a_n$ non esiste.

7. Limiti di funzioni e continuità

Limiti di funzioni - definizione

Definizione. Sia $X \subseteq \mathbb{R}$, $X \ne \emptyset$. Si dice che $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ è punto di accumulazione per $X$ se per ogni intorno $U_{x_0}$ di $x_0$ $$X \cap \left(U_{x_0} \setminus \{x_0\}\right) \ne \emptyset$$

Definizione. Siano $f: X \to \mathbb{R}$ con $X \subseteq \mathbb{R}$, $X \ne \emptyset$, e $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ di accumulazione per $X$. Si dice che $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \qquad (\ell \in \overline{\mathbb{R}})$$ quando per ogni intorno $U_\ell$ di $\ell$ esiste un intorno $U_{x_0}$ di $x_0$ tale che $$f(x) \in U_\ell \qquad \forall x \in X \cap \left(U_{x_0} \setminus \{x_0\}\right)$$

Asintoti di una funzione

Definizione. Sia $+\infty$ (oppure $-\infty$) di accumulazione per $X$ e $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty$. Se esiste una retta $y = mx + q$, con $m \ne 0$ e $q \in \mathbb{R}$, tale che $$\lim_{x \to +\infty} \left[f(x) - mx - q\right] = 0$$ la retta si dice asintoto obliquo a $+\infty$ (allo stesso modo a $-\infty$).

Teorema ponte tra limiti di funzioni e successioni

Teorema (ponte). Siano $f: X \to \mathbb{R}$ e $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ di accumulazione per $X$, $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$. Allora $$\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$$ se e solo se per ogni successione $(x_n)_n \subseteq X$ con $x_n \ne x_0$ per ogni $n$ e $\lim_n x_n = x_0$, si ha $$\lim_n f(x_n) = \ell$$

Funzioni continue

Teorema. Sono continue nei loro domini:

1. il valore assoluto;
2. le potenze $x^\alpha$, per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$, $\alpha \ne 0$;
3. esponenziali e logaritmi di base $a > 0$, $a \ne 1$;
4. le funzioni iperboliche e le loro inverse;
5. le funzioni trigonometriche e le loro inverse.

Limite di funzioni composte (cambio di variabile)

Teorema (cambio di variabile nei limiti). Siano $f$ definita definitivamente per $y \to y_0 \in \overline{\mathbb{R}}$, e $g$ tale che $g$ e $f \circ g$ siano definite definitivamente per $x \to x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$. Se

1. $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = y_0$;
2. $\displaystyle\lim_{y \to y_0} f(y) = \ell \in \overline{\mathbb{R}}$;
3. $g(x) \ne y_0$ definitivamente per $x \to x_0$;

allora $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(g(x)) = \ell$.

L'ipotesi 3 non serve se $y_0 = \pm\infty$, oppure se $y_0 \in \mathbb{R}$ e $f$ è continua in $y_0$.

Discontinuità e prolungamento per continuità

Definizione. Sia $x_0 \notin X$ di accumulazione per $X$ sia da destra sia da sinistra. Se $f(x_0^-) = f(x_0^+) = \ell \in \mathbb{R}$, si dice che $f$ è prolungabile per continuità in $x_0$, con valore $\ell$. La funzione $$\tilde f(x) = \begin{cases} f(x) & x \in X \\ \ell & x = x_0 \end{cases}$$ definita in $X \cup \{x_0\}$ e continua in $x_0$, si chiama prolungamento per continuità di $f$ in $x_0$.

Funzioni continue su un intervallo

Teorema. Sia $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ continua in $[a, b]$. Se $f(a) \cdot f(b) < 0$ ($f(a)$ e $f(b)$ hanno segno opposto), allora esiste $c \in \,]a, b[$ tale che $f(c) = 0$.

Teorema. Sia $I$ un intervallo qualsiasi (anche illimitato, anche $\mathbb{R}$) e $f: I \to \mathbb{R}$ continua su $I$. Allora:

1. $f$ assume tutti i valori compresi tra $\inf_I f$ e $\sup_I f$: per ogni $y \in \,]\inf_I f, \sup_I f[$ esiste $c \in I$ con $f(c) = y$;
2. $f(I)$ è un intervallo, di estremi $\inf_I f$ e $\sup_I f$ (aperto, chiuso o semiaperto a seconda dei casi);
3. in breve: una funzione continua manda intervalli in intervalli.

Corollario. Sia $f: I \to \mathbb{R}$ monotona su un intervallo $I$. Allora:

1. in ogni $x_0$ interno a $I$, $f$ è continua oppure ha una discontinuità di prima specie (un salto $|f(x_0^+) - f(x_0^-)|$);
2. $f$ è continua su $I$ $\iff$ $f(I)$ è un intervallo.

Teorema. Sia $f: I \to \mathbb{R}$ continua sull'intervallo $I$. Allora:

1. $f$ è invertibile su $f(I)$ (cioè iniettiva su $I$) $\iff$ $f$ è strettamente monotona su $I$;
2. se $f: I \to f(I)$ è invertibile, l'inversa $f^{-1}: f(I) \to I$ è anch'essa continua.

Teorema. Sia $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ continua sull'intervallo chiuso e limitato $[a, b]$. Allora:

1. $f$ ha minimo $m$ e massimo $M$ in $[a, b]$: esistono $x_1, x_2 \in [a, b]$ con $$m = f(x_1) \le f(x) \le f(x_2) = M \qquad \forall x \in [a, b]$$
2. $f([a, b]) = [m, M]$;
3. una funzione continua manda intervalli chiusi e limitati in intervalli chiusi e limitati.

8. Calcolo differenziale

Derivata - definizione e significato

Teorema. Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$, $x_0 \in \,]a, b[$. Sono equivalenti:

1. $f$ è derivabile in $x_0$;
2. esiste un numero $f'(x_0)$ tale che, per $x \to x_0$, $$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0)$$ 2'. (stessa cosa con $h = x - x_0$) per $h \to 0$, $$f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)\,h + o(h)$$

Teorema. Se $f$ è derivabile in $x_0$, allora $f$ è continua in $x_0$.

Regole di derivazione

Teorema 1. Siano $f, g: (a, b) \to \mathbb{R}$ derivabili in $x_0 \in \,]a, b[$. Allora:

1. Linearità: $D(c\,f)(x_0) = c\,f'(x_0)$ per ogni $c \in \mathbb{R}$, e $D(f \pm g)(x_0) = f'(x_0) \pm g'(x_0)$;
2. Derivata del prodotto (formula di Leibniz): $$D(f \cdot g)(x_0) = f'(x_0)\,g(x_0) + f(x_0)\,g'(x_0)$$
3. Reciproco e quoziente, se $g(x_0) \ne 0$: $$D\left(\frac1g\right)(x_0) = -\frac{g'(x_0)}{[g(x_0)]^2}, \qquad D\left(\frac{f}{g}\right)(x_0) = \frac{f'(x_0)\,g(x_0) - f(x_0)\,g'(x_0)}{[g(x_0)]^2}$$

Teorema 2. Sia $g$ derivabile in $x_0$ e $f$ derivabile in $y_0 = g(x_0)$ (con $g$ e $f \circ g$ definite in un intorno di $x_0$, $f$ in un intorno di $y_0$). Allora $f \circ g$ è derivabile in $x_0$ e $$(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)$$

Teorema. Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ continua e invertibile su $f((a, b))$. Se $f$ è derivabile in $x_0 \in \,]a, b[$ e $f'(x_0) \ne 0$, allora $f^{-1}$ è derivabile in $y_0 = f(x_0)$ e $$(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{[f'(x)]_{x = f^{-1}(y_0)}}$$

Teorema di de l'Hôpital

Teorema (de l'Hôpital). Sia $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ (un numero reale oppure $\pm\infty$). Siano $f$ e $g$ definite e derivabili in un intorno $U$ di $x_0$, tranne al più in $x_0$, con $g(x) \ne 0$ e $g'(x) \ne 0$ per $x \in U \setminus \{x_0\}$. Se vale una delle due condizioni

1. $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$ e $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = 0$ (forma $\frac00$);
2. $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = +\infty$ oppure $-\infty$ (non importa che cosa fa $f$),

allora $$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} \qquad \text{se il secondo limite esiste (finito o infinito).}$$

Teorema del limite della derivata

Corollario (sulla derivabilità). Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ continua in $(a, b)$ e derivabile in $]a, b[ \setminus \{x_0\}$, con $x_0 \in \,]a, b[$. Allora:

1. se esiste $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f'(x)$, si ha $f'(x_0^-) = \displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f'(x)$; se esiste $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f'(x)$, si ha $f'(x_0^+) = \displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f'(x)$;
2. di conseguenza, quando i due limiti esistono, $$f \text{ è derivabile in } x_0 \iff \lim_{x \to x_0^-} f'(x) = \lim_{x \to x_0^+} f'(x) \in \mathbb{R}$$ e in tal caso $f'(x_0) = \displaystyle\lim_{x \to x_0} f'(x)$.

Massimi e minimi relativi e teorema di Fermat

Teorema di Fermat. Sia $f: X \to \mathbb{R}$ e sia $x_0$ un punto di minimo o di massimo relativo per $f$. Se $x_0$ è interno a $X$ e $f$ è derivabile in $x_0$, allora $$f'(x_0) = 0$$

Teoremi di Rolle e di Lagrange

Teorema di Rolle. Sia $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ continua in $[a, b]$ e derivabile in $]a, b[$, con $f(a) = f(b)$. Allora esiste $c \in \,]a, b[$ tale che $$f'(c) = 0$$

Teorema di Lagrange. Sia $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ continua in $[a, b]$ e derivabile in $]a, b[$. Allora esiste $c \in \,]a, b[$ tale che $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimi

Teorema (test di monotonia per funzioni derivabili). Sia $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ continua in $[a, b]$ e derivabile in $]a, b[$. Allora:

1. $f$ è crescente in $[a, b]$ $\iff$ $f'(x) \ge 0$ per ogni $x \in \,]a, b[$;
2. $f$ è decrescente in $[a, b]$ $\iff$ $f'(x) \le 0$ per ogni $x \in \,]a, b[$;
3. $f$ è strettamente crescente in $[a, b]$ $\iff$ $f'(x) \ge 0$ per ogni $x \in \,]a, b[$ e non esistono intervalli in cui $f' = 0$ (analogamente per strettamente decrescente).

Corollario. Sia $f: \,]x_0 - \delta, x_0 + \delta[ \,\to \mathbb{R}$ continua, e derivabile tranne al più in $x_0$.

• Se $f' > 0$ in $]x_0 - \delta, x_0[$ e $f' < 0$ in $]x_0, x_0 + \delta[$ ($f$ sale e poi scende), $x_0$ è un punto di massimo relativo stretto.
• Se $f' < 0$ in $]x_0 - \delta, x_0[$ e $f' > 0$ in $]x_0, x_0 + \delta[$ ($f$ scende e poi sale), $x_0$ è un punto di minimo relativo stretto.

Per gli estremi di un intervallo: se $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ è continua in $[a, b]$ e derivabile in $]a, b[$,

• $f' > 0$ in $]a, a + \delta[$ ($f$ parte salendo) $\Rightarrow$ $a$ è di minimo relativo stretto; $f' < 0$ lì $\Rightarrow$ $a$ è di massimo relativo stretto;
• $f' > 0$ in $]b - \delta, b[$ ($f$ arriva salendo) $\Rightarrow$ $b$ è di massimo relativo stretto; $f' < 0$ lì $\Rightarrow$ $b$ è di minimo relativo stretto.

Funzioni convesse, concave e punti di flesso

Teorema 1 (regolarità). Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ convessa o concava. Allora:

1. $f$ è continua in ogni $x_0 \in \,]a, b[$;
2. in ogni $x_0 \in \,]a, b[$ esistono finite $f'(x_0^-)$ e $f'(x_0^+)$. Quindi in ogni punto interno $f$ è derivabile (se $f'(x_0^-) = f'(x_0^+)$) oppure ha un punto angoloso.

Teorema 2 (caratterizzazione con le derivate). Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ continua in $(a, b)$ e derivabile in $]a, b[$. Sono equivalenti:

1. $f$ è convessa in $(a, b)$;
2. per ogni $x_0, x \in \,]a, b[$: $f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$, cioè il grafico sta sopra ogni sua retta tangente;
3. $f'$ è crescente in $]a, b[$.

Se inoltre $f$ è derivabile due volte in $]a, b[$, è equivalente anche: 4. $f''(x) \ge 0$ per ogni $x \in \,]a, b[$.

Per $f$ concava: $\le$ al punto 2 (grafico sotto le tangenti), $f'$ decrescente, $f'' \le 0$.

Teorema 3 (condizione necessaria). Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ derivabile in $]a, b[$. Se $x_0 \in \,]a, b[$ è un punto di flesso ed esiste $f''(x_0)$, allora $$f''(x_0) = 0$$

10. Serie numeriche

Serie a termini di segno variabile

Criterio di Leibniz. Sia $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_n$ con $a_n \ge 0$ per ogni $n$. Se

1. $\lim_n a_n = 0$, e
2. $(a_n)$ è decrescente,

allora la serie converge.

12. Equazioni differenziali

Equazioni differenziali lineari del primo ordine

Teorema 1 (esistenza e unicità globale, senza dimostrazione). Siano $a, b \in C(I)$, con $I$ intervallo.

• L'integrale generale di $y' + a(t)\,y = b(t)$ è fatto di funzioni $y \in C^1(I)$, definite sullo stesso intervallo $I$ di $a$ e $b$.
• Per ogni condizione iniziale $x_0 \in \mathbb{R}$ in un istante $t_0 \in I$, il problema di Cauchy $$\begin{cases} y' + a(t)\,y = b(t) \\ y(t_0) = x_0 \end{cases}$$ ha una e una sola soluzione $y \in C^1(I)$.

Teorema 2. Siano $a, b \in C(I)$, $I$ intervallo.

1. L'integrale generale di $y' + a(t)\,y = b(t)$ è $$y(t) = e^{-A(t)}\left[c + \int e^{A(t)}\,b(t)\,dt\right] \qquad \forall c \in \mathbb{R}$$ dove $A(t) = \int a(t)\,dt$ è una primitiva di $a$ (senza costante) e $\int e^{A(t)}b(t)\,dt$ è una primitiva di $e^{A(t)}b(t)$ (senza costante: l'unica costante è $c$).
2. La soluzione del problema di Cauchy con $y(t_0) = x_0$, $t_0 \in I$, è $$y(t) = e^{-A(t)}\left[x_0 + \int_{t_0}^t e^{A(s)}\,b(s)\,ds\right], \qquad A(t) = \int_{t_0}^t a(s)\,ds$$ (così $A(t_0) = 0$).

Equazioni differenziali lineari del secondo ordine

Teorema 1 (esistenza e unicità globale, senza dimostrazione). Siano $a_0, a_1, b \in C(I)$.

1. L'integrale generale di $y'' + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = b(t)$ è fatto di funzioni $y \in C^2(I)$, definite sullo stesso intervallo $I$.
2. Per ogni scelta delle condizioni iniziali $x_0, x_1 \in \mathbb{R}$ in un istante $t_0 \in I$, il problema di Cauchy $$\begin{cases} y'' + a_1(t)\,y' + a_0(t)\,y = b(t) \\ y(t_0) = x_0, \quad y'(t_0) = x_1 \end{cases}$$ ha una e una sola soluzione $y \in C^2(I)$.

Teorema 2. Siano $\bar a_0, \bar a_1, \bar a_2 \in C(I)$.

1. Se $y_1, y_2 \in C^2(I)$ sono soluzioni dell'equazione omogenea $$\bar a_2(t)\,y'' + \bar a_1(t)\,y' + \bar a_0(t)\,y = 0 \tag{$E_0$}$$ allora anche $y = c_1 y_1 + c_2 y_2$ è soluzione di $(E_0)$, per ogni $c_1, c_2 \in \mathbb{R}$.
2. Se $\bar a_2(t) \ne 0$ per ogni $t \in I$ e $y_1, y_2$ sono soluzioni di $(E_0)$ linearmente indipendenti (due soluzioni così esistono sempre), l'integrale generale dell'omogenea è $$y(t) = c_1\,y_1(t) + c_2\,y_2(t) \qquad \forall t \in I,\ \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$

Teorema 3. Siano $\bar a_0, \bar a_1, \bar a_2, \bar b \in C(I)$.

1. Se $y_p$ è una soluzione dell'equazione completa $\bar a_2 y'' + \bar a_1 y' + \bar a_0 y = \bar b$ (una soluzione particolare), allora tutte le soluzioni della completa sono la somma di $y_p$ con una soluzione dell'omogenea: $$\text{integrale generale della completa} = y_p + \text{integrale generale dell'omogenea}$$
2. Quindi, se $\bar a_2 \ne 0$ su $I$ e $y_1, y_2$ sono soluzioni l.i. dell'omogenea, l'integrale generale della completa è $$y(t) = y_p(t) + c_1\,y_1(t) + c_2\,y_2(t) \qquad \forall t \in I,\ \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$

Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo

Teorema. Il polinomio caratteristico di $(E_0)$ è $$p(\lambda) = \lambda^2 + a_1\,\lambda + a_0$$ (si ottiene sostituendo $y'' \to \lambda^2$, $y' \to \lambda$, $y \to 1$). Sia $\Delta = a_1^2 - 4a_0$ il suo discriminante.

1. $\Delta > 0$: $p(\lambda) = 0$ ha due radici reali distinte $\lambda_1 \ne \lambda_2$, e l'integrale generale è $$y(t) = c_1\,e^{\lambda_1 t} + c_2\,e^{\lambda_2 t} \qquad \forall t \in \mathbb{R},\ \forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}$$
2. $\Delta = 0$: un'unica radice $\lambda_1 = \lambda_2$, di molteplicità $2$, e $$y(t) = (c_1 + c_2\,t)\,e^{\lambda_1 t}$$
3. $\Delta < 0$: due radici complesse coniugate $\lambda_{1,2} = \alpha \pm i\omega$, con $\omega > 0$, e $$y(t) = e^{\alpha t}\big(c_1\cos(\omega t) + c_2\sin(\omega t)\big)$$

Equazioni differenziali a variabili separabili

Teorema 1 (senza dimostrazione). Siano $a \in C(I)$, $b \in C(J)$, e sia fissata una condizione iniziale $x_0 \in J$ in un istante $t_0 \in I$. Per il problema di Cauchy $$\begin{cases} y' = a(t)\,b(y) \\ y(t_0) = x_0 \end{cases}$$

1. se $a$ e $b$ sono solo continue, la soluzione esiste ma può non essere unica, e l'intervallo massimale $I_{\max}$ può essere strettamente contenuto in $I$;
2. se $a$ è continua e $b \in C^1(J)$, la soluzione è unica, ma $I_{\max}$ può ancora essere più piccolo di $I$;
3. se $a$ è continua, $b \in C^1(\mathbb{R})$ e inoltre $b$ oppure $b'$ è limitata, c'è un'unica soluzione definita su tutto $I$ ($I_{\max} = I$).