Formulario - analisi 1

Logica, insiemi e dimostrazioni

Note: Logica e quantificatoriProposizioni, connettivi, predicati e quantificatori (per ogni, esiste), con le regole per negarli.Logica e quantificatori → · Operazioni tra insiemiUnione, intersezione, differenza, complementare e prodotto cartesiano, con le leggi di De Morgan e il legame con la logica.Operazioni tra insiemi → · Insiemi e insieme delle partiCome si descrive un insieme, sottoinsiemi, uguaglianza, insieme delle parti e insiemi finiti e infiniti.Insiemi e insieme delle parti → · Tecniche di dimostrazioneDimostrazione diretta, per contronominale e per assurdo di un teorema del tipo ipotesi implica tesi.Tecniche di dimostrazione →

• Negazione dei quantificatori: $\neg(\forall x\, P)\iff\exists x\,\neg P$; $\neg(\exists x\, P)\iff\forall x\,\neg P$. Contronominale: $(A\Rightarrow B)\iff(\neg B\Rightarrow\neg A)$.
• De Morgan: $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$, $(A\cap B)^c=A^c\cup B^c$.
• $E$ infinito $\iff$ esiste una biiezione tra $E$ e un suo sottoinsieme proprio. Se $|E|=n$, l'insieme delle parti ha $2^n$ elementi.

Numeri reali

Note: Insiemi numerici (N, Z, Q, R)Naturali, interi, razionali e reali, perché la radice di 2 obbliga a passare da Q a R, e gli intervalli.Insiemi numerici (N, Z, Q, R) → · Estremo superiore (sup)Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore (il più piccolo dei maggioranti) e inferiore, con la caratterizzazione con epsilon.Estremo superiore (sup) → · Completezza di R (continuità, separazione, sup)Le tre proprietà equivalenti che R ha e Q no: continuità, separazione ed esistenza del sup; densità di Q in R.Completezza di R (continuità, separazione, sup) → · Archimedeità di NPer ogni numero reale esiste un naturale più grande: serve a trovare n con 1/n più piccolo di qualunque epsilon.Archimedeità di N → · Valore assoluto (modulo)Il valore assoluto è la distanza di un numero da zero: definizione, proprietà, disuguaglianza triangolare e disequazioni con i moduli.Valore assoluto (modulo) →

• $s=\sup A\iff$ 1) $x\le s\ \forall x\in A$; 2) $\forall\varepsilon>0\ \exists x\in A:\ x>s-\varepsilon$. Analogamente $i=\inf A\iff$ $i\le x\ \forall x\in A$ e $\forall\varepsilon>0\ \exists x\in A:\ x<i+\varepsilon$.
• Completezza: ogni $E\subseteq\mathbb R$ non vuoto e superiormente limitato ha $\sup E\in\mathbb R$ ($\mathbb Q$ non ha questa proprietà). Archimedeità: $\forall x\in\mathbb R\ \exists n\in\mathbb N:\ n>x$.
• Valore assoluto: $|x|=x$ se $x\ge0$, $-x$ se $x<0$; $|x|<a\iff-a<x<a$; $|x|>a\iff x<-a$ oppure $x>a$ ($a>0$); $|x+y|\le|x|+|y|$ (Valore assoluto (modulo)Il valore assoluto è la distanza di un numero da zero: definizione, proprietà, disuguaglianza triangolare e disequazioni con i moduli.Valore assoluto (modulo) →).

Induzione, sommatorie e calcolo combinatorio

Note: Principio di induzionePer dimostrare una proprietà per ogni n basta il passo base e il passo induttivo da n a n+1.Principio di induzione → · SommatorieIl simbolo di sommatoria, le sue proprietà (linearità, additività, cambio di indice) e le somme notevoli di Gauss e geometrica.Sommatorie → · Fattoriale e coefficienti binomialiFattoriale, permutazioni, disposizioni, combinazioni e coefficiente binomiale n su k, con il triangolo di Tartaglia.Fattoriale e coefficienti binomiali → · Binomio di NewtonLa formula per sviluppare (a+b)^n con i coefficienti binomiali.Binomio di Newton →

• Induzione: se $P(n_0)$ è vera (passo base) e $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ (passo induttivo), $P(n)$ vale $\forall n\ge n_0$.
• $\displaystyle\sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2$; $\displaystyle\sum_{k=0}^nq^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ ($q\ne1$).
• $\displaystyle\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$; $\displaystyle\binom nk=\binom n{n-k}$; $\displaystyle\binom nk+\binom n{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$ (StifelOgni coefficiente del triangolo di Tartaglia è la somma dei due che gli stanno sopra.).
• $\displaystyle(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^kb^{n-k}$.

Funzioni

Note: Funzioni - definizione, dominio e graficoUna funzione associa a ogni elemento del dominio un solo valore: dominio naturale, grafico, immagine, antimmagine e metodo grafico.Funzioni - definizione, dominio e grafico → · Funzioni iniettive, suriettive e inverseIniettività (test delle rette orizzontali), suriettività, biunivocità e funzione inversa con il suo grafico simmetrico rispetto a y = x.Funzioni iniettive, suriettive e inverse → · Composizione e operazioni tra funzioniLa composta g(f(x)) e come trovarne il dominio, somma, prodotto e quoziente di funzioni, e i grafici di f(x+a), f(x)+a, f(|x|) e |f(x)|.Composizione e operazioni tra funzioni → · Funzioni limitate, sup, inf, max e minUna funzione è limitata, ha sup, inf, massimo o minimo quando li ha la sua immagine; valori e punti di massimo e minimo.Funzioni limitate, sup, inf, max e min → · Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari → · Funzioni periodicheUna funzione è periodica di periodo T se si ripete uguale dopo ogni intervallo di lunghezza T; f(cx) ha periodo T/c, e somme o prodotti di periodiche sono periodici solo se il rapporto dei periodi è razionale.Funzioni periodiche →

• $f$ iniettiva $\iff$ ogni retta orizzontale taglia il grafico al più una volta; $f$ strettamente monotona $\Rightarrow$ iniettiva, e $f^{-1}$ ha la stessa monotonia. Il grafico di $f^{-1}$ è il simmetrico di quello di $f$ rispetto a $y=x$.
• Pari: $f(-x)=f(x)$ (simmetria rispetto all'asse $y$); dispari: $f(-x)=-f(x)$ (rispetto all'origine).
• Periodo di $f(cx)$: $\frac Tc$. Somme e prodotti di periodiche sono periodici solo se il rapporto dei periodi è razionale: $mT_1=nT_2$ è un periodo.
• Grafici derivati: $f(x+a)$ traslato a sinistra di $a$; $f(x)+a$ traslato in alto di $a$; $|f(x)|$ ribalta sopra l'asse $x$ le parti negative.

Funzioni elementari

Note: Funzioni potenzaLe potenze x^alfa al variare dell'esponente: domini, grafici, radici n-esime e proprietà delle potenze con base positiva.Funzioni potenza → · Disequazioni con potenze e radiciSi può applicare ai due membri di una disequazione una funzione strettamente monotona; con le radici di indice pari servono le condizioni sui segni.Disequazioni con potenze e radici → · Esponenziale e logaritmoLa funzione esponenziale a^x (base positiva diversa da 1) e la sua inversa, il logaritmo in base a, con grafici e proprietà.Esponenziale e logaritmo → · Funzioni iperbolicheSeno, coseno e tangente iperbolici costruiti con e^x ed e^(-x), la relazione cosh^2 - sinh^2 = 1 e le loro inverse con formula esplicita.Funzioni iperboliche → · Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse →

• Potenze: $x^\alpha$, $\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$ (con $n$ pari solo per $x\ge0$); per $a>0$: $a^{x+y}=a^xa^y$, $(a^x)^y=a^{xy}$.
• $f$ strettamente crescente: $A\le B\iff f(A)\le f(B)$; $f$ strettamente decrescente: $A\le B\iff f(A)\ge f(B)$.
• $a^x$ ($a>0$, $a\ne1$): crescente se $a>1$, decrescente se $0<a<1$, sempre positiva, passa per $(0,1)$. $\log_ax$ è la sua inversa, definita per $x>0$, passa per $(1,0)$; $\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay$, $\log_ax^y=y\log_ax$, $\log_ax=\frac{\log x}{\log a}$.
• $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}2$, $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2$, $\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}$; $\cosh^2x-\sinh^2x=1$. Inverse: $\mathrm{settsinh}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$, $\mathrm{settcosh}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$ per $x\ge1$.
• $\cos^2x+\sin^2x=1$; sulla circonferenza goniometrica $P=(\cos x,\sin x)$, $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$. $\sin$ e $\cos$ hanno periodo $2\pi$, $\tan$ periodo $\pi$.
• Inverse: $\arcsin:[-1,1]\to[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ (crescente), $\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]$ (decrescente), $\arctan:\mathbb R\to(-\frac\pi2,\frac\pi2)$ (crescente).

Successioni

Note: Limiti di successioniUna successione ha limite l se, da un certo indice in poi, i suoi termini stanno vicini a l quanto si vuole; definizioni con epsilon, limiti infiniti e unicità.Limiti di successioni → · SottosuccessioniUna sottosuccessione si ottiene prendendo infiniti termini di una successione con indici crescenti; se due sottosuccessioni hanno limiti diversi, il limite non esiste.Sottosuccessioni → · Successioni limitate e monotoneOgni successione convergente è limitata (non viceversa); ogni successione monotona ha limite, uguale al sup se crescente e all'inf se decrescente.Successioni limitate e monotone → · Calcolo dei limiti di successioniGli strumenti per calcolare i limiti senza la definizione: algebra dei limiti, permanenza del segno, carabinieri, infinitesima per limitata, algebra degli infiniti, reciproco, confronto per le divergenti e forme indeterminate.Calcolo dei limiti di successioni → · Limiti notevoli e gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali, la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n e la razionalizzazione.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti → · Asintoticità e o-piccoloa_n ~ b_n se il loro rapporto tende a 1, a_n = o(b_n) se tende a 0; nei prodotti e quozienti ogni fattore si può sostituire con uno asintotico.Asintoticità e o-piccolo → · Criteri del rapporto e della radice per successioniPer a_n > 0: se a_(n+1)/a_n oppure la radice n-esima di a_n tende a un limite minore di 1 la successione tende a 0, se maggiore di 1 tende a +∞; con limite 1 non si conclude.Criteri del rapporto e della radice per successioni →

• $\lim a_n=\ell\in\mathbb R$ se $\forall\varepsilon>0\ \exists N:\ |a_n-\ell|<\varepsilon\ \forall n>N$; $\lim a_n=+\infty$ se $\forall L\ \exists N:\ a_n>L\ \forall n>N$. Il limite, se esiste, è unico. Due sottosuccessioni con limiti diversi $\Rightarrow$ il limite non esiste.
• Convergente $\Rightarrow$ limitata (non viceversa); monotona $\Rightarrow$ ha limite (sup se crescente, inf se decrescente).
• CarabinieriSe una successione sta tra due successioni che hanno lo stesso limite, ha anche lei quel limite.: $a_n\le c_n\le b_n$, $a_n,b_n\to\ell\Rightarrow c_n\to\ell$. Infinitesima per limitata $\to0$.
• $\displaystyle\lim_nn^\alpha=\begin{cases}+\infty&\alpha>0\\1&\alpha=0\\0&\alpha<0\end{cases}$; $\displaystyle\lim_na^n=\begin{cases}+\infty&a>1\\1&a=1\\0&|a|<1\\\nexists&a\le-1\end{cases}$; $\displaystyle\lim_n\Big(1+\frac xn\Big)^n=e^x$.
• Polinomi: $\displaystyle\lim_n\frac{P_r(n)}{Q_s(n)}=\pm\infty$ se $r>s$, $\frac{a_r}{b_s}$ se $r=s$, $0$ se $r<s$.
• Gerarchia degli infiniti: $\log^pn\prec n^{\alpha}\prec a^n\prec n!\prec n^n$ ($p>0$, $\alpha>0$, $a>1$): $a_n\prec b_n$ vuol dire che trascurabileIl rapporto tra i due tende a 0. rispetto a $b_n$.
• $a_n\sim b_n$ se $\frac{a_n}{b_n}\to1$; $a_n=o(b_n)$ se $\frac{a_n}{b_n}\to0$.
• Rapporto: $a_n>0$, $\frac{a_{n+1}}{a_n}\to\ell$ (o $\sqrt[n]{a_n}\to\ell$): $\ell<1\Rightarrow a_n\to0$; $\ell>1\Rightarrow a_n\to+\infty$; $\ell=1$ non si conclude.

Limiti di funzioni e continuità

Note: Limiti di funzioni - definizioneIntorni, punti di accumulazione e la definizione di limite di una funzione con gli intorni, tradotta con ε, δ, N, M in tutti i casi; limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto, "definitivamente".Limiti di funzioni - definizione → · Asintoti di una funzionex = x0 è asintoto verticale se il limite destro o sinistro in x0 è infinito; y = ℓ è orizzontale se f → ℓ per x → ±∞; y = mx + q è obliquo se f(x)/x → m ≠ 0 e f(x) − mx → q.Asintoti di una funzione → · Teorema ponte tra limiti di funzioni e successionilim f(x) = ℓ per x → x0 se e solo se f(x_n) → ℓ per ogni successione x_n del dominio, diversa da x0, che tende a x0. Permette di trasportare i teoremi sulle successioni alle funzioni e di dimostrare che un limite non esiste.Teorema ponte tra limiti di funzioni e successioni → · Teoremi sui limiti di funzioniUnicità, criterio di non esistenza, limitatezza locale, limiti delle funzioni monotone, algebra dei limiti, permanenza del segno, confronto, infinitesima per limitata, algebra degli infiniti, reciproco: gli stessi teoremi delle successioni, ottenuti con il teorema ponte.Teoremi sui limiti di funzioni → · Asintoticità e o-piccolo per funzionif ~ g per x → x0 se f/g tende a 1, f = o(g) se tende a 0; le relazioni dipendono da x0. Regole di calcolo con gli o-piccoli e gerarchia delle funzioni infinite per x → +∞: log < potenze < esponenziali < x^x.Asintoticità e o-piccolo per funzioni → · Funzioni continuef è continua in x0 (punto del dominio) se il limite in x0 esiste ed è f(x0); somme, prodotti e quozienti di funzioni continue sono continue, e tutte le funzioni elementari sono continue nel loro dominio.Funzioni continue → · Limite di funzioni composte (cambio di variabile)Se g(x) → y0 e f(y) → ℓ per y → y0, allora f(g(x)) → ℓ, purché g(x) ≠ y0 vicino a x0 (ipotesi inutile se y0 = ±∞ o f è continua in y0): si sostituisce y = g(x).Limite di funzioni composte (cambio di variabile) → · Discontinuità e prolungamento per continuitàIn un punto interno del dominio f può avere discontinuità di prima specie (salto), di seconda specie (limite infinito o inesistente) o eliminabile; in un punto fuori dal dominio, se i limiti destro e sinistro coincidono e sono finiti, f si prolunga per continuità. Limiti alla frontiera nello studio di funzione.Discontinuità e prolungamento per continuità → · Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni → · Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimoPrendendo i reciproci della gerarchia degli infiniti si ottiene quella degli infinitesimi per x → +∞, e mettendo 1/x al posto di x quella per x → 0⁺ (x^α|log x|^p → 0). L'ordine di infinito o di infinitesimo è l'esponente α della potenza a cui la funzione è asintotica, a meno di una costante.Gerarchia degli infinitesimi e ordine di infinitesimo → · Funzioni continue su un intervalloTeoremi sulle funzioni continue su un intervallo: zeri (con la bisezione), valori intermedi (f manda intervalli in intervalli), monotonia e continuità, continuità dell'inversa, Weierstrass (su [a, b] ci sono massimo e minimo).Funzioni continue su un intervallo →

• $\lim_{x\to x_0}f=\ell\iff\forall U_\ell\ \exists U_{x_0}:\ f(x)\in U_\ell\ \forall x\in X\cap(U_{x_0}\setminus\{x_0\})$. Il limite esiste $\iff$ esistono limite destro e sinistro e sono uguali. Ponte: $\lim f=\ell\iff f(x_n)\to\ell$ per ogni $x_n\to x_0$, $x_n\ne x_0$.
• Asintoti: verticale $x=x_0$ se un limite laterale in $x_0$ è $\pm\infty$; orizzontale $y=\ell$ se $f\to\ell$ per $x\to\pm\infty$; obliquo $y=mx+q$ con $\displaystyle m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x\in\mathbb R\setminus\{0\}$, $\displaystyle q=\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-mx]\in\mathbb R$.
• Algebra dei limiti finiti: somma, prodotto, quoziente (con $\ell_2\ne0$). Permanenza del segno: $\ell>0\Rightarrow f>0$ definitivamente. Carabinieri e infinitesima per limitata come per le successioni.
• Cambio di variabile: $g\to y_0$, $f(y)\to\ell$ per $y\to y_0$, $g(x)\ne y_0$ definitivamente (non serve se $y_0=\pm\infty$ o $f$ continua in $y_0$) $\Rightarrow f(g(x))\to\ell$.
• $f$ continua in $x_0$ se $\lim_{x\to x_0}f=f(x_0)$; le funzioni elementari sono continue nel loro dominio. Discontinuità: di prima specie (salto $|f(x_0^+)-f(x_0^-)|$, limiti finiti diversi), di seconda specie (un limite laterale infinito o inesistente), eliminabile (limiti finiti uguali ma $\ne f(x_0)$).
• Limiti notevoli per $x\to0$: $\displaystyle\frac{\sin x}x\to1$, $\displaystyle\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12$, $\displaystyle\frac{\log(1+x)}x\to1$, $\displaystyle\frac{e^x-1}x\to1$, $\displaystyle\frac{(1+x)^\alpha-1}x\to\alpha$, $\displaystyle\frac{\arctan x}x\to1$, $\displaystyle\frac{a^x-1}{x}\to\log a$; $(1+x)^{1/x}\to e$.
• Asintotici (con $f\to0$): $\sin f\sim f$, $\tan f\sim f$, $\arctan f\sim f$, $\log(1+f)\sim f$, $e^f-1\sim f$, $(1+f)^\alpha-1\sim\alpha f$, $1-\cos f\sim\frac{f^2}2$.
• Per $x\to+\infty$: $\log^px\prec x^\alpha\prec a^x\prec x^x$; per $x\to0^+$: $x^\alpha|\log x|^p\to0$ ($\alpha,p>0$). Ordine di infinitesimo $\alpha$: $f\sim\ell|x-x_0|^\alpha$, $\ell\ne0$.
• Zeri: $f$ continua su $[a,b]$, $f(a)f(b)<0\Rightarrow\exists c\in\,]a,b[:\ f(c)=0$. Valori intermedi: $f$ continua su un intervallo manda intervalli in intervalli. WeierstrassUna funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ha massimo e minimo.: $f$ continua su $[a,b]$ ha massimo e minimo e $f([a,b])=[m,M]$. $f$ continua e invertibile su un intervallo $\Rightarrow$ strettamente monotona, e $f^{-1}$ è continua.

Calcolo differenziale

Note: Derivata - definizione e significatoLa derivata è il limite del rapporto incrementale; geometricamente è la pendenza della retta tangente. f è derivabile in x0 se e solo se f(x) = f(x0) + f'(x0)(x − x0) + o(x − x0); derivabile implica continua, non viceversa. Derivata destra e sinistra, punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi.Derivata - definizione e significato → · Regole di derivazioneDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione → · Teorema di de l'HôpitalPer una forma 0/0 o ·/∞, se esiste il limite di f'/g' allora esiste anche quello di f/g ed è lo stesso. Vale anche per limiti destri, sinistri e all'infinito. Se il limite di f'/g' non esiste non si può concludere nulla. Serve a calcolare limiti (da solo o dopo uno sviluppo di Mac-Laurin) e a studiare la derivabilità.Teorema di de l'Hôpital → · Teorema del limite della derivataSe f è continua in x0 e derivabile vicino a x0, la derivata destra (sinistra) in x0 è il limite destro (sinistro) di f'. Quindi f è derivabile in x0 se e solo se i due limiti di f' esistono e coincidono, finiti. Senza continuità il risultato è falso; se i limiti di f' non esistono si torna al rapporto incrementale (esempio x² sin(1/x)). Funzioni di classe C⁰ e C¹.Teorema del limite della derivata → · Massimi e minimi relativi e teorema di Fermatx0 è punto di minimo (massimo) relativo se f(x0) ≤ f(x) (≥) per gli x del dominio vicini a x0. I candidati sono gli estremi del dominio, i punti dove f non è derivabile e i punti interni con f'(x0) = 0 (punti critici o stazionari). Teorema di Fermat: in un punto interno di minimo o massimo relativo dove f è derivabile, f'(x0) = 0. È solo una condizione necessaria: x³ in 0.Massimi e minimi relativi e teorema di Fermat → · Teoremi di Rolle e di LagrangeRolle: f continua su [a,b], derivabile in ]a,b[, f(a) = f(b) ⇒ esiste c in ]a,b[ con f'(c) = 0. Lagrange (valor medio): stesse ipotesi senza f(a) = f(b) ⇒ esiste c con f'(c) = (f(b) − f(a))/(b − a): la tangente in c è parallela alla corda. Conseguenza: su un intervallo f è costante se e solo se f' = 0; su un insieme che non è un intervallo è solo costante a tratti (arctan x + arctan(1/x)).Teoremi di Rolle e di Lagrange → · Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimiPer f continua su [a,b] e derivabile in ]a,b[: f crescente ⇔ f' ≥ 0, f decrescente ⇔ f' ≤ 0; strettamente crescente ⇔ f' ≥ 0 e f' non nulla su nessun intervallo (basta f' > 0 tranne punti isolati: x³). Se f' cambia segno da + a − in x0, x0 è di massimo relativo stretto; da − a + di minimo. Vale anche nei punti di non derivabilità e negli estremi. Sono condizioni solo sufficienti: x²(2 + sin(1/x)).Test di monotonia e condizioni sufficienti per massimi e minimi → · Derivate successive e funzioni di classe CnLa derivata seconda è la derivata di f', la derivata n-esima è la derivata della (n−1)-esima. Se esiste f⁽ⁿ⁾(x0), allora f, f', …, f⁽ⁿ⁻¹⁾ sono continue in x0. Cⁿ(I) = funzioni derivabili n volte su I con f⁽ⁿ⁾ continua; Cⁿ ⊊ Cⁿ⁻¹ ⊊ … ⊊ C¹ ⊊ C⁰.Derivate successive e funzioni di classe Cn → · Funzioni convesse, concave e punti di flessof è convessa se ogni corda sta sopra il grafico (concava se sta sotto). Una funzione convessa è continua e ha derivate destra e sinistra in ogni punto interno. Per f derivabile: convessa ⇔ grafico sopra ogni tangente ⇔ f' crescente ⇔ (se esiste) f'' ≥ 0. f'' > 0 ⇒ strettamente convessa, non viceversa (x⁴). Flesso: punto in cui f passa da convessa a concava; lì, se esiste, f''(x0) = 0, ma non basta (x⁴ in 0).Funzioni convesse, concave e punti di flesso → · Studio di funzioneLo schema dello studio di funzione: (a) dominio, simmetrie, periodicità, segno; (b) limiti alla frontiera, asintoti, prolungamenti; (c) f': monotonia, massimi e minimi, inf e sup, derivabilità (limiti di f' nei punti delicati); (d) f'': convessità e flessi. I limiti di f' si calcolano dove f è continua ma f' non è definita, negli estremi del dominio e dove f ha un limite finito senza essere definita: danno la pendenza con cui il grafico arriva.Studio di funzione →

• $\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h$; tangente $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$. $f$ derivabile in $x_0\iff f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+o(h)$; derivabile $\Rightarrow$ continua (non viceversa). Derivabile $\iff f'(x_0^-)=f'(x_0^+)\in\mathbb R$.
• Punto angoloso: derivate laterali finite diverse; flesso a tangente verticale: $f'(x_0^\pm)=+\infty$ (o entrambe $-\infty$); cuspide: $f'(x_0^\pm)=\mp\infty$.

• $(fg)'=f'g+fg'$; $\big(\frac fg\big)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$; $(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\,g'(x)$; $(f^{-1})'(y_0)=\frac1{f'(x_0)}$ con $y_0=f(x_0)$, $f'(x_0)\ne0$.
• de l'Hôpital: forma $\frac00$ oppure $\frac\cdot{\infty}$, $g'\ne0$: se esiste $\lim\frac{f'}{g'}$ allora $\lim\frac fg=\lim\frac{f'}{g'}$ (se $\lim\frac{f'}{g'}$ non esiste non si conclude nulla).
• Limite della derivata: $f$ continua in $x_0$ e derivabile vicino: $f'(x_0^\pm)=\lim_{x\to x_0^\pm}f'(x)$.
• Fermat: $x_0$ interno di massimo o minimo relativo e $f$ derivabile in $x_0\Rightarrow f'(x_0)=0$ (solo necessaria: $x^3$).
• Rolle: $f$ continua su $[a,b]$, derivabile in $]a,b[$, $f(a)=f(b)\Rightarrow\exists c:\ f'(c)=0$. Lagrange: stesse ipotesi senza $f(a)=f(b)$ $\Rightarrow\exists c\in\,]a,b[:\ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Su un intervallo: $f$ costante $\iff f'=0$.
• Monotonia: $f$ crescente $\iff f'\ge0$; decrescente $\iff f'\le0$; strettamente crescente $\iff f'\ge0$ e $f'$ non nulla su alcun intervallo. $f'$ passa da $+$ a $-$ in $x_0$: massimo relativo; da $-$ a $+$: minimo relativo.
• Convessità: $f$ convessa $\iff$ le corde stanno sopra il grafico $\iff$ il grafico sta sopra ogni tangente $\iff f'$ crescente $\iff f''\ge0$ (se esiste). Flesso: $f$ cambia concavità; se esiste $f''(x_0)$, $f''(x_0)=0$ (solo necessaria: $x^4$).
• Studio di funzione: dominio, simmetrie, segno; limiti agli estremi e asintoti; $f'$ per monotonia ed estremi; $f''$ per convessità e flessi.

Formula di Taylor

Note: Formula di Taylor con resto di PeanoUna funzione derivabile n volte in x0 si scrive, vicino a x0, come un polinomio di grado al più n (il polinomio di Taylor, costruito con le derivate in x0) più un errore o((x-x0)^n); il polinomio è unico. Per x0 = 0 si chiama sviluppo di Mac-Laurin.Formula di Taylor con resto di Peano → · Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli → · Formula di Taylor con resto di LagrangeSe f ha n+1 derivate continue su [a,b], l'errore tra f e il suo polinomio di Taylor si scrive esattamente come f^(n+1)(c)(x-x0)^(n+1)/(n+1)! per un c opportuno: serve a stimare l'errore su tutto un intervallo e a scegliere il grado del polinomio.Formula di Taylor con resto di Lagrange →

• Peano: $f$ derivabile $n$ volte in $x_0$: $\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o\big((x-x_0)^n\big)$ per $x\to x_0$; il polinomio è unico (Mac-Laurin se $x_0=0$).
• Lagrange: $f\in C^{n+1}([a,b])$: $\displaystyle f(x)=T_{n,x_0}(x)+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$, con $c$ tra $x_0$ e $x$ (stima l'errore su tutto l'intervallo).

Serie numeriche

Note: Serie numericheUna serie è la successione delle somme parziali s_n = a_0 + ... + a_n; la sua somma è il limite di s_n (converge, diverge o è irregolare). Proprietà generali e condizione necessaria: se la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche → · Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonicaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → · Serie a termini non negativi e criteri del confrontoUna serie a termini >= 0 converge o diverge a +infinito, mai irregolare. Criterio del confronto (0 <= a_k <= b_k), del confronto asintotico (a_k ~ L b_k) e suo corollario con le serie notevoli: si studia una serie paragonandola a 1/n^alpha o a q^n.Serie a termini non negativi e criteri del confronto → · Criteri del rapporto e della radice per le seriePer una serie a termini positivi, se il limite di a_(n+1)/a_n (criterio del rapporto) o di radice n-esima di a_n (criterio della radice) è L < 1 la serie converge, se è L > 1 diverge; con L = 1 il criterio non dice nulla.Criteri del rapporto e della radice per le serie → · Serie a termini di segno variabilePer le serie con addendi di segno qualsiasi: convergenza assoluta (converge la serie dei moduli), che implica la convergenza semplice ma non viceversa; criterio di Leibniz per le serie alternate (addendi in modulo infinitesimi e decrescenti).Serie a termini di segno variabile →

• $\sum a_k$ converge se converge $s_n=a_0+\dots+a_n$. Condizione necessaria: $\sum a_k$ converge $\Rightarrow a_k\to0$ (non sufficiente).
• Geometrica: $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac1{1-q}$ se $|q|<1$, $+\infty$ se $q\ge1$, irregolare se $q\le-1$.
• Telescopica: $a_k=b_k-b_{k+1}\Rightarrow s_n=b_1-b_{n+1}$; se $b_n\to b$ la somma è $b_1-b$ (Mengoli: $\sum\frac1{n(n+1)}=1$).
• Armonica generalizzata: $\sum_{n\ge1}\frac1{n^\alpha}$ converge $\iff\alpha>1$; $\sum_{n\ge2}\frac1{n^\alpha\log^\beta n}$ converge $\iff\alpha>1$, oppure $\alpha=1$ e $\beta>1$.
• Termini $a_k\ge0$: la serie converge o diverge a $+\infty$. Confronto: $0\le a_k\le b_k$, $\sum b_k$ converge $\Rightarrow\sum a_k$ converge. Confronto asintotico: $a_k\sim Lb_k$, $L\ne0$ $\Rightarrow$ stesso carattere; $a_k=o(b_k)$ e $\sum b_k$ converge $\Rightarrow\sum a_k$ converge.
• Rapporto e radice ($a_n>0$): $L=\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}$ oppure $L=\lim\sqrt[n]{a_n}$; $L<1$ converge, $L>1$ diverge, $L=1$ nessuna conclusione.
• Assoluta: $\sum|a_n|$ converge $\Rightarrow\sum a_n$ converge. Leibniz: $\sum(-1)^na_n$ con $a_n\ge0$, $a_n\to0$ e $a_n$ decrescente $\Rightarrow$ converge.

Calcolo integrale

Note: Integrale definito di RiemannL'integrale definito di f limitata su [a,b] è il limite delle somme di Cauchy-Riemann (somme di aree di rettangoli), se esiste finito e uguale per ogni scelta dei punti; equivale a sup delle somme inferiori = inf delle somme superiori. Se f ≥ 0 è l'area del trapezoide, in generale area sopra l'asse meno area sotto. Sono integrabili le funzioni continue, monotone, continue a tratti; la funzione di Dirichlet no.Integrale definito di Riemann → · Proprietà dell'integrale definito e teorema della mediaL'integrale definito è lineare, monotono (f ≤ g implica ∫f ≤ ∫g), additivo rispetto all'intervallo (con ∫ da a ad a = 0 e ∫ da b ad a = −∫ da a a b) e verifica |∫f| ≤ ∫|f|. Teorema della media integrale: se f è continua su [a,b] esiste c con f(c) = (1/(b−a))∫f, cioè un rettangolo di altezza f(c) ha la stessa area del trapezoide.Proprietà dell'integrale definito e teorema della media → · Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integraleUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale → · Integrali immediatiTabella degli integrali immediati, ottenuti leggendo al contrario le derivate delle funzioni elementari: potenze, 1/x, esponenziali, seno e coseno, tangente, arcoseno, arcotangente, funzioni iperboliche e loro inverse. Per gli integrali non ci sono regole come per le derivate, solo metodi: linearità, sostituzione, per parti.Integrali immediati → · Integrazione per sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione → · Integrazione per parti∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx (regola del prodotto letta al contrario). Si usa per log x, arcsin x, arctan x (scritti come "funzione per 1"), per sin²x, cos²x, sinh²x, cosh²x (integrale circolare: l'integrale di partenza ricompare e si porta a sinistra) e per prodotti come x^n·e^(αx), x^n·sin(βx), e^(αx)·sin(βx).Integrazione per parti → · Integrali di potenze di seno e cosenoPer ∫ cos^n x · sin^m x dx: se un esponente è dispari si stacca un fattore (sin x oppure cos x), il resto si scrive con l'altra funzione usando sin²+cos² = 1 e si sostituisce y = cos x (o y = sin x); se sono entrambi pari si usano le formule di bisezione cos²x = (1+cos 2x)/2, sin²x = (1−cos 2x)/2 per abbassare il grado.Integrali di potenze di seno e coseno → · Integrazione delle funzioni razionaliPer ∫P(x)/Q(x)dx con grado P < grado Q: se Q ha grado 1 si sostituisce y = ax+b (viene un logaritmo); se Q = ax²+bx+c, con Δ > 0 si scompone in fratti semplici A/(x−x₁) + B/(x−x₂) (A, B dal principio di identità dei polinomi), con Δ = 0 si sostituisce y = x − x₁, con Δ < 0 si completa il quadrato e si arriva a un logaritmo più un'arcotangente. Se grado P ≥ grado Q si divide prima; se Q ha grado > 2 si scompone in fattori e si usano i fratti semplici.Integrazione delle funzioni razionali → · Integrali riconducibili a funzioni razionaliCon una sostituzione molti integrali diventano integrali di funzioni razionali: ∫R(f(x))f'(x)dx con y = f(x); ∫R(eˣ)dx e ∫R(aˣ)dx con y = eˣ (o y = aˣ), dove dx = dy/y; le funzioni di eˣ ed e⁻ˣ (come 1/cosh x, 1/sinh x) moltiplicando per eˣ; le funzioni razionali di sin x e cos x con t = tan(x/2), sin x = 2t/(1+t²), cos x = (1−t²)/(1+t²), dx = 2dt/(1+t²).Integrali riconducibili a funzioni razionali → · Integrali di funzioni irrazionaliCon radici di x di indici diversi si pone y = radice di indice n = mcm degli indici, e l'integrale diventa razionale. Per 1/√(ax²+bx+c) si completa il quadrato e si arriva ad arcsin, settsinh o settcosh; per √(ax²+bx+c) ci si riduce a √(R²−x²), √(x²+R²), √(x²−R²), che si calcolano con x = R sin t, x = R sinh t, x = R cosh t. Con √(R²−x²) si ottiene l'area del cerchio πR².Integrali di funzioni irrazionali → · Integrali impropriL'integrale improprio (o in senso generalizzato) estende l'integrale definito a intervalli illimitati, ∫ da a a +∞ = lim per x→+∞ di ∫ da a a x, e a funzioni illimitate vicino a un estremo, ∫ da a a b = lim per x→a⁺ di ∫ da x a b. Se il limite è finito l'integrale converge, se è ±∞ diverge, se non esiste f non è integrabile in senso generalizzato. Si calcola con primitiva, integrale definito e poi limite. Per f ≥ 0 valgono il confronto e il confronto asintotico con le funzioni test 1/x^α: a +∞ convergono per α > 1, vicino a 0 per α < 1.Integrali impropri → · Criteri di convergenza per gli integrali impropriPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →

• $\int_a^bf=\lim S_n$ (somme di Cauchy-Riemann), se il limite esiste finito e non dipende dai punti scelti. Integrabili: continue, monotone, continue a tratti.
• Lineare, monotono ($f\le g\Rightarrow\int f\le\int g$), additivo: $\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$; $\int_b^a=-\int_a^b$; $\big|\int_a^bf\big|\le\int_a^b|f|$.
• Media: $f$ continua su $[a,b]$ $\Rightarrow\exists c\in[a,b]:\ \frac1{b-a}\int_a^bf=f(c)$.
• TFCI: $f$ continua su $I$: $F_a(x)=\int_a^xf(t)\,dt$ è una primitiva ($F_a'=f$); per ogni primitiva $G$, $\displaystyle\int_a^bf=G(b)-G(a)$. Due primitive differiscono per una costante.

• Sostituzione: $\displaystyle\int g(f(x))f'(x)\,dx=\int g(y)\,dy$ con $y=f(x)$; nei definiti: $\int_c^dg(f)f'\,dx=\int_{f(c)}^{f(d)}g(y)\,dy$.
• Per parti: $\displaystyle\int f\,g'\,dx=fg-\int f'g\,dx$; $\displaystyle\int_a^bfg'=\big[fg\big]_a^b-\int_a^bf'g$.
• Potenze di seno e coseno: esponente dispari $\Rightarrow$ si stacca un fattore e si pone $y=\cos x$ o $y=\sin x$; entrambi pari $\Rightarrow$ $\cos^2x=\frac{1+\cos2x}2$, $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}2$.
• Razionali: $\displaystyle\int\frac{a_0}{ax+b}dx=\frac{a_0}a\log|ax+b|$; $\Delta>0$ fratti semplici $\frac A{x-x_1}+\frac B{x-x_2}$; $\Delta<0$ $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+bx+c}=\frac1R\arctan\frac{x+b/2}R$, $R=\frac{\sqrt{-\Delta}}2$; se $\deg P\ge\deg Q$ si divide prima.
• Con $t=\tan\frac x2$: $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$, $dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}$; per $R(e^x)$ si pone $y=e^x$, $dx=\frac{dy}y$.
• Irrazionali: radici di indici diversi $\Rightarrow$ $y=\sqrt[N]x$, $N=\mathrm{mcm}$; $\int\sqrt{R^2-x^2}\,dx$ con $x=R\sin t$ dà $\frac12\big(R^2\arcsin\frac xR+x\sqrt{R^2-x^2}\big)$ (area del cerchio $\pi R^2$).

• Impropri (Integrali impropriL'integrale improprio (o in senso generalizzato) estende l'integrale definito a intervalli illimitati, ∫ da a a +∞ = lim per x→+∞ di ∫ da a a x, e a funzioni illimitate vicino a un estremo, ∫ da a a b = lim per x→a⁺ di ∫ da x a b. Se il limite è finito l'integrale converge, se è ±∞ diverge, se non esiste f non è integrabile in senso generalizzato. Si calcola con primitiva, integrale definito e poi limite. Per f ≥ 0 valgono il confronto e il confronto asintotico con le funzioni test 1/x^α: a +∞ convergono per α > 1, vicino a 0 per α < 1.Integrali impropri →): $\displaystyle\int_a^{+\infty}f=\lim_{x\to+\infty}\int_a^xf$ e, se $f$ è illimitata vicino ad $a$, $\displaystyle\int_a^bf=\lim_{x\to a^+}\int_x^bf$. Converge se il limite è finito, diverge se è $\pm\infty$.
• Criteri (Criteri di convergenza per gli integrali impropriPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →): se $f\ge0$ l'integrale esiste sempre (finito o $+\infty$). Confronto: $0\le f\le g$, $g$ integrabile in senso generalizzato $\Rightarrow$ $f$ lo è. Confronto asintotico: $f\sim Lg$, $L\ne0$ $\Rightarrow$ stesso carattere.
• $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}$ converge $\iff\alpha>1$; $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{x^\alpha}$ converge $\iff\alpha<1$; $\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha\log^\beta x}$ converge $\iff\alpha>1$, oppure $\alpha=1$ e $\beta>1$.
• Criterio dell'integrale: $f\ge0$ decrescente su $[1,+\infty[$: $\sum f(n)$ converge $\iff\int_1^{+\infty}f$ converge.

Equazioni differenziali

Note: Equazioni differenziali - introduzione e problema di CauchyUn'equazione differenziale ordinaria di ordine n ha come incognita una funzione y(t) e lega y⁽ⁿ⁾ a t, y, y', …, y⁽ⁿ⁻¹⁾. L'integrale generale è l'insieme delle soluzioni, definite su un intervallo; di solito sono infinite e dipendono da n costanti. Il problema di Cauchy aggiunge n condizioni iniziali in un istante t0 (y(t0), …, y⁽ⁿ⁻¹⁾(t0)) e sotto opportune ipotesi ha una sola soluzione. y⁽ⁿ⁾ = f(t) si risolve integrando n volte.Equazioni differenziali - introduzione e problema di Cauchy → · Equazioni differenziali lineari del primo ordiney' + a(t)y = b(t) con a, b continue su un intervallo I. Le soluzioni sono definite su tutto I e il problema di Cauchy ha una sola soluzione. Integrale generale: y = e^(−A(t))[c + ∫e^(A(t)) b(t) dt], con A primitiva di a; per l'omogenea (b = 0) y = c e^(−A(t)). Soluzione del problema con y(t0) = x0: stessa formula con A(t) = ∫ da t0 a t di a(s) ds e integrale da t0 a t. Si dimostra moltiplicando per e^(A(t)).Equazioni differenziali lineari del primo ordine → · Equazioni differenziali lineari del secondo ordiney'' + a1(t)y' + a0(t)y = b(t) con coefficienti continui su un intervallo: le soluzioni sono definite su tutto l'intervallo e il problema di Cauchy con y(t0), y'(t0) ha una sola soluzione. L'integrale generale dell'omogenea è c1 y1 + c2 y2 con y1, y2 soluzioni linearmente indipendenti (controllo con il wronskiano); quello della completa è yp + c1 y1 + c2 y2, con yp una soluzione particolare. Stessa struttura per ogni ordine n.Equazioni differenziali lineari del secondo ordine → · Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneoPer y'' + a1 y' + a0 y = 0 con a0, a1 costanti si cercano soluzioni e^(λt): funzionano se λ è radice del polinomio caratteristico p(λ) = λ² + a1 λ + a0. Δ > 0 (radici λ1 ≠ λ2): y = c1 e^(λ1 t) + c2 e^(λ2 t). Δ = 0 (radice doppia λ): y = (c1 + c2 t) e^(λt). Δ < 0 (radici α ± iω): y = e^(αt)(c1 cos ωt + c2 sin ωt). Lo stesso metodo vale per ogni ordine.Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo → · Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completaPer y'' + a1 y' + a0 y = b(t) a coefficienti costanti l'integrale generale è y0 + yp: y0 dal polinomio caratteristico, yp con il metodo di somiglianza quando b(t) = Qm(t) e^(αt) cos(ωt) (o sin). Si pone λ̄ = α + iω: se p(λ̄) ≠ 0, yp = e^(αt)[Pm(t) cos ωt + Rm(t) sin ωt] con polinomi di grado m da determinare; se λ̄ è radice semplice si moltiplica per t, se è doppia per t² (risonanza). Se b = b1 + b2 si sommano le soluzioni particolari (principio di sovrapposizione).Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completa → · Equazioni differenziali a variabili separabiliy' = a(t) b(y) con a continua su I e b continua su J. Gli zeri ȳ di b danno le soluzioni costanti y = ȳ (integrali singolari). Le altre si trovano dividendo per b(y) e integrando: ∫dy/b(y) = ∫a(t)dt + c, poi si ricava y. Se b è C¹ la soluzione del problema di Cauchy è unica, ma può esistere solo su un intervallo più piccolo di I; se b è solo continua può non essere unica (y' = ∛y).Equazioni differenziali a variabili separabili →

• Problema di Cauchy: $y^{(n)}=f(t,y,\dots,y^{(n-1)})$ con $y(t_0),\dots,y^{(n-1)}(t_0)$ assegnati. Lineari con coefficienti continui su $I$: soluzione unica definita su tutto $I$.
• Primo ordine: $y'+a(t)y=b(t)$, $A(t)$ primitiva di $a$: $\displaystyle y(t)=e^{-A(t)}\Big[c+\int e^{A(t)}b(t)\,dt\Big]$; con $y(t_0)=x_0$: $\displaystyle y=e^{-A(t)}\Big[x_0+\int_{t_0}^te^{A(s)}b(s)\,ds\Big]$, $A(t)=\int_{t_0}^ta$.
• Secondo ordine lineare: integrale generale della completa $=y_p+c_1y_1+c_2y_2$ ($y_1,y_2$ soluzioni indipendenti dell'omogenea). Indipendenti $\iff$ wronskianoIl determinante delle due soluzioni e delle loro derivate: basta che sia diverso da zero in un punto. $W=y_1y_2'-y_2y_1'\ne0$.
• Coefficienti costanti $y''+a_1y'+a_0y=0$, $p(\lambda)=\lambda^2+a_1\lambda+a_0$, $\Delta=a_1^2-4a_0$: $\Delta>0$: $c_1e^{\lambda_1t}+c_2e^{\lambda_2t}$; $\Delta=0$: $(c_1+c_2t)e^{\lambda t}$; $\Delta<0$ ($\lambda=\alpha\pm i\omega$): $e^{\alpha t}(c_1\cos\omega t+c_2\sin\omega t)$.
• Completa con $b(t)=Q_m(t)e^{\alpha t}\cos\omega t$ (o $\sin$), $\bar\lambda=\alpha+i\omega$: $y_p=e^{\alpha t}\big(Q^1_m\cos\omega t+Q^2_m\sin\omega t\big)$ se $p(\bar\lambda)\ne0$; moltiplicata per $t$ se $\bar\lambda$ è radice semplice, per $t^2$ se doppia (risonanzaIl termine noto ha la forma di una soluzione dell'omogenea: per questo si moltiplica per t.). Se $b=b_1+b_2$ si sommano le soluzioni particolari.
• Variabili separabili: $y'=a(t)b(y)$: le costanti $\bar y$ con $b(\bar y)=0$ sono soluzioni; altrimenti $\int\frac{dy}{b(y)}=\int a(t)\,dt$.